平面向量立体几何B

2006年广州市高三数学训练题 (二) 平面向量、立体几何（1）

（时间：100分钟 满分100分）

（由广州市中学数学教研会高三中心组编写，本卷命题人:杨 斗，肖凌戆） 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．请将正确答案填入下面的表格内．

（1）在平面四边形ABCD 中，0=⋅=⋅=⋅，则该四边形是

（A ）平行四边形

（B ）矩形

（C ）菱形

（D ）正方形

（2）三个平面两两相交有三条交线，则这三条交线的位置关系

（A ）互相平行 （B ）相交于一点 （C ）互相平行或交于一点

（D ）与以上不同的答案

（3）已知 是两个非零向量，则与不共线是||||||||||||+<-<-的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件

（C ）充要条件

（D ）不充分不必要条件

（4）已知异面直线a 、b 分别在平面αβ、内，且c =βα 那么直线c （A ）与a 、b 都相交 （B ）与a 、b 都不相交

（C ）只与a 、b 中的一条相交

（D ）至少与a 、b 中的一条相交

（5）已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中的假命题

是 （A ）若a ∥b ，则α∥β （B ）若α⊥β，则a ⊥b

（C ）若a 、b 相交，则α、β相交 （D ）若α、β相交，则a 、b 相交

（6）下列命题是真命题的是

（A ）分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 （B ）若a b =，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反

（C ）若向量AB ，CD 满足AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD > （D ）若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则AB //CD

（7）A 、B 、C 是不共线的三点，O 是空间任意一点，若点P 满足OP x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则

当实数x y z 、、满足下列那个条件时，P 、A 、B 、C 四点共面．

（A ）x y z == （B ）1x y z ++= （C ）1x y z ++=- （D ）0x y z ++=

（8）已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V 与面数F 满足的关系式是

（A ）2F+V=4； （B ）2F －V=4； （C ）2F+V=2； （D ）2F －V=2； （9）如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是一个正方形，PD 垂直

于底面ABCD ，则这个四棱锥的五个面中，互相垂直的平面共有 （A ）3对 （B ）4对

（C ）5对

（D ）6对

（10）若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0,OB OC OB OC OA -⋅+-=则一定有 （A ）||||=

（B ）||||=

（C ）222||||||+=

（D ）222||||||+=

（11）设m ，n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面。给出下列四个命题：

①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，，则m ⊥γ； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β。

其中正确命题的序号是：（A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）①和④ （12）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为 （A ）40 （B ）48 （C ）52 （D ）56

二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

（13）已知|a |＝1，|b |＝2，|a b -|＝2，则|a b +|＝ ．

（14）把函数f (x )的图象按向量(,2)3a π=-平移后得到函数sin()26

y x π

=+-的图象，

则f (x )＝ ．

（15）已知Rt ΔABC ，∠ACB ＝90°，点P 是ΔABC 所在平面α外的一点，若PA ＝PB ＝PC ，则平面PAB

与平面α的位置关系是 ． （16）若Rt △ABC 在给定平面α上的射影有如下判断：

①可能是一条线段；②可能是直角三角形；③可能是锐角三角形；④可能是钝角三角形；⑤可能

是一条直线。

其中正确判断的序号是 （把你认为正确的判断的序号都填上）。

D A

P

A

B

45

45

北

三．解答题（本大题共4小题，共40分）

（17）（本小题满分8分）

设平面上有两个向量(cos ,sin )a αα=(

00≤α＜3600)，1(,2b =-

（Ⅰ）证明：（a b +）⊥（a b -）； （Ⅱ）若∥，求角α。

（18）（本小题满分10分）

已知P 是正方形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是PA 、BD 上的点，且::PM MA BN ND = 5:8=．求证：直线//MN 平面PBC

（19）

（本小题满分10分）

甲船由A 岛出发向北偏东450的方向作匀速直线航行，速度为/小时，在甲船从A

岛出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东450的方向作匀速直线航行，速度为/小时（如图）。求两船出发后多长时间相距最近？最近距离为多少海里？

（20）（本小题满分12分）

如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC=90°，3AD=DC=3，AB=2，E 是DC 上一点，满足DE=1，连接AE ，将△DAE 沿AE 折起到△D 1AE 的位置，使得∠D 1AB=60°，设AC 与BE 的交点O ．

（Ⅰ）试用基向量1AB AE AD ，，表示向量1OD ； （Ⅱ）求异面直线OD

1与AE 所成的角；

（Ⅲ）判断平面D 1AE 与平面ABCE 是否垂直？并说明理由．

A B

C

D

N

P

M