从测度论的观点看随机变量的收敛性

p{| ξn
−ξ
|≥
ε} =
0
。因此，由随机变量的实质是
可测函数，我们可以看出，依概率收敛实质就是依测度收敛。 1.2 从依测度收敛的一些性质出发来简单解释依概率收敛的四
c
为实数，再因
P(|
cξn
−
ca
|≥
ε
)
=
P(|
ξn
−
a
|≥
ε |c
) |
→
0(n
→
∞)
得
出：若ξn ⎯p⎯→ a ，则有 cξn ⎯⎯p→ ca 。
ξn
−
பைடு நூலகம்
a
|≥
ε 2
)
∪
(|
ζ
n
−
b
|≥
ε 2
)}
，故
0
≤
P(|
(ξn
+
ζ
n
)
−
(a
−
b)
|≥
ε
)
≤
Fn (x0) → F(x0) ，则称 ξn 的分布收敛于 ξ 的分布律，记 ξn ⎯L⎯→ξ ， 或称{ Fn (x) }弱收敛于 F ( x) ，记 Fn ⎯W⎯→ F 。
根据前面的讨论我们知道随机变量的分布函数就是 L-S 测度，
1 k2
Jk
⎞ ⎟
P
−1
⎠
∑ =
P
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
∞ k =1
1 k2
( −1)k
⎜0
⎝
∞
∑ ( ) k=1
∞
∑ ( ) k=1
1 k
1 k2
−1 k −1
−1 k
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
P
−1
，
由于幂级数
∞
∑
k =1
1 k2
Ak
的收敛半径为 R
=1=
ρ ( A) ，同样不能用
∑ 定理来判断幂级数 ∞ 1 Ak 的敛散性，只能用定义来判断，容易看 k2 k =1 出上面矩阵序列中四个位置元素所构成的数项级数均收敛，从而矩
ξn ÷ζ n ⎯⎯p→ a ÷ b(b ≠ 0) 。
集 D 上的一致连续函数（或在开集 D 上的连续函数）， ξk (n) ， ξk ，
在测度论中还引进了几乎处处收敛，并且还着重探讨了几乎处 处收敛与依测度收敛的关系。但是由于在随机变量中随机试验的不
k =1 ， … ， m 是 （ Ω ， Α ） 上 的 随 机 变 量 ， 对 一 切 w∈ Ω ， 确定性，几乎处处收敛在概率论中的作用显得很微小。
ξn ×ζ n ⎯⎯p→ a × b ，ξn ÷ ζ n ⎯⎯p→ a ÷ b(b ≠ 0) 。
机变量 ξ
的分布函数是
F，若对
F
的每一连续点 x 0
来说，
下面我就最后一部分的特殊情况进行简单的证明。
证 明 ： （ I ） 由 于 { | (ξn + ζ n ) − (a + b) |≥ ε }
⊂
{(|
在前小节中讨论了大数定律，知道大数定律是依概率收敛的一
的几乎处处收敛。它并不要求在每一点上都收敛，只要是在连续点 种应用体现形式，下面来讨论的是中心极限定理——按分布收敛的
处收敛就可以。由于 L-S 测度是集函数，对于集函数我们在测度论 一种应用形式。
中并没有分析其收敛性，故而在此我们并不能直接用测度论的观点
[关键词]概率论；随机变量；测度论；收敛 1.依概率收敛
1.1 依概率收敛及其测度论解释。依概率收敛是随机变量序列
P(|
ξn
−
a
|≥
ε )
2
+
P(|
ζ
n
−
b
|≥
ε )
2
→
0
（
n
→
+∞
），即：
P(| (ξn + ζ n ) − (a + b) |< ε ) → 1(n → +∞) 。
由此ξn + ζ n ⎯⎯p→ a + b 。类似有ξn − ζ n ⎯⎯p→ a − b 。
[关键词]健美操；女大学生；心理健康
追求完美人生的同时，必然要经受来说各方面的挫折和挑战，由于 她们处理事情的经验不足，能力有限，很容易导致情绪波动比较大，
健美操的运动方式包括体操、舞蹈，而且融合了音乐元素，是 心理失衡，产生心理问题，表现出自卑、孤独、焦虑、狭隘、冷漠
当代女大学生健身、休闲、娱乐、提高审美能力、派遣不良心里问 等不良心里疾病，影响女大学生的正常学习生活和社会社活。上海
y ∫ ，有
lim
n→∞
p{ξn
≤
y}
=
Φ( y)
=
1 2π
y
−t2
e2
dt
。
−∞
根据
5.1.2
中的大数定律，有
lim
n→∞
p{|
作者简介：孙延彬（1982-），硕士研究生，平顶山学院团委助教。
∑ 阵幂级数
∞ k =1
1 k2
Ak
也收敛。
收稿日期：2010-03-27
201
2010 年
《和田师范专科学校学报》（汉文综合版）
Jul.2010 第 29 卷第三期
总第 65 期
谈健美操运动对女大学生心理健康的积极作用
李丽
（江苏海事职业技术学院体育部 江苏南京 211170）
k =1
幂级数
∞
∑
1
Ak
发散。
k =1 k
参考文献：
[1]北京大学数学系代数[M].高等教育出版社，1988. [2]史荣昌.矩阵分析[M].北京理工大学出版社，2005. [3]张凯院，徐仲.矩阵论[M].西北工业大学出版社，2004.
∑ ∑ 对于矩阵幂级数 ∞ k =1
1 k2
Ak
=
⎛∞ P⎜
⎝ k =1
,|
ζ
n
−
b
|≥
ε
)
≤
P(
|ζn b2 −
− ε
b| |b
|
≥
ε
)
+
P(|
ζ
n
−
b
|≥
ε
)
则运算性质。
= P(| ζ n − b |≥ (b2 − ε | b |)ε ) + P(| ζ n − b |≥ ε ) → 0(n → ∞) ，得：
性质：（四则运算）设 g(x1, x2 ,..., xm ) 是定义在 R(m) 中某一子
特别地，若{ ξn }、{ ζ n }是两个随机变量序列，a，b 是两个常
列的收敛性也就要研究相应的分布函数序列的收敛性。 2.1 按分布收敛及其测度论解释。
数 ， 如 果 ξn ⎯p⎯→ a ， ζ n ⎯p⎯→b ， 则 有 ξn ± ζ n ⎯⎯p→ a ± b ，
定义 5.2.1 设随机变量 ξn 的分布函数是 Fn ，n=1，2，…，随
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
数项级数
∞
∑
(
−1)k
−1
是发散的，尽管其余的数项级数收敛，也导致此
[摘 要]女大学生是心理问题高发的年龄段，参与健美操运动可以促 期，多愁善感，有较强的自尊心，比较关注别人对自己的评价，更
进女大学生的心理健康，提高女大学生的自信心，促进人际交往，缓解和消除精 喜欢以完美的形象把自己展现在周围同学的面前。她们表现自己，
神压力，激发女大学生的表现欲望，形成良好的心理品质等作用。
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又由分布的弱收敛定义，我们可以看出：弱收敛的实质是 L-S 测度
（II）对任意 ε
>
0
，有
P(|
ξ
2 n
|≥
ε
)
=
P(|
ξn
|≥
ε ) → 0(n → ∞) 。
{ξn }与随机变量 ξ 之间的一种较易于研究的收敛性，这部分的内容
故根据定义有：若 ξn
⎯⎯p→ 0
，则有
ξ
2 n
⎯⎯p→ 0
；对任意的
c，
的理论根源在测度论有着比较详尽的研究。
定义 1.1 设{ ξn }为一随机变量序列， ξ 为一随机变量。如果
中心极限定理研究的是按分布收敛到标准正态的问题。以伯努
来分析这一概念，下面我们着重通过依概率收敛与弱收敛的关系来 利试验为例：设 μn为n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数，记事件
进行讨论这一概念： 如果 ξn ⎯⎯p→ξ ，则 ξn ⎯L⎯→ξ ，即 Fn ⎯W⎯→ F ，反之不成立。
A
在每次试验中出现的概率
(ξ1(n) (w),...,ξm(n) (w)) ∈ D，(ξ1(w),...,ξm (w)) ∈D，且 ξk(n) ⎯p⎯→ξk ，
2.按分布收敛（弱收敛）
k =1，…，m，则 g(ξ1(n) ,....,ξm(n) ) ⎯⎯p→ g(ξ1,...,ξm ) 。
研究随机变量，自然要研究它们的分布规律，研究随机变量序
交、就业等各种困难的困扰，容易产生自卑、抑郁、孤独、焦虑、 问题也日益明显。在人际交往中面临很多困惑和难题，在就业竞争