从测度论的观点看随机变量的收敛性

,|
ζ
n
−
b
|≥
ε
)
≤
P(
|ζn b2 −
− ε
b| |b
|
≥
ε
)
+
P(|
ζ
n
−
b
|≥
ε
)
则运算性质。
= P(| ζ n − b |≥ (b2 − ε | b |)ε ) + P(| ζ n − b |≥ ε ) → 0(n → ∞) ，得：
性质：（四则运算）设 g(x1, x2 ,..., xm ) 是定义在 R(m) 中某一子
中心极限定理研究的是按分布收敛到标准正态的问题。以伯努
来分析这一概念，下面我们着重通过依概率收敛与弱收敛的关系来 利试验为例：设 μn为n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数，记事件
进行讨论这一概念： 如果 ξn ⎯⎯p→ξ ，则 ξn ⎯L⎯→ξ ，即 Fn ⎯W⎯→ F ，反之不成立。
A
在每次试验中出现的概率
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
又由分布的弱收敛定义，我们可以看出：弱收敛的实质是 L-S 测度
排遣不良心里品质，提高面对挫折的耐受力和提高对社会环境的适
1.2 心理健康的内涵。世界卫生组织定义心理健康具体的标志
应能力，保持心理健康。
为：身体、智力、情绪十分调和；适应环境能力强，人际关系中彼
1.女大学生心理特点及心理健康的内涵
此能谦让；生活有幸福感；在工作中能充分发挥自己的能力。作为
1.1 女大学生的心理特点。女大学生的年龄处在青春发育中后 女大学生心里健康主要体现在：第一，具有旺盛的求知欲望和浓厚
(ξ1(n) (w),...,ξm(n) (w)) ∈ D，(ξ1(w),...,ξm (w)) ∈D，且 ξk(n) ⎯p⎯→ξk ，
2.按分布收敛（弱收敛）
k =1，…，m，则 g(ξ1(n) ,....,ξm(n) ) ⎯⎯p→ g(ξ1,...,ξm ) 。
研究随机变量，自然要研究它们的分布规律，研究随机变量序
The convergence property and apply of the matrix power series Abstract: According to the definition of matrix power series and the convergence property of the power series, using the type compare method, on the basis of original knowledge, the thesis summarized and verified part convergence properties of the matrix power series. Key words: matrix power series; norm; convergence property
y ∫ ，有
lim
n→∞
p{ξn
≤
y}
=
Φ( y)
=
1 2π
y
−t2
e2
dt
。
−∞
根据
5.1.2
中的大数定律，有
lim
n→∞
p{|
ξn ÷ζ n ⎯⎯p→ a ÷ b(b ≠ 0) 。
集 D 上的一致连续函数（或在开集 D 上的连续函数）， ξk (n) ， ξk ，
在测度论中还引进了几乎处处收敛，并且还着重探讨了几乎处 处收敛与依测度收敛的关系。但是由于在随机变量中随机试验的不
k =1 ， … ， m 是 （ Ω ， Α ） 上 的 随 机 变 量 ， 对 一 切 w∈ Ω ， 确定性，几乎处处收敛在概率论中的作用显得很微小。
作者简介：孙延彬（1982-），硕士研究生，平顶山学院团委助教。
∑ 阵幂级数
∞ k =1
1 k2
Ak
也收敛。
收稿日期：2010-03-27
201
2010 年
《和田师范专科学校学报》（汉文综合版）
Jul.2010 第 29 卷第三期
总第 65 期
谈健美操运动对女大学生心理健康的积极作用
李丽
（江苏海事职业技术学院体育部 江苏南京 211170）
[关键词]健美操；女大学生；心理健康
追求完美人生的同时，必然要经受来说各方面的挫折和挑战，由于 她们处理事情的经验不足，能力有限，很容易导致情绪波动比较大，
健美操的运动方式包括体操、舞蹈，而且融合了音乐元素，是 心理失衡，产生心理问题，表现出自卑、孤独、焦虑、狭隘、冷漠
当代女大学生健身、休闲、娱乐、提高审美能力、派遣不良心里问 等不良心里疾病，影响女大学生的正常学习生活和社会社活。上海
[摘 要]女大学生是心理问题高发的年龄段，参与健美操运动可以促 期，多愁善感，有较强的自尊心，比较关注别人对自己的评价，更
进女大学生的心理健康，提高女大学生的自信心，促进人际交往，缓解和消除精 喜欢以完美的形象把自己展现在周围同学的面前。她们表现自己，
神压力，激发女大学生的表现欲望，形成良好的心理品质等作用。
k =1
幂级数
∞
∑
1
Ak
发散。
k =1 k
参考文献：
[1]北京大学数学系代数[M].高等教育出版社，1988. [2]史荣昌.矩阵分析[M].北京理工大学出版社，2005. [3]张凯院，徐仲.矩阵论[M].西北工业大学出版社，2004.
∑ ∑ 对于矩阵幂级数 ∞ k =1
1 k2
Ak
=
⎛∞ P⎜
⎝ k =1
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
数项级数
∞
∑
(
−1)k
−1
是发散的，尽管其余的数项级数收敛，也导致此
[关键词]概率论；随机变量；测度论；收敛 1.依概率收敛
1.1 依概率收敛及其测度论解释。依概率收敛是随机变量序列
P(|
ξn
−
a
|≥
ε )
2
+
P(|
ζ
n
−
b
|≥
ε )
2
→
0
（
n
→
+∞
），即：
P(| (ξn + ζ n ) − (a + b) |< ε ) → 1(n → +∞) 。
由此ξn + ζ n ⎯⎯p→ a + b 。类似有ξn − ζ n ⎯⎯p→ a − b 。
对任意的 ε
>
0
，
lim
n→∞
p{| ξn
−ξ
|<
ε} = 1 ，则称{ ξn }依概率收敛于
ξ ，记ξn ⎯p⎯→ξ 。
根据依概率收敛和概率的正则性的定义以及概率的可减性，又
因为{| ξn − ξ |≥ ε} = Ω −{| ξn − ξ |< ε} ，我们可以得到：如果对任
意的 ε
>
0
， lim n→∞
交、就业等各种困难的困扰，容易产生自卑、抑郁、孤独、焦虑、 问题也日益明显。在人际交往中面临很多困惑和难题，在就业竞争
神经衰弱等心理问题。因此，通过参加健美操运动在女大学生心理 中，除了过硬的业务水平、交际能力以及较好的成绩外，健美的体
健康教育中能发挥积极的作用，从而促进女大学生健康心理的形成， 形、良好的气质和健康的心理状态也受到用人单位的广泛重视。
特别地，若{ ξn }、{ ζ n }是两个随机变量序列，a，b 是两个常
列的收敛性也就要研究相应的分布函数序列的收敛性。 2.1 按分布收敛及其测度论解释。
数 ， 如 果 ξn ⎯p⎯→ a ， ζ n ⎯p⎯→b ， 则 有 ξn ± ζ n ⎯⎯p→ a ± b ，
定义 5.2.1 设随机变量 ξn 的分布函数是 Fn ，n=1，2，…，随
ξn
−
a
|≥
ε 2
)
∪
(|
ζ
n
−
b
|≥
ε 2
)}
，故
0
≤
Pห้องสมุดไป่ตู้|
(ξn
+
ζ
n
)
−
(a
−
b)
|≥
ε
)
≤
Fn (x0) → F(x0) ，则称 ξn 的分布收敛于 ξ 的分布律，记 ξn ⎯L⎯→ξ ， 或称{ Fn (x) }弱收敛于 F ( x) ，记 Fn ⎯W⎯→ F 。
根据前面的讨论我们知道随机变量的分布函数就是 L-S 测度，
[4]刘丁西.矩阵分析[M].同济大学出版社，2003. [5]罗家洪.矩阵分析引论[M].华南理工大学出版社，2000. [6]林金火.矩阵幂级数的收敛性质[J].荆门职业技术学院学报，2007. [7]Horn R A，Johnson C R. Matrix Analysis[M]. Cambridge University Press，1985.
1 k2
Jk
⎞ ⎟
P
−1
⎠
∑ =
P
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
∞ k =1
1 k2
( −1)k
⎜0
⎝
∞
∑ ( ) k=1
∞
∑ ( ) k=1
1 k
1 k2
−1 k −1
−1 k
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
P
−1
，
由于幂级数
∞
∑
k =1
1 k2
Ak
的收敛半径为 R
=1=
ρ ( A) ，同样不能用
∑ 定理来判断幂级数 ∞ 1 Ak 的敛散性，只能用定义来判断，容易看 k2 k =1 出上面矩阵序列中四个位置元素所构成的数项级数均收敛，从而矩
2010 年
《和田师范专科学校学报》（汉文综合版）
Jul.2010 第 29 卷第三期
从测度论的观点看随机变量的收敛性
总第 65 期
曹兴阳
（宿迁高等师范学校数学系 江苏宿迁 223800）
[摘 要]本文主要从测度论的观点阐述分析随机变量的收敛性。在此
首先用概率论的语言分析了概率、随机变量，并在此基础上探讨了随机变量的两 种收敛。
题的重要的体育运动方式，所以说健美操是最受当代女大学生喜爱 医科大学精神学教研室李建林登对来求询的大学生病例分析，以神
的体育运动之一。当前，由于大学生心理发展尚未成熟，处于心理 经性障碍者如抑郁、失眠、强迫、焦虑者等最多占 69.4%，在调查
最敏感期，自我调节和自我控制能力还欠佳，受到学习、爱情、社 中，面对知识时代的激烈竞争，高校女生学习压力增加，就业难的
ξn ×ζ n ⎯⎯p→ a × b ，ξn ÷ ζ n ⎯⎯p→ a ÷ b(b ≠ 0) 。
机变量 ξ
的分布函数是
F，若对
F
的每一连续点 x 0
来说，
下面我就最后一部分的特殊情况进行简单的证明。
证 明 ： （ I ） 由 于 { | (ξn + ζ n ) − (a + b) |≥ ε }
⊂
{(|
从而我们有ξn ×ζ n ⎯⎯p→ a × b 。
（III）对任意ε > 0 ，因 P(| 1 − 1 |≥ ε ) = P(| ζ n − b |≥ ε ) =
ζn b
ζ nb
P(|
b2
ζn − + (ζ n
b −
b)b
|≥
ε
,|
ζ
n
−
b
|<
ε
)
+
P(|
b2
ζn − + (ζ n
b −
b)b
|≥
ε
p{| ξn
−ξ
|≥
ε} =
0
。因此，由随机变量的实质是
可测函数，我们可以看出，依概率收敛实质就是依测度收敛。 1.2 从依测度收敛的一些性质出发来简单解释依概率收敛的四
c
为实数，再因
P(|
cξn
−
ca
|≥
ε
)
=
P(|
ξn
−
a
|≥
ε |c
) |
→
0(n
→
∞)
得
出：若ξn ⎯p⎯→ a ，则有 cξn ⎯⎯p→ ca 。
在前小节中讨论了大数定律，知道大数定律是依概率收敛的一
的几乎处处收敛。它并不要求在每一点上都收敛，只要是在连续点 种应用体现形式，下面来讨论的是中心极限定理——按分布收敛的
处收敛就可以。由于 L-S 测度是集函数，对于集函数我们在测度论 一种应用形式。
中并没有分析其收敛性，故而在此我们并不能直接用测度论的观点
（II）对任意 ε
>
0
，有
P(|
ξ
2 n
|≥
ε
)
=
P(|
ξn
|≥
ε ) → 0(n → ∞) 。
{ξn }与随机变量 ξ 之间的一种较易于研究的收敛性，这部分的内容
故根据定义有：若 ξn
⎯⎯p→ 0
，则有
ξ
2 n
⎯⎯p→ 0
；对任意的
c，
的理论根源在测度论有着比较详尽的研究。
定义 1.1 设{ ξn }为一随机变量序列， ξ 为一随机变量。如果
p0
，且记 ξn
=
μn − np npq
，则对任意实数
事实上，因对任意 x' > x ，{ξn < x} = {ξn < x,ξ < x'} +
{ξn < x,ξ ≥ x'} ⊂ {ξ < x'}∪{| ξn − ξ |≥ x' − x} ，根据测度空间中测 度的可加性和不降性，有 p{ξ n < x} = p{ξ n < x , ξ < x '} + p{ξn < x,ξ ≥ x'} ≤ p{ξ < x'} + p{| ξn − ξ |≥ x' − x} 。 若 假 设 ξn ⎯p⎯→ξ ，因此有： Fn (x) ≤ F (x' ) + p({| ξn − ξ |≥ x' − x}) ，且