人教版九年级数学下册反比例函数
人教版初中数学九年级下册 26.1.2 反比例函数的图像和性质(第1课时)课件 【经典初中数学课件】
B
C B1
C1
∠A =∠A1，∠B =∠B1， ∠C =∠C1 AB = BC = AC ， A1B1 = B1C1 = A1C1
对应角相等
AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 对应边成比例
对应角有什么关系？
正六边形 AF
120° B
放大 B1 E
y= k
K>0
K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 当k＜0时，函数图象
性 的两个分支分别在第 的两个分支分别在第
质
一、三象限，在每个 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 象限内，y随x的增大
而减小.
而增大.
1.反比例函数y= -
5 x
的图象大致是（
D）
y
y
A.
o
x B.
o x
y
y
C.
o
x D.
y
6
6y
5 4
y
=
6 x
3
y=
6 x
5 4
3
2
2
1
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
-6
-6
你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？
1.列表时,选取的自变量的值,既要易于计算,又要便于描点, 尽量多取一些数值(取互为相反数的一对一对的数),多描一 些点,这样既可以方便连线，又可以使图象精确． 2.描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把 点的位置描错． 3.线连时一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线,连 线时必须用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接． 4.图象是延伸的，注意不要画的有明确端点． 5.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交.
2024九年级数学下册第26章用反比例函数比例系数k的几何意义解与面积相关的应用课件新版新人教版
【解】∵直线 AB 交 y 轴于点 C，∴点 C(0，2)， ∴S 四边形 COMN＝S△OMN＋S△OCN＝32＋12×2×t. ∵S 四边形 COMN>3，∴32＋12×2×t>3，∴t＞32.
【点方法】 当反比例函数图象中的几何图形的面积无法直接
求出时，可将其转化为与比例系数k相关的矩形或直 角三角形的面积，通过面积的和或差进行计算．
在 Rt△ ACE 中，CE＝ AC2－AE2＝3， ∴OE＝8，∴A(8，4)，∴k＝4×8＝32， ∴反比例函数的解析式为 y＝3x2. 将 A 和 C 的坐标代入一次函数解析式中， 得85aa＋＋bb＝＝40，，解得ab＝ ＝－43，230. ∴一次函数的解析式为 y＝43x－230.
(2)请直接写出不等式 ax＋b>kx的解集. 【解】不等式 ax＋b＞kx的解集为 x>8 或－3<x<0.
(2)若y轴上有一点C(0，n)，△ABC的面积为4，求点C的 坐标. 【解】解方程组yy＝＝2x2，x，得xy11＝＝21，，xy22＝＝－－21.， ∴点 B 的坐标为(－1，－2)．
如图，过点 A，B 分别作 y 轴
的垂线，垂足分别为 E，F，
∵A(1，2)，B(－1，－2)，C(0，n)， ∴AE＝BF＝1，OC＝|n|. ∵S△ ABC＝S△ AOC＋S△ BOC＝4， ∴12OC·AE＋12OC·BF＝4， 即|n|×1＋|n|×1＝8，∴|n|＝4，∴n＝±4， ∴点 C 的坐标为(0，4)或(0，－4)．
【点方法】 一次函数与反比例函数常常放在一起考查，所以
要牢牢掌握它们各自的性质与图象特征，综合考虑， 解题时要关注两种函数图象的交点.
5 [2023·乐山]如图，一次函数 ym，4)，与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C(0，3).
人教版数学九年级下册反比例函数专题复习
的解析式为
思维点拨
y
平行线间距离处处相等 同底Box
4．如图，点A是反比例函数y＝ (x＜0)图象上的一点，过点A作▱ABCD，使点B，C 在x轴上，点D在y轴上，则▱ABCD的面积为 ．
6．如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 (k≠0）上，AB∥x轴，交y轴于点C. 若AB＝2AC，则k的值为 ．
P A'
D
①② ③
④
区区 区
区
域域 域
域
拓展延伸
变式：如图，在直角坐标系xoy中，一次函数y＝
k1x＋b的图象与反比例函数 交于A(1，4)、B(3，m)两点。
的图象
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出
(3)求△AOB的面积 (4)在x轴上找一点P，使PA＋PB最短，求点P的坐 标.
知识点四 反比例函数的实际应用 例5
C
知识点五
反比例函数与一次函数的综合运用
图像共存问题
例6. （永州中考）函数 y=x+k与
中的图象可能是（B ）
在同一条直角坐标系
A
B
C
D
比较函数值
例7、观察图象，直接写出关于x的不等式
的解集______________
y
(-2,4)
0
x
(4,-1)
① ②③ ④ 区 区区 区 域 域域 域
三角形面积
例3.如图，在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，过A作x轴
的平行线，交函数
的图象于B，交函数
的
图象于C，过C作y轴的平行线交x轴于D．四边形BODC的面积7
为
．
链接中考
例4、如图：点A是反比例函数
第26章 反比例函数章末核心要点分类整合 人教版数学九年级下册复习课件(55张PPT)
章末核心要点分类整合
1. 双曲线y＝kx中k的几何意义：设P是双曲线y＝kx上任意一 点，过P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为H，G，连接
PO(O为坐标原点)，则S△POH＝S△POG＝|2k|，S矩形PHOG＝|k|. 2. 用待定系数法求反比例函数解析式的步骤：一设、二代、
ax＋b与反比例函数y＝axb(a， b为常数且均不等于0)在同 一坐标系内的图象可能是 图26-1 中的( )
解题秘方：对a，b的取值分四种情况讨论，结合函数图象 进行判断. 解：分四种情况： (1)当a>0，b>0时， 一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、
二、三象限，此时反比例函数y＝
ab x
频率f /MHz 10
15
50
波长λ/m
30
20
6
(1)求波长λ关于频率f的函数解析式； 解：设波长λ关于频率f的函数解析式为λ＝kf (k≠0). 把(10，30)代入上式，得1k0＝30，解得k＝300. ∴λ＝30f 0．
(2)当f＝75 MHz时，求此电磁波的波长λ .
解：当f＝75 MHz时，λ＝37050＝4(m). ∴ 当f＝75 MHz时，此电磁波的波长λ为4 m ．
解：∵
k＝5＞0，∴反比例函数y＝
5 x
的图象分别位于第一、
三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.
又∵ A(x1，－1)，B(x2，1)，C(x3，5)都在反比例函数y＝5x 的图象上，
∴ A(x1，－1)在第三象限，B(x2，1)，C(x3，5)在第一象限， 且x3＜x2. ∴ x1＜0，x2＞x3＞0. ∴ x1＜x3＜x2．
∵ A(－2 ，3)，B(3，－2)在一次函数y＝ax＋b的图象上， ∴ቊ－3a2＋a＋b＝b＝－32，，解得ቊab＝＝－1. 1， ∴一次函数的解析式为y＝－x＋1．
人教版 九年级数学下册第二十六章反比例函数小结课件 (共19张PPT)
．
4．若点（－5，y1），（－3，y2），（3，y3）都在反比例函数y＝
象上，则y1，y2，y3的大小关系（从小到大）为
+
−
的图
．
5．已知正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝ 的图象交于点A（1，2），则正比例
函数与反比例函数图象的另一个交点的坐标是
．
研究的视角及结论：
课堂练习
4－2m＜0
= ，
的解．
= +
3
2
（3）因为点A的坐标为（－4， ），
（－4， ）
点B的坐标为（1，－6），
A
x
O
所以方程组的解为:
= −4，
= 1，
3
或
= −6.
=
{
B
（1，－6）
2
{
例题讲解
例2 如图，反比例函数y＝ （k为常数，k≠0）的图象与一次函数y＝ax＋b（a，b
2
x
又S△AOE＋S四边形OEBF＋S△COF＝S矩形OABC，
1
1
得 k＋4＋ k＝2k，解得k＝4．
2
2
例题讲解
例1 如图，已知反比例函数y＝ （k＞0）的图象经过矩形OABC边AB的中点E，交
边BC于点F．若四边形OEBF的面积为4，则k＝
思路2：
y
（ ， ）
（0， ）
为常数，a≠0）的图象交于点A（－4， ），B两点，其中点B的纵坐标为－6．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式．
y
A
x
O
人教版九年级下册数学知识点总结
人教版九年级下册数学知识点总结一、反比例函数的概念反比例函数是指函数y=k/x（k≠0）的形式，其中自变量x 的指数为-1.在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数这一限制条件。
另外，反比例函数也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。
反比例函数的自变量不能为0，故函数图像与x轴、y轴无交点。
二、反比例函数的图像画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例函数的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
在作反比例函数的图像时，应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
三、反比例函数及其图像的性质1．函数解析式：y=k/x（k≠0）2．自变量的取值范围：x≠03．图像：1）图像的形状：双曲线，曲度越大。
2）图像的位置和性质：当k>0时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。
3）对称性：图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在另一支上。
图像关于直线y=x和y=-x对称。
4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线y=k/x的一点，在双曲线的另一支上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k|）。
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥XXX的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|。
人教版初三数学9年级下册 第26章(反比例函数)反比例函数k的几何意义 课件(17张ppt)
(3)若点(a,y)在该函数图象上,且a＞－2,求y的取值范围.
7.【例 4】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数 y＝k(k＞0)的
x
图象经过点 A(2,m),过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B,且△AOB 的面积
为 5. (1)求k和m的值; (2)当x≥8时,求函数值y的取值范围.
解:(1)∵A(2,m),
第二十六章 反比例函数 与反比例函数有关的面积问题
k 的几何意义及应用
函数
图象形状 图象位置 增减性 延伸性 对称性
y
函数图象的 在每一支
双曲线既
k＞0
两支分支分 曲线上,y 双曲线向 是轴对称
O x 别位于第一、都随x的增 四边无限 图形(对称
三象限
大而减小 延伸,与 轴:y=±x),
y 函数图象的 在每一支 坐标轴没 又是中心
自主归纳
y
P(m,n) B
oA
x
K与图形面积
S矩形OAPB OA• AP
m•n
k
反比例函数图像上任意一点向x轴和y轴作垂线，
得到矩形的面积为 S矩形OAPB k
如图:连接OP，则
SOAP
1 • OA • AP 2
y
1 m•n
2
P(m,n) B
oA
x
1 k 2
反比例函数图像上任意一点向x轴或y轴作垂线，
5.若D、E、F是此反比例函数在第三象限图像上的三个点，
过D、E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N、K，连接
OD、OE、OF，设△ ODM、△OEN、 △OFK 的面积分别
为S1、S2、S3，则下列结论成立的是( D )
y A（1，4）A S1﹤S2 Nhomakorabea﹤ S3
26.1.2反比例函数的图像与性质 (教学课件)- 初中数学人教版九年级下册
典例精析例4如下图，它是反比例函数 图象的一支，根据图象，回答下列问题：(1)图象的另一支位于哪个象限?常数 m 的取值范围是什么?(2)在这个函数图象的某一支上任取点 A(x₁,y₁) 和点B(x₂,y₂), 如果x₁>X₂, 那么 y₁ 和 y₂有怎样的大小关系? o A
3.反比例函 的图象如图所示，则k<_0, 在图象的每一支上，y 随 x 的增大而增 大4.如图，M 为反比例函 图象上的一点，MA 垂直y轴，垂足为A,△MAO 的面积为2,则k的 值 为 4 .
yA M0
642o5-2-6
5X
课堂练习
3
课堂练习5.已知一次函数y=kx+b 的图象与反比例函 图象交于点A(3, 司),点B(14-2a,2).(1)求反比例函数的解析式；(2)若一次函数图象与y 轴交于点C, 点 D 为点C 关于原点O 的对称点，求△A CD 的面 积 . yAC ABO X
可得 解 故一次函数的解析式为
●
课堂练习∵当x=0 时 ，y=6,C(0,6)..OC=6. ∵点D 为点C关于原点O 的对称点， ∴CD=20C=12.
板书设计反比例函数的图象和性质1.反比例函数的性质：反比例函 的图象，当k>0 时，图象位于第一、三象限， 在每一象限内，y 的值随x的增大而减小；当k<0 时，图象位于第二、四象限，y 的 值随x的增大而增大.2.双曲线的两条分支逼近坐标轴但不可能与坐标轴相交。3.反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形.4. 在反比例函数 的图象上任取一点，分别作坐标轴的垂线(或平行线), 与 坐标轴所围成的矩形的面积S矩形=|k|.
典例精析解：(1)反比例函数的图象只有两种可能：位于第一、第三象限，或 者位于第二、第四象限.因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另 一支必位于第三象限.因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以m-5>0解 得 m>5.( 2 ) 因 为m-5>0, 所以在这个函数图象的任一支上，y 都随x 的增大而减小，因此当X₁>X₂ 时 ，y₁<y₂.
26.1.2 反比例函数的图象和性质 课件 2024-2025学年人教版(2012)九年级下册数学
综合应用创新
解题秘方：紧扣反比例函数的系数k的几何意义，利用轴 对称、勾股定理、正方形的性质解决最小值问题，正确构 造“两点一线”型最小值的基本图形是解题的关键. 解：由题知k>0，∵正方形OABC的边长是6， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标都为6，∠B＝90°. ∴ M(6，6k)，N(6k，6). ∴ BN＝6－6k，BM＝6－6k.
感悟新知
反比例函数 k的符号
k＞0
y＝kx(k ≠ 0)
k＜0
知2－讲
图象
图象位置 增减性
第一、第三象限
在每一个象限内，y 随x的增大而减小
第二、第四象限
在每一个象限内，y 随x的增大而增大
感悟新知
知2－练
例2
已知反比例函数y＝
m2 x
(m
≠
0)的图象过点(－3，－12)，
且反比例函数y＝mx 的图象位于第二、第四象限.
知1－练
1-1. (1)在同一平面直角坐标系中画出反比例函数y＝6x与y＝ －6x的图象．
感悟新知
解：①列表：
知1－练
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 …
y＝6x … －1 －1.2 －1.5 －2 －3 －6 … y＝－6x … 1 1.2 1.5 2 3 6 …
感悟新知
知1－练
x …1 2 3 4
感悟新知
知2－练
2-2.
在反比例函数y＝
4－k x
的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，
y2)，当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则k的取值范围是( C )
A. k＜0
B. k＞0
C. k＜4
D. k＞4
感悟新知
知3－讲
人教版九年级数学下册第二十六章：26.1.2 反比例函数的图像和性质 优秀课件
-4
-6
-8
当k>0时,两支双曲线分 位于第一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别 位于第二,四象限内;
反比例函数的图象和性质： 1.反比例函数的图象是双曲线; 2.图象性质见下表： k y= K>0 K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 的两个分支分别在第 一、三象限，在每个 象限内，y随x的增大 而减小. 当k＜0时，函数图象 的两个分支分别在第 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 而增大.
一、复习引入
反比例函数的定义：
一般地,形如 (k是常数,k≠0)的函数, 叫做反比例函数。其中, x是自变量,y是函 数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实 数.
反比例函数的三种表达式：
① ② ③
1、过点（2，5）的反比例函数的解析 10 式是： y x . 2、一次函数y=2x-1的图象 是 一条直线 ，y随x的增大而 增大. 3、用描点法作函数图象的步骤：
y
4 C（-3,y3)是 y B（5,y2)是反比例函数 x
数形结合
图
⑴代入求值
y1 y2 y3
A
2
⑵利用增减性
B
5
-3
⑶根据图象判断
x
O
C
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
100 反比例函数 y = 的图象上，则（ x
B
）
A、y1>y2>y3
C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3
x
标系中的 图象可能是 D
y o x y o x
:
y o x y o x
(A)
(B)
九年级下册数学知识点汇总(人教版)
九年级下册（人教版数学）知识点汇总目录反比例函数 (1)26.1反比例函数 (1)● 反比例函数的定义 (1)● 反比例函数的图像 (1)● 反比例函数图像的对称性 (1)● 反比例函数的性质 (2)● 反比例函数系数k的几何意义 (2)● 反比例函数图像上点的坐标特征 (2)● 待定系数法求反比例函数解析式 (2)● 反比例函数与一次函数的交点问题 (3)26.2实际问题与反比例函数 (3)● 根据实际问题列反比例函数关系式 (3)● 反比例函数的应用 (4)相似 (5)27.1图形的相似 (5)● 相似图形 (5)27.2相似三角形 (5)● 相似三角形的判定 (5)● 相似三角形的应用 (5)● 相似多边形的性质 (5)● 相似三角形的性质 (6)● 相似三角形的判定与性质 (6)● 作图--相似变换 (6)● 射影定理 (6)27.3位似 (7)● 位似变换 (7)● 作图-位似变换 (7)锐角三角函数 (8)28.1锐角三角函数 (8)● 锐角三角函数的定义 (8)● 锐角三角函数的增减性 (8)● 同角三角函数的关系 (8)● 互余两角三角函数的关系 (9)● 特殊角的三角函数值 (9)28.2解直角三角形及其应用 (9)● 解直角三角形 (9)● 解直角三角形的应用 (10)● 解直角三角形的应用--坡度坡角问题 (10)● 解直角三角形的应用--仰角俯角问题 (10)● 解直角三角形的应用--方向角问题 (10)投影与视图 (11)29.1投影 (11)● 平行投影 (11)● 中心投影 (11)● 视点、视角和盲区 (11)29.2三视图 (11)● 简单几何体的三视图 (11)● 简单组合体的三视图 (12)● 由三视图判定几何体 (12)● 作图--三视图 (12)29.3课题学习、制作立体模型 (12)● 课题学习制作立体模型 (12)反比例函数26.1反比例函数●反比例函数的定义【反比例函数的概念】形如的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于的一切实数．【反比例函数的判断】判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为或.●反比例函数的图像【反比例函数的图象】反比例函数的图象是由两条曲线组成的，这两条曲线通常称为双曲线当k>0时，两个分支分别位于第一、三象限内；当k<0时，两个分支分别位于第二、四象限①k>0②K<0●反比例函数图像的对称性【反比例函数图象的对称性】1、反比例函数图象本身既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=-x ；一、三象限的角平分线y=x ；对称中心是：坐标原点．2、若经过原点的直线与反比例函数交于两点，则这两点关于原点对称；3、反比例函数与的图象关于x轴，y轴对称.●反比例函数的性质●反比例函数系数k的几何意义【反比例系数的几何意义】1.在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．2.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．●反比例函数图像上点的坐标特征【反比例函数图象上的点的坐标特征】1. 若点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足反比例函数解析式2. 若点在反比例函数图象上，则也一定在反比例函数图象上3. 若点A（x,y）在反比例函数的图像上，则xy=k●待定系数法求反比例函数解析式【待定系数求反比例函数解析式的一般步骤】(1)设出含有待定系数的反比例函数解析式；(2)把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；(3)解方程，求出待定系数；(4)写出解析式．●反比例函数与一次函数的交点问题【反比例函数与一次函数的交点】1.(1)求反比例函数与一次函数的交点坐标时，先把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，方程组无解，则两者无交点；(2)已知反比例函数与一次函数的交点坐标，把点的坐标带入函数解析式可求得函数关系式或系数间的等量关系.2.判断正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：(1)当k1与k2同号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有2个交点；(2)当k1与k2异号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有0个交点．26.2实际问题与反比例函数●根据实际问题列反比例函数关系式【列反比例函数关系式的一般解题思路】根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式，或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．【根据实际问题列反比例函数的步骤】步骤1：审：审清题意,找出题目中的常量、变量,并理清常量与变量之间的关系。
人教版九年级数学下册26.1.1 反比例函数
解得 m =－2.
归纳总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义
列出方程(组)求解即可，如本题中 x 的次数为－1，且系数不等于0.
巩固练习
(1)当m =___1_.5_时，函数
4 y x2m2
是反比例函数.
(2)已知函数 y 3xm7 是反比例函数,则 m =___6____.
(3)若函数 y (m 2)xm25 是反比例函数,则m的
值为__2____.
探究新知
考点 2 利用待定系数法求反比例函数的解析式
已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 x=4 时，求 y 的值. 分析：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设
人教版 数学 九年级 下册
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
导入新知
当杂技演员表演滚钉板的节目时，观众们看到密密麻麻 的钉子，都为他们捏一把汗，但有人却说钉子越多，演员越 安全，钉子越少反而越危险，你认同吗？为什么？
学习目标
3. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数 的解析式，体会函数的模型思想. 2. 能判断一个给定的函数是否为反比例函数， 并会用待定系数法求函数解析式. 1. 理解并掌握反比例函数的概念.
2.在实际问题中自变量x的取值范围是什么？
要根据具体情况来确定.
例如，在前面得到的第二个解析式
y 1000 x
，x的
取值范围是 x＞0，且当 x 取每一个确定的值时，y 都
有唯一确定的值与其对应.
探究新知
3.形如 y kx 1 (k 0)的式子是反比例函数吗？
人教版数学九年级下册26.1.2反比例函数图象和性质课件
在反比例函数中，自变量 $x$ 和因变量 $y$ 之间存在一种倒数关系。 当 $x$ 增大时，$y$ 减小；当 $x$ 减小时，$y$ 增大。这种关系反映 了反比例函数的基本特性。
函数值域及变化规律
函数值域：反比例函 数的值域为所有非零 实数。当 $k > 0$ 时 ，函数图象位于第一 、三象限；当 $k < 0$ 时，函数图象位于 第二、四象限。
变化规律
1. 当 $k > 0$ 时，随 着 $x$ 从正无穷大逐 渐减小到零（或从负 无穷大逐渐增大到零 ），函数值 $y$ 从零 逐渐增大到正无穷大 （或从负无穷大逐渐 减小到零）。
2. 当 $k < 0$ 时，随 着 $x$ 从正无穷大逐 渐减小到零（或从负 无穷大逐渐增大到零 ），函数值 $y$ 从零 逐渐减小到负无穷大 （或从正无穷大逐渐 增大到零）。
不具备单调性。
与一次函数比较
关系
一次函数 $y = ax + b$ (a ≠ 0) 和反比例函数无直接关联。
图象
一次函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是两条曲线。
性质
一次函数在其定义域内是单调的，而反比例函数在其定义域内不具备单调性。此外，一次 函数的值域为全体实数，而反比例函数的值域为除去使分母为零的点外的全体实数。
3. 在每个象限内，随 着 $x$ 的绝对值增大 ，函数值 $y$ 的绝对 值逐渐减小。
02
反比例函数图象绘制方法
列表法绘制步骤
确定自变量的取值范围，并在此范围 内选取若干个自变量的值。
列出表格，将自变量和对应的函数值 分别填入表格中。
根据反比例函数的解析式，求出与每 个自变量值对应的函数值。
根据表格中的数据，在坐标系中描出 各点，并用平滑的曲线连接各点，即 可得到反比例函数的图象。
人教版九年级数学下册知识点总结：第二十六章反比例函数
人教版九年级数学下册知识点总结第二十六章、反比例函数知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下2种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.。
第二十六章反比例函数章末复习 课件(共25张PPT) 2024-2025学年人教版九年级数学下册
例4
如图，两个反比例函数
y
1 x
和y
2 x
的图象
分别是 l1 和 l2．设点 P 在 l1 上，PC⊥x 轴，垂足为 C，
交 l2 于点 A；PD⊥y 轴，垂足为 D，交 l2 于点 B，则△PAB 的面积为
y
l2
l1
x0，x10
（ C ）.
BDP
A．3 B．4 C．9 D．5 2
OC x A
关系？ 关于原点成中心对称.
②本章知识结构框图
现实世界中的 反比例关系
归纳 抽象
反比例函数 y k x
实际应用
y k 的图象和性质 x
典例精析
考点1 反比例函数的概念
例1 下列函数中是反比例函数的有
．
（√1）y
5 x
（5）y
x π
（2）y=5-x
（6）y
6 x2
（3）y x 2
（√4）xy=2
在每个象限内， y 都随 x 的增 大而增大
c.怎样求反比例函数的解析式？ 一般采用待定系数法，设y k .
x
d.如图，过 y k 的图象上任意一点 P 作两坐 x
标轴的平行线与两坐标轴所围成的矩形的面积
为__| _k_|__.
e.如果反比例函数 y k 与正比例函数y = mx x
有两个交点，那么这两个交点坐标之间有什么
考点2 反比例函数的性质
例3 在函数 y a2 1（a 为常数）的图象上有
x 三个点（-1，y1），（
1
， 4
y2），（
，12 y3）
则 y1，y2，y3 的大小关系是（ D ）.
A．y2＜y3＜y1 C．y1＜y2＜y3
人教版数学九年级下册26.1.2反比例函数的图象和性质(教案)
-理解反比例函数图象的双曲线形状及其与函数表达式的关系，这是学生空间想象能力的挑战。
-掌握反比例函数性质中的斜率变化规律，特别是当x > 0和x < 0时，y值变化的区别。
-在实际问题中识别反比例函数模型，并将问题转化为数学表达式进行求解。
举例：针对斜率变化规律，可以设计具体的问题情境，如“当一辆车以恒定速度行驶，行驶时间与路程之间的关系是什么？”通过实际例子帮助学生理解反比例函数斜率的意义。
在学生小组讨论环节，我发现有些学生参与度不高，可能是因为他们对讨论主题不够感兴趣或者不知道如何表达自己的观点。为了提高学生的参与度，我计划在下次讨论中，提供一些更具启发性的问题和案例，鼓励学生大胆发表自己的看法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《反比例函数的图象和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物品的价格与数量成反比的情况？”（例如，买水果时，单价固定，总价与重量成反比。）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索反比例函数的奥秘。
人教版数学九年级下册26.1.2反比例函数的图象和性质（教案）
一、教学内容
人教版数学九年级下册26.1.2反比例函数的图象和性质。本节课我们将学习以下内容：
1.反比例函数的定义：y = k/x（k≠0）
2.反比例函数图象的特点：双曲线，两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限。
3.反比例函数的性质：
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对反比例函数的概念和图象性质的理解有一定难度。在讲解过程中，我尽量用简单易懂的语言和生动的例子来阐述，希望他们能够更好地掌握这些知识点。
人教版九年级数学下册1反比例函数
2.5 m/s
5 m/s 1000 m
10 m/s
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观察思考
工具
2速.5度mv/s 时间t 距离
2.5 m/s 5 m/s 5 m/s 1000 m
10 m/s
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观察思考
工具
速度v 时间t
典型例题
例2.已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6 ，
写出y关于x的函数解析式.
解：设这个反比例函数的解析式为 y = ∵当x=2时，y=6
k x
(k≠0)
∴6=
k 2
，解得：k=12
∴这个反比例函数的解析为
y
=
12 x
待定系数法
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数， 从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法
26.1.1 反比例函数
学习目标
1. 经历在实际问题中提炼出具有反比例变化规律的数学表达式；
反
比 例
2. 能识别反比例函数的常见形式；
函
数
3. 利用待定系数法求解反比例函数的解析式；
4. 理解反比例函数在描述现实世界中的重要意义.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
观察思考
观察思考 某住宅小区要种植一块面积为2 000 m2的矩形，草坪的长为y m，宽 为x m，那么y与x有何关系.
2000 x ·y = 20x00
1000 t=
v
1.68×104 S=
n
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观察思考
26.1.2反比例函数的图象和性质 课件(共15张PPT)人教版初中数学九年级下册
类比正比例函数，研究反比例函数的图 象与性质
作业
画出反比例函数 y 6 , y 6 , y 3 , y 3 的
x
xx
x
函数图象。
作业展示
1.反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
2.已知反比例函数 y 4 k x
(1)若函数的图象位于第一、三象限，
0
12
x
本节收获
1、进一步巩固复习了作函数图象的一般方法和步骤
2、反比例函数 y k （k为常数，k≠0)的图象是双曲线 x
当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个象 限内y值随x值的增大而减小。 当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限， 在每个 象限内y值随x值的增大而增大。
26.1.2反比例函数的图象和性质
回顾与思考
我们研究了正比例函数的哪些方面
函数
正比例函数
解析式
y kxk 0
自变量取值范围
全体实数
图象形状
过原点的一条直线
图象位置
图象趋势 增减性
k 0
y y=kx
ox
k 0
y y=k
xox
经过一、三象限 经过二、四象限
从左到右逐渐上升 从左到右逐渐下降
Y随x的增大而增大 Y随x的增大而减小
则k____<_4________; (2)若在每一象限内，y随x增大而增大，
则k____>_4________.
3.若点（-2，y1）、（-1，y2）在反比例函数
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努力成就最好的自己！ 谢谢
kk12
∴y与x的函数关系式为
2 2
y
2x
2 x
（2）当x=4时，
y 24 2 81 42
4．已知 y 与 x2 成反比例，并且当 x=3 时，y=4． （1）写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）当 x=1.5 时，求 y 的值； （3）当 y=6 时，求 x 的值.
例题：已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6. （1）写出y与x的函数关系式； （2）求当x=4时y的值.
待定系数法求函数的解析式
1.设出含“未知系数”的函数一般式，如 y=kx ; 2.根据已知条件列出含“未知系数”的方程（组）； 3.解这个方程（组）,求出未知系数; 4.将求出的未知系数的值代入所设的一般式中.
⑴ 一个游泳池的容积为2000m3 ，注满游泳池所用的时 间t(单位:h)随注水速度v(单位:m3 /h) 的变化而变化。
t 2000 v
⑵ 某长方体的体积为1000cm3 ，长方体的高h(单位:cm) 随底面积s(单位:cm2) 的变化而变化。 h 1000
s
例题2、下列的数表中分别给出了变量y与x之 间的对应关系，其中有一个表示的是反比例函数, 你能把它找出来吗?
2. 下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？
ห้องสมุดไป่ตู้
y 4x,
y 3, y - 2 ,
x
x
y 6 x 1,
y x2 1, y 1 , xy 123 x2
第3个以及最后两个是反比例函数
对于反比例函数 y 1000 x
20 ②当x=－100时，y=__－__1_0 ③X的值能不能取０？为什么？
解((12:())1求 当)设yx=与y41x时的，k函1xy数,的关y值2系。式kx2；方将求法两出：组函先值数分代的别入值设所。设y1,的y2函与数x的关关系系式式中，，
则
y
k1x
k2 x
∵x=1时，y=4；x=2时，y=5，
k1 k 2k1
2 k2 2
4
5
26.1 反比例函数
第1节 反比例函数
学 习 目 标
重难点： 1.求反比例函数的解析式 2.用反比例函数图像的规律解决实际问题
问 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v（单 题 位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的
变化而变化．
（1）平均速度v，运行时间t存在什么数量关系？
函数的概念是什么？ 现在学过的函数有哪些，它们的表达式分别是什么？
v 1 463 t
y 1 000 x
S 1.68104 n
y k（k ≠ 0） x
一般地，形如 y k（k 为常数，且 k ≠ 0）的函数，
x
叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数.
自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数．
例1 已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6 （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当x=4时，求y的值
分析：因为y是x的反比例函数，所以设y=k/x， 把x=2和y=6代入上式，就可以求出常数k的值
解：（1）设y k ,因为当x 2时，y 6 x
所以有6 k 2
解得k 12
x -3 -2 -1 1 2 3 y 5 4 3 1 0 -1
(A)
x -3 -2 -1 1 2 3
y -2 -3 -6 6 3 2
(C) xy=6即y=
6 x
x -3 -2 -1 1 2 3 y -4 -3 -2 0 1 2
(B)
x -3 -2 -1 1 2 3 y -6 -4 -2 2 4 6
(D)
因此y 12
(2)把x
x 4代入y
12
,
得
x
y 12 3 4
1、当m取什么值时，函数 y (2 m)x m 3
是x的反比例函数？
2、已知y与x2 成反比例，并且当x=3时y=4. ⑴ 写出y和x之间的函数关系式； ⑵ 求x=1时y的值。
3、已知函数 y = y1 + y2，y1与x 成正比例，y2与x成 反比例，且当x=1时，y=4；当x=2时，y=5。
（2）这两个变量间有函数关系吗？试说明理由．
（3）你能写出v 关于t的解析式吗？
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请 直接写出解析式．
问题2 某住宅小区要种植一块面积为 1 000 m2的矩 形草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽 x（单位：m）的 变化而变化．
问题3 已知北京市的总面积为 1.68×104 km2 ，人 均占有面积 S（单位： km2 /人）随全市总人口 n（单位： 人）的变化而变化．
1.（3.00分）已知点P（a，b）在反比例函数 y= 的图
象上，则ab=
．
2.（3分）若点（3，5）在反比例函数 y＝ （k≠0）的图象
上，则k＝
．
小结
（1）我们今天学习了哪些知识？ （2）我们是如何形成反比例函数概念的？ （3）如何根据已知条件确定反比例函数的解析式？
5．布置作业
教科书习题 26.1 第 1、3题．
函数 (k≠０)中,自变量x的取值范围是不为０的一切实数。
④某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化。
函数关系式为：
，此时x可以取－100吗？为什么？
注意：在实际问题中，自变量的取值还需考虑它的实际意义。
例题1、写出下列问题中的函数关系式，并指出各是什么函数：