九年级下册数学(人教版) 反比例函数
新人教版九年数学下第二十六章-反比例函数知识点总结
新人教版九年数学下第二十六章 反比例函数知识点总结26.1知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①xky =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =⋅（定值）（0k ≠）； ⑸函数xky =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。
（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，xky =，就不是反比例函数了，由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
26.3知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
26.4知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数xky =（0k ≠） k 的符号0k > 0k <图像性质①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。
26.1.2 反比例函数的图象和性质 第1课时 课件
注意： 两个
分支合起来 才是反比例 函数的图象.
y
6 5 4 3 2
1
－6－5－4－3－2－1O －1 －2 －3 －4 －5 －6
y 减y
12
小x
yx增6 大 x
1 2 3 4 5 6x
观察这两个函数图象， 回答问题：
(1) 每个函数图象分 别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内， 随着x的增大，y 如何 变化？你能由它们的 解析式说明理由吗？
k 图象
反比例函数 y k (k≠0) x
k>0
k<0
图象位于第一、三象限 图象位于第二、四象限
性质 在每一个象限内，y 随 x 在每一个象限内，y 随x
的增大而减小
的增大而增大
1. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 y 1 的图象大致是 ( D ) x
y
y
y
y
O
x
O
x
O
Ox
x
A
函数图象画法：描点法
列 表
描 点
连 线
例1：画出反比例函数
y6与 x
y
12 x
的图象.
画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注 意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.
温馨提示：学友主讲,师傅补充和纠正,其他师友进行答疑或点评
解：列表如下：
步骤一：列表
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …
3
2 y6
1
x
y 12 x
步骤二：描点
描点：以表中各组对 应值作为点的坐标， 在直角坐标系内描绘 出相应的点．
－6－5－4－3－2－1O 1 2 3 4 5 6 x
人教版九年级数学下册第26章反比例函数PPT
知识点 1 反比例函数的定义
知1－导
问题
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，它 们的解析式有什么共同特点？ (1)京沪线铁路全程为1 463 km，某次列车的平均速度
v(单位： km/h)随此次列车的全程运行时间t (单位：h) 的变化而变化；
知1－导
(2) 某住宅小区要种植一块面积为1 000 m2的矩形草坪， 草坪的长y (单位：m)随宽x (单位：m)的变化而变化；
(4)还原：写出反比例函数的解析式．
知2－讲
2．由于反比例函数的解析式中只有一个待定系数k， 因此求反比例函数的解析式只需一组对应值或一 个条件即可．
知2－讲
例2 已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6.
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）当x=4时，求y的值.
分析：因为y是x的反比例函数，所以设 y k .
5
①y＝2x－1；②y＝－ ；③y＝x2＋8x－2；
3
1x
a
④y＝ x2 ； ⑤y＝ 2x ； ⑥y＝ x .
导引：根据反比例函数的定义进行判断，看它是否满足反比例函数的三种
表现形式．①y＝2x－1是一次函数；②y＝－ 5 是反比例函数；③y
3
x
＝反＝比xa2＋例，8函x当－数a2≠关是0系时二；是次⑤反函y比数＝例；2函1④x数y是＝，反没x比2有例，此函y条与数件x，2成则可反不以比一写例定成，是y但反=y比与12x例x；不函⑥是y
(k≠0)的图象上，则k的值是( D )
A．10 B．5 C．－5 D．－10
3 若y与x－2成反比例，且当x＝－1时，y＝3，则y
与x之间的关系是( D )
A．正比例函数
人教版数学九年级下册第26章《反比例函数》复习课件
ab x
真题专练
(2015安徽21题12分)如图,已知反比例函数y
k1 与
x
一次函数y=k2x+b的图象交于A(1,8),B(-4,m).源自(1)求k1、k2、b的值;
(2)求△AOB的面积;
y= k
K>0
K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象的两 当k＜0时，函数图象的两
性 质
个分支分别在第一、三象 个分支分别在第二、四象
限，在每个象限内，y随x 限，在每个象限内，y随x
的增大而减小.
的增大而增大.
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点
(1)求p与S之间的函数关系式;
用 (2)求当S＝0.5m2时物体承受的压强p ;
(3)求当p＝2500Pa时物体的受力面积S.
p（Pa）
4000 3000 2000
A(0.25，1000)
1000
O 0.1 0.2 0.3 0.4 S（m2）
【及时归纳】 求反比例函数解析式的步骤
（1）设出反比例函数解析式 y = k ； x
反比例函数的图象及性质(常考)
函数的图象经过点
A(1,-2),则k的值为
()
A. 1
2
B. 1 C. 2
2
D. -2
反比例函数解析式的确定(常考)
点P(1,a)在反比例函数的图象上,它关于y 轴的对称点在一次函数y=2x+4的图象上,求
此反比例函数的解析式.
人教版九年级下册数学知识点总结
人教版九年级下册数学知识点总结一、反比例函数的概念反比例函数是指函数y=k/x（k≠0）的形式，其中自变量x 的指数为-1.在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数这一限制条件。
另外，反比例函数也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。
反比例函数的自变量不能为0，故函数图像与x轴、y轴无交点。
二、反比例函数的图像画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例函数的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
在作反比例函数的图像时，应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
三、反比例函数及其图像的性质1．函数解析式：y=k/x（k≠0）2．自变量的取值范围：x≠03．图像：1）图像的形状：双曲线，曲度越大。
2）图像的位置和性质：当k>0时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。
3）对称性：图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在另一支上。
图像关于直线y=x和y=-x对称。
4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线y=k/x的一点，在双曲线的另一支上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k|）。
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥XXX的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|。
人教版初三数学9年级下册 第26章(反比例函数)反比例函数k的几何意义 课件(17张ppt)
(3)若点(a,y)在该函数图象上,且a＞－2,求y的取值范围.
7.【例 4】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数 y＝k(k＞0)的
x
图象经过点 A(2,m),过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B,且△AOB 的面积
为 5. (1)求k和m的值; (2)当x≥8时,求函数值y的取值范围.
解:(1)∵A(2,m),
第二十六章 反比例函数 与反比例函数有关的面积问题
k 的几何意义及应用
函数
图象形状 图象位置 增减性 延伸性 对称性
y
函数图象的 在每一支
双曲线既
k＞0
两支分支分 曲线上,y 双曲线向 是轴对称
O x 别位于第一、都随x的增 四边无限 图形(对称
三象限
大而减小 延伸,与 轴:y=±x),
y 函数图象的 在每一支 坐标轴没 又是中心
自主归纳
y
P(m,n) B
oA
x
K与图形面积
S矩形OAPB OA• AP
m•n
k
反比例函数图像上任意一点向x轴和y轴作垂线，
得到矩形的面积为 S矩形OAPB k
如图:连接OP，则
SOAP
1 • OA • AP 2
y
1 m•n
2
P(m,n) B
oA
x
1 k 2
反比例函数图像上任意一点向x轴或y轴作垂线，
5.若D、E、F是此反比例函数在第三象限图像上的三个点，
过D、E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N、K，连接
OD、OE、OF，设△ ODM、△OEN、 △OFK 的面积分别
为S1、S2、S3，则下列结论成立的是( D )
y A（1，4）A S1﹤S2 Nhomakorabea﹤ S3
人教版数学九年级下册第二十六章《反比例函数》知识总结及考点分析
第26章 反比例函数一、教学内容：反比例函数 教学目标：1. 理解反比例函数、图像及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图像，并利用它们解决简单的实际问题。
2. 初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。
二、重点、难点： 重点：1.能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图像，并利用它们解决简单的实际问题。
2、反比例函数的图像特点及性质的探究3、通过观察图像，归纳总结反比例函数图像 难点：1、理解反比例函数的概念2、画反比例函数的图像，并从图像中获取信息3、从反比例函数的图像中归纳总结反比例函数的主要性质 4.反比例函数的应用。
三、知识要点1、经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式2、一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y=xk 〔k 为常数，k 不等于0〕的形式，那么称y 是x 的反比例函数.从y=xk中可知，x 作为分母，所以不能为零3、画反比例函数图像时要注意以下几点a 列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于标点b 列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线c 在连线时要用“光滑的曲线〞，不能用折线 4、反比例函数的性质反比例函数 ()0≠=k xky k 的取值范围0>k 0<k图像性质①x 的取值范围是0≠x ，y 的取值范围是0≠y②函数图像的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内y 随x 的增大而减小①x 的取值范围是0≠x ，y 的取值范围是0≠y②函数图像的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内y 随x 的增大而增大注意：1〕反比例函数是轴对称图形和中心对称图形；2〕双曲线的两个分支都与x 轴、y 轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交； 3〕在利用图像性质比拟函数值的大小时，前提应是“在同一象限〞内。
26.1 第1课时 反比例函数的图象 课件(共21张PPT)数学人教版九年级下册
(1) 当 k ＞ 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k ＜ 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.
k 的正负决定反比例函 数图象的位置和增减性
当堂练习
１．已知反比例函数 y m 2 的图象在第一、三
y
4 x
的图象.
解析：通过刚刚的学习可知画图象的三个步骤为
列表
描点
连线
需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0．
解：列表如下
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y
…2 3
0.8 1
4 3
2
4 -4 -2 － 4 -1
3
-0.8 － 2 …
3
y
y=
4 x
6
5 4 3
为(-1，3)，则它们的另一个交点坐标是
( C)
A. (1，3)
y
B. (3，1) C. (1，-3)
x O
D. (-1，3)
4.已知反比例函数y k 的图象经过点 A (2，3)． x
(1) 求这个函数的表达式；
解：∵ 反比例函数 y k 的图象经过点 A(2，3)， x
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 3 k ， 2
例3 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如
何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
(2) 点B(3，4)，C( 2 1 ， 4 4)，D(2，5)是否在这个