13三角函数的有关计算(二)

三角函数的有关计算

教学目标

(一)教学知识点

1．经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义．

2．能够利用计算器进行有关三角函数值的计算．

3．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．

(二)能力训练要求

1．借助计算器，解决含三角函数的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力．

2．发现实际问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达能力．

(三)情感与价值观要求

1．积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐．

2．形成实事求是的严谨的学习态度．

教学重点

1．用计算器由已知三角函数值求锐角．

2．能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．

教学难点

用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．

教学方法

探究——引导——发现．

教学准备

计算器

多媒体演示

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]随着人民生活水平的提高，农用小轿车越来越多，为了交通安全，某市

政府要修建10m 高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m 长的斜道．(如图所示，用多媒体演示)

这条斜道的倾斜角是多少？

[生]在Rt △ABC 中，BC ＝10m ，AC ＝40m ，

sin A ＝AB BC ＝4

1．可是求不出∠A ． [师]我们知道，给定一个锐角的度数，这个锐角的三角函数值都唯一确定．给定一个锐角的三角函数值，这个锐角的大小也唯一确定吗？为什么？

[生]我们曾学习过两个直角三角形的判定定理——HL 定理．在上图中，斜边AC 和直角边BC 是定值，根据HL 定理可知这样的直角三角形形状和大小是唯一确定的，当然∠A 的大小也是唯一确定的．

[师]这位同学能将前后知识联系起来很有条理地解释此问题，很不简单．我们知道了sin A ＝4

1时，锐角A 是唯一确定的．现在我要告诉大家的是要解决这个问题，我们可以借助于科学计算器来完成．这节课，我们就来学习如何用科学计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小．

Ⅱ．讲授新课

1．用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小．

[师]已知三角函数求角度，要用到sin 、cos 、tan 键的第二功能“sin －1，cos －1，tan －1”和2ndf 键．

例如：已知sin A ＝0.9816，求锐角A ；

已知cos A ＝0.8607，求锐角A ；

已知tan A ＝0.1890，求锐角A ；

已知tan A ＝56.78，求锐角A ．

按键顺序如下表．(多媒体演示)

按键顺序 显示结果 sin A sin －10.9816＝

上表的显示结果是以“度”为单位的．再按

分、秒”为单位的结果．

(教学时，给学生以充分交流的时间和空间，教师要引导学生根据自己使用的计算器，探索具体操作步骤)

[师]你能求出上图中∠A的大小吗？

[生]sin A＝

4

1

＝0.25．按键顺序为

14．47751219°，再按键可显示14°28′39″．所以

∠A＝14°28′39″．

[师]很好．我们以后在用计算器求角度时如果无特别说明，结果精确到1″即可．

你还能完成下列已知三角函数值求角度的题吗？(多媒体演示)

1．根据下列条件求锐角θ的大小：

(1)tan θ＝2.9888；(2)sin θ＝0.3957；

(3)cos θ＝0.7850；(4)tan θ＝0.8972；

(5)sin θ＝23；(6)cos θ＝2

3； (7)tan θ＝22.3；(8)tan θ＝3；

(9)sin θ＝0.6；(10)cos θ＝0.2．

2．某段公路每前进100米，路面就升高4米，求这段公路的坡角．

(请同学们完成后，在小组内讨论、交流．教师巡视，对有困难的学生予以及时指导)

[生]1．解：(1)θ＝71°30′2″(2)θ＝23°18＇35″；

(3)θ＝38°16＇46″；(4)θ＝41°53＇54″；

(5)θ＝60°；(6)θ＝30°；

(7)θ＝87°25＇56″；(8)θ＝60°；

(9)θ＝36°52＇12″；(10)θ＝78°27＇47″．

2．解：设坡角为α，根据题意，

sin α＝100

4＝0.04，α＝2°17＇33″． 所以这段公路的坡角为2°17＇33″．

2．运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．

多媒体演示

[例1]如图，工件上有一V 形槽，测得它的上口宽20mm ，深19.2mm ，求V 形角(∠ACB )的大小．(结果精确到1°)

分析：根据题意，可知AB ＝20mm ，CD ⊥AB ，AC ＝BC ，CD ＝19.2mm ，要

求∠ACB ，只需求出∠ACD (或∠DCB )即可．

解：tan ACD ＝21910.CD AD ≈0.5208， ∴∠ACD ＝27.5°，

∠ACB ＝2∠ACD ≈2×27.5°＝55°．

[例2]如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮下6.3cm 的A 处，射线从肿瘤右侧9.8cm 的B 处进入身体，求射线的入射角度．

解：如图，在Rt △ABC 中，

AC ＝6.3cm ，BC ＝9.8cm ，

∴tan B ＝BC AC ＝8

936..≈0.6429． ∴∠B ≈32°44′13″．

因此，射线的入射角度约为32°44′13″．

注：这两例都是实际应用问题，确实需要知道角度，而且角度又不易测量，这时我们根据直角三角形边角关系，即可用计算器计算出角度，用以解决实际问题．

3．解直角三角形

[师]我们讨论锐角三角形函数，都是将锐角放到直角三角形中讨论，又一次揭示了直角三角形中的边角关系．你知道在直角三角形中，除直角外，有几个元素组成？

[生]5个元素，两个锐角，两条直角边和一条斜边．

[师]根据我们所学知识，你知道这些边、角有什么样的关系吗？请同学们有条理地思考并回答．

[生]在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．