向量线性运算及其几何意义

a， b反向且 a b a， b反向且 a b
问题探究
探究二：向量加法的代 数运算性质
向量加法满足交换律和结合律吗？
(1)向量加法交换律：
ab ba
(2)向量加法结合律：
(a+b)+c a (b c)
？？？？？？？？
向量加 法
D a
C
b
a+b
b
B D c A C b+c b B A a a
AC a b
方向相同
方向相反
请选用合适符号连接：
a b ____ a b (<,>, ,, )
非零向量a, b处于什么位置时？
探究
(1) a b a b (2) a b a b (3) a b a b (4) a b b a
a， b不共线或共线反向 a， b共线且同向
三角形法则
(><) O
(><) O
平行四边形法则
复习回顾：
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如 何反映的？什么叫零向量和单位向量？
既有大小又有方向的量叫向量；
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
引言：
两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内 涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没 有多大意义的.我们希望两个向量也能相加， 拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值， 这就需要建立相关的原理和法则.
E
O
F1+F2=F F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线
E
O
F
向量加 法
问题探究
探究一：向量加法的几何 运算法则
向 量 加 法 的 定 义
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
a b
向量加法
C B
C
B
A
A
O
uuu r uuu r uuu r AB BC AC
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
向 向 量 量 加 加 法 法
课堂小结：
向量加法的物理背景
三角形法则
向量的加法运算
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法实际应用
向量加法
向量加 法
下课 !!!!!!!! 课后作业:A本51页~54页
向量加法
1.将向量平移到同一起点 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线
b 问题：除了零向量，有没有不能用平行四 a
物理模型“位移的合成”理解.
边形法则求和向量的情况？
对于零向量与任一向量a, 我们规定 a00a a
向量加 法
特例：共线向量
a b a b B C C A B
A
AC a b
A
2
B
向量加 法
探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 最后要能使渡船垂直过江,则船的 航向应该如何?在白纸上作图探究.
D C
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5
A
2
B
向量加 法
练习题
1.若a表示“向南走10km”， b表示“向西走10 3km”，
60走 20km. 则a b表示向南偏西 ________.
2.若a， b满足 a 3， b 5，求 a b 的 最大值，并指出a， b满足什么条件时? a b 取到最大值.
D
c
C
a + (b + c) (a + b) + c a+b b B A a
向量加 法
向量加 法
学以致用
例１.化简
AD (1) AB CD BC ________
(2) MA BN AC CB ________ MN

(3) AB BD CA DC _____ 0




向量加法

1.OA1+A1A2+A2A3+A3A4+…+An-1An=?

2. 1.OA1+A1A2+A2A3+A3A4+…+An-1An+Ano=?

例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常 常通过轮渡进行运输.一艘船从长江南 岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶,同时江水的速度为向 东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及 船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小和方向.
向量加 法
向量加 法
方法巩固:
向量加法的三角形法则可 推广到多个向量相加，如：
向量加法的三角形法则:
向量加法的平行四边形法则:
AB BC CD DE EF AF ， 1.将向量平移使得它们首尾相连 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 这时也必须 “首尾相连” .可结合
向量加 法
日常生活中遇到的向量加法问题:
例如:某人从A点向东走到B.然后从B点向北走到C. 思考:这个人所走过的位移是多少? 分析 :由物理知识可以知道:
C
从A点到B点然后到C点的 合位移,就是从A点到C点 的位移.
AB
+
A
B
BC
=
AC
向量加法
向量加 法
例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
向量加法
向 量 加 法 的 定 义
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
a b
向量加法
三 角 形 法 则: C
b
平行四边形法则: C B
b b
B
A
a
A
O
a
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型. 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
向量加 法
求船实际航行的速度的大小和方向
解： 如图，设 AB表示水流的
速度， 表示渡船的速度， AD AC表示渡船实际过 江的速度.(由平行四边形 法则可以得到) 由AB AD得Rt ABC ,
？
D 5
C
答：船实际航行速度的大小为 29km/h，方向为东偏北68.
船从南岸的码头 A 点出发到达对 2 2 得 AC 2 5 29 岸的码头 C 点，照这种走法，从 5 CAB , 查计算器可得A CAB 68. 码头tan C 点能否回到码头 点？ 2
问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
E
O
F1+F2=F
E
O
F
力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用产 生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.
向量加法
向量加 法
例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？