坐标表示的焦半径公式

一．坐标表示的焦半径公式

1、椭圆（一类）

由

代入整理得

,

同理，

可以假想点P在y轴右边，且x>0 帮助，显然总有

符合椭圆定义。

公式常见应用：

（1）椭圆上点到焦点最远距离a+c,最近距离a-c

（2）椭圆上三点A,B,C，若

成等差数列，则到同一个焦点的焦半径

也成等差数列。

（3）定义直线为椭圆的左右准线。

由焦半径公式，椭圆上任意一点P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比

总等于离心率e.

2. 双曲线

由

代入整理得

,

由双曲线上点,

若点P在右支上，同理，.总有.

若点P在左支上，同理，.总有.

公示的应用：

（1）若双曲线上同一支上的三点A,B,C，有

成等差数列，则它们到同一个焦点的焦半径

也成等差数列。

（2）定义直线为双曲线的左右准线。

由焦半径公式，双曲线上任意一点P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比

总等于离心率e.

3.抛物线

公式的应用：抛物线上三点A,B,C，

若，则。

二．圆锥曲线统一定义及方向角表示的焦半径公式

1、统一定义：平面上到定点F与定直线l 距离之比等于

常数e的点轨迹。若0

若e=1，则轨迹为抛物线。

若e>1，则轨迹为双曲线。

2.方向角焦半径公式

（1）方向角定义

如图：将Fx当始边，FM当终边所成角定义为

点M的方向角。方向角围

将焦准距离统一表示为P。

对于椭圆，双曲线(要求记忆)

（2）公式：e:离心率，对于椭圆，双曲线，

.

（3）公式的应用：

焦点弦长公式

说明：

（1）焦点弦长公式中，方向角以平方形式出现，

不影响计算，可将方向角改为焦点弦和对称轴

夹角：.

（2）有对称性改为夹角，公式对椭圆，双曲线的左右焦点弦都成立。

（3）对于双曲线当所决定的焦点弦与渐近线平行，在实际上不存在。

若较小，使时，此时公式应表为

，此时焦点弦的两个端点分在两支上。

（4）对于抛物线，∵

e=1 ,.为焦点弦与对称轴夹角。

（5）通径：垂直对称轴的焦点弦称通径，在，令得通径的统一表示2eP.

对于椭圆，双曲线: ；对于抛物线: 2eP=2P.

（6）以上结论容易推广到二类圆锥曲线，比如焦点弦与对称轴夹角，

则有.

三．相交弦长公式

将直线y=Kx+d 代入椭圆

存在相交弦

在中，由求根公式

，

在具体问题，只要已知直线斜率和求得的代入后方程可直接写出相交弦长表达式，完全可以略去中间过程。

上面的观点对于双曲线，抛物线和直线产生的相交弦长也完全用类似的方法推导。只是对于双曲线，直线不能与渐近线平行；对于抛物线，直线不能与对称轴平行。

四．焦点三角形问题

对于椭圆和双曲线存在焦点三角形

对于焦点三角形问题，应注意两条：

一是用定义：椭圆：；双曲线：。

二是用正余弦定理：

举例：已知椭圆，点P位其上一点，点P对角

（即∠），试求表示式。

解：由余弦定理：

移项，消去4：

又

说明：上面这个例子完全适用双曲线中的焦点三角形。

请你推导右面双曲线的图，若∠，求。

五．其他有关知识点：

1.椭圆中的基本

令∠

可以通过三角函数对椭圆中的a,b,c,e进行相互转换。

比如：由.椭圆的方程便可以假设为：

2.双曲线中的基本矩形：

称为是相互共轭两条双曲线，作

,四条直线构成一个矩形，称作

是这两条双曲线的基本矩形（如图）：

基本矩形的对角线定是这两条双曲线的渐近线。

基本矩形中是的一个基本：

OA=a ,AD=b, OD=c .令∠DOA=,则就是其一条渐

近线的倾斜角。设斜率K，则

可以利用三角函数在双曲线的a,b,c,e,K之间进行过渡。

对于，则是它的基本：. 令∠

BOD。

互余，在共轭双曲线之间e与有关系

.

3.双曲线渐近线

m>0为一类双曲线，m<0为二类双曲线，不论一类，二类，令m=0得到的两条直线

定为双曲线的渐近线，具体运作时，移项，开方：。这一结果可以使双曲线方程和它的渐近线方程，两者相互反馈。

例：已知双曲线以坐标轴为对称轴，一条渐近线的方程为，且过点（6，4）。试求该双曲线方程。

由可得

得.

4.有关抛物线的知识点：

（1）四类抛物线：可以简化为两大类：.

焦点。

（2）焦点弦端点坐标公式

如图，为的焦点弦，则有：y

练习题：由焦点弦的一个端点B做准线的垂线，

垂足E。证明：A,O,E三点共线。 E

上面的性质可以推广到其他类型的抛物线。

（3）抛物线上两点连线斜率公式

对于一类抛物线上两点

关于圆锥曲线的切线

1.椭圆

1）若点为椭圆上一点，则椭圆过点P的切线方程为

同一法证明：由（1）知点为椭圆与直线的公共点，若椭圆与直线还有

一个公共点，则（2）（3）

（1）+（2）－2（3）：

即

，直线与椭圆仅有一个公共点，故为切线。

2）椭圆切线的一般表示

点为椭圆上点的一般表示，代入上面的切点公式得

. 此为椭圆切线的一般表示。