5-6玻耳兹曼分布律 重力场中粒子按高度的分布
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玻尔兹曼分布律重力场中粒子按高度分布
玻尔兹曼分布律在物理学中的应用
气体分子运动论
01
玻尔兹曼分布律是气体分子运动论的基础，可以用来描述气体
分子在平衡态下的速度分布和能量分布。
热力学
02
玻尔兹曼分布律在热力学中也有广泛应用，如热力学第二定律、
熵的概念等都涉及到玻尔兹曼分布律。
固体物理
03
在固体物理中，玻尔兹曼分布律可以用来描述电子在金属中的
05 结论与展望
研究结论
玻尔兹曼分布律在重力场中粒 子按高度分布的研究表明，在 一定条件下，粒子分布符合玻
尔兹曼分布。
随着高度的增加，粒子分布 逐渐稀疏，但仍保持玻尔兹
曼分布特征。
重力场对粒子分布的影响表现 为在低处粒子聚集，高处粒子 较少，这与玻尔兹曼分布的特
性相符合。
研究限制与不足
01
本研究仅限于理论分析和模拟，未能进行实际实验验证。
能量状态
根据能量守恒，可以得出 粒子在重力场中的能量状 态由动能和势能共同决定。
能量变化
在重力场中，粒子的能量 会发生变化，主要表现在 动能和势能之间的转换。
03 玻尔兹曼分布律与重力场 的结合
玻尔兹曼分布律在重力场中的适用性
玻尔兹曼分布律适用于粒子在平衡态 下的分布情况，当粒子受到重力作用 时，其分布情况同样适用玻尔兹曼分 布律。
玻尔兹曼分布律重力 场中粒子按高度分布
目录
CONTENTS
• 玻尔兹曼分布律的概述 • 重力场中粒子的运动规律 • 玻尔兹曼分布律与重力场的结合 • 实验验证与结果分析 • 结论与展望
01 玻尔兹曼分布律的概述
定义与特性
定义
玻尔兹曼分布律是描述粒子在平衡态下按能量分布的规律，其数学表达式为f(E) = exp(-E/kT)，其中E为粒子能量，k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度。
chap5-7玻尔兹曼分布律 重力场中粒子按高度的分布
保守力场中，粒子不再均匀分布 两点 修正
用 E Ek Ep
变量间隔改为
m 2 2 取代 Ek (v x v 2 v y z) 2 dv x dv y dv z dxdydz
在空间小体积 速度在
x x dx , y y dy , z z dz中
vx vx dvx , v y v y dv y , vz vz dvz 区间
p nkT n0kTe
p0 RT z ln g p
gh RT
p0e
高度计原理
Ek Ep kT
的分子数：
m dN C ( ) 2kT
3Leabharlann 2edvx dv y dvz dxdydz
对所有速度积分得体积元 dxdydz 内总分子数
dN Ce
Ep
kT
dx dy dz
分子数密度：
Ep dN n Ce kT dxdydz
设 Ep 0处 分子密度为 n0 , 则 C n0
玻尔兹曼分布律
重力场中粒子按高度的分布
重力场中粒子按高度分布规律
或：粒子按势能分布规律 1.玻尔兹曼分布律 无外力场存在时,麦氏分子速率分布定律
mv 2 2 kT
dN m 32 dW 4 ( ) e N 2kT
v 2 dv
麦氏分子速度分布定律 m 2 2 ( vx v 2 3 dN m y vz ) dW ( ) 2 e 2 kT dvx dv y dvz N 2kT
n n0 e
状态。
Ep kT
在保守力场中，分子总是优先占据势能较低的
2.重力场中粒子按高度分布 设z=0处Ep=0，Ep=mgz
玻尔兹曼能量分布
m0
2π kT
⎟⎟⎠⎞3
2 −εk +ε p
e kT
dv x dv y dv z dxdydz
玻尔兹曼能量分布
dN
=
n0 ⎜⎜⎝⎛
m0
2π kT
⎟⎟⎠⎞3
2 −εk +ε p
e kT
dv x dv y dv z dxdydz
能量较大的分子数较小 能量较小的分子数较大
分子总是优先占据低能量状态
由麦克斯韦速率分布的归一化条件:
动能与速度有关，势能与位置有关.
系统处于平衡态时, 坐标、速度介于
空间区域: x → x + dx , y → y + dy , z → z + dz
速度区间: vx → vx + dvx , vy → vy + dvy , vz → vz + dvz
玻耳兹曼能量分布律:
内的分子数为
dN
=
n0 ⎜⎜⎝⎛
解得
dp = γ p dT γ −1T
因为
− m0 gz
p = p0e kT所以d Nhomakorabeap
=
−
p kT
m0 gdz
dT = − γ −1 m0g = − γ −1 Mg
dz γ k
γR
玻尔兹曼能量分布
空气分子平均摩尔质量: M = 29×10-3 kg. mol-1;
比热容比 : γ = 1.4
dT = −9.8 ×10−3 K ⋅ m −1 dz
大学物理
气体动理论
第4讲 玻尔兹曼能量分布
一、玻耳兹曼能量分布
奥地利物理学家玻耳兹 曼(Boltzmann,1844 — 1906), 在麦克斯韦速率分布的基础 上考虑到外力场对气体分子 分布的影响,建立了气体分子 按能量的分布规律.
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布)exp()0()(RTgzM n z n m -⋅=等温大气重力场中分布公式式麦克斯韦速度分布2223/2()(,,)d d d ()exp d d d 2π2x y z x y z x y z x y z m m f kT kT ⎡⎤++=⋅-⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦v v v v v v v v v v v v )exp(kTε- 分布都是按粒子能量ε的分布，它们都有一个称为“玻尔兹曼因子”的因子1122exp()N N kTεε-=-)/exp(kT ε-1ε2ε 规律:这些分布中都有因子 ，称为玻尔兹曼因子。
具有玻尔兹曼因子的分布，称为玻尔兹曼分布（Bortzmann distribution ）若n 1和n 2分别是在温度为T 的系统中，处于粒子能量为的某一状态与粒子能量为的另一状态上的粒子数密度。
则玻尔兹曼分布可表示为)exp(2121kTn n εε--= 玻尔兹曼分布表示：粒子处于能量相同的各状态上的概率是相同的；粒子处于能量不同的各状态的概率是不同的，粒子处于能量高的状态上的概率反而小---能量最小原理。
exp()N kTε∝-1）玻尔兹曼分布能为我们提供用来表示温度的另一表达式1221ln()T n k n εε-=)exp(2121kTn n εε--=对于粒子只能取两个能级的系统：12εε>产生激光的系统，就处于粒子数反转（populationinversion ）的负温度状态。
12εε>讨论12n n <0T >若12n n >若T <2）有外力场时分子按能量的分布规律分子处于保守力场中时，分子能量既有动能又有势能分子动能是分子速度的函数，分子势能一般是位置的函数，分子数按能量分布关系与速度有关，也和空间位置有关.(p )3k 20d ()e d d d d d d 2πE E kT x y z m N n x y zkT-+=⋅v v v 其中n 0 表示E p =0处气体分子的数密度.（玻耳兹曼分子按能量分布定律）,d ~,d ~,d ~z z z y y y x x x v v v v v v v v v +++p222p 2p k )(2121E m E m E E E z y x +++=+=+=v v v v ,d ~,d ~,d ~z z z y y y x x +++x ),,(z y x ),,(z y x v v v ..(p )k d eE E kTN C -+∝⋅3）重力场中微粒按高度分布根据麦克斯韦速度分布函数的归一化性质则玻耳兹曼分布可以写为：（粒子数密度按势能的分布）3k 2- ()e d d d 12πE kT x y z m kT +∞-∞⋅=⎰⎰⎰v v v p- 0d ed d d E kTN n x y z=⋅zy x N n d d d d =P 0eE kTn n -=分子按势能的分布规律是玻耳兹曼分布律的另一常用形式.//3/20[d d d ]()d d d 2πp k E kTE kTVm n ex y z e kT --⎰⎰⎰⎰⎰⎰ x y z vv v v N=如果保守外力场为重力场，势能为 E p =mgz （z 为高度），则(重力场中粒子数密度按高度的分布)将其代入理想气体状态方程有0emgzkTp n kT -=⋅- 0emgz kTp = 0eM RTgz p -=kTgzm kTE en en n --==00pnkT p =(p )3k 20d ()e d d d d d d 2πE E kT x y z m N n x y zkT-+=⋅v v v 其中n 0 表示E p =0处气体分子的数密度.玻耳兹曼分子按能量分布定律,d ~,d ~,d ~z z z y y y x x x v v v v v v v v v +++,d ~,d ~,d ~z z z y y y x x +++x 谢谢大家！。
玻尔兹曼分布律
分布函数的概念有着普遍的意义，在速度空间有 麦克斯韦速度分布函数。
6
*力学量的平均值
x
xdN
N
xf ( x)dx
g( x)
g( x)dN
N
g( x) f ( x)dx
7
4.2 玻尔兹曼分子数密度分布
重力场中粒子按高度的分布（ P ）mgh
热运动使分子趋于均匀分布而重力使之位于低处。 在重力加速度可以认为不变的范围,取地面为势能 零点.分布在高度为h的地方单位体积内的分子数?
上式右方仅与速率有关.与速度方向无关.具有各向同性的特点.
分布在任一速率v ~ v +dv区间的体积是
4v2 dv 17
结论：在平衡态下，当气体分子间的相互作用 可以忽略时，分布在任一速率区间v ~ v +dv 的 分子数占总分子数的比率为
dN v (
m
3
) 2 e mv2 2kT 4v2 dv
§4 玻尔兹曼分布律
4.1 统计分布律与分布函数的概念 • 分布函数
4.2 玻尔兹曼分子数密度分布 • 等温大气压强公式（高度计原理）
• 玻尔兹曼密度分布律
• 玻尔兹曼分子按能量分布律
§5 麦克斯韦速度分布律
5.1 麦克斯韦速度分布律
5.2 麦克斯韦速率分布律
平均速率 v和方均根速率 v2, 最可几速率vp
3
• 分布函数 以伽尔顿板实验为例说明。
设一定量的分子总数为N
dN(x) 表示分布在某区间 x~ x +d x 内的分子数， dN (x) /N表示分布在此区间内的分子数占总分子数 的比率（或百分比）。
dN(x)/N 是 x 的函数，在不同区间附近取相等的 间隔，此比率一般不相等。
玻耳兹曼分布律
玻耳兹曼分布律 (Distribution of Boltzmann)
1. 玻尔兹曼分布律 平衡态下（温度一定） 速度区间 vx — vx+dvx vy — vy+dvy vz — vz+dvz
位置区间
x —x+ dx y —y+ dy z —z+ dz
1
*§9.11
求状态区间dvxdvy dvz dxdydz的分子数为?
dxdydz
体积元 dxdydz 中的分子数密度为 dN E p / kT E p / kT n C e n0e dxdydz n0 C ——分子在EP=0处分子的数密度
4
EP=mgh，则
n n0e
mgh / kT
n0e
M mol gh / RT
重力场中气体分子的密度 n随高度h的增加按指数规律而 减小。 1909年的皮兰实验的验证
由理想气体的压强 P= nkT
mg h kT M mol g h RT
P n0e
kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ P0e
——恒温气压公式
5
dv x dv y dv z dxdydz
3
求体积元 dxdydz 中的分子数 dN
C[ e
2 2 (v2 x v y v z ) / 2 kT
dv x dv y dv z ]e
EP / kT
dxdydz
C与[ ]中的定积分合并为常数C′
dN Ce
E P kT
——玻尔兹曼分布 E / kT e —— 称为玻尔兹曼因子
2
2. 重力场中分子按位置的分布
状态区间dvxdvy dvz dxdydz 分子的总能量
1. 玻尔兹曼分布律 平衡态下（温度一定） 速度区间 vx — vx+dvx vy — vy+dvy vz — vz+dvz
位置区间
x —x+ dx y —y+ dy z —z+ dz
1
*§9.11
求状态区间dvxdvy dvz dxdydz的分子数为?
dxdydz
体积元 dxdydz 中的分子数密度为 dN E p / kT E p / kT n C e n0e dxdydz n0 C ——分子在EP=0处分子的数密度
4
EP=mgh，则
n n0e
mgh / kT
n0e
M mol gh / RT
重力场中气体分子的密度 n随高度h的增加按指数规律而 减小。 1909年的皮兰实验的验证
由理想气体的压强 P= nkT
mg h kT M mol g h RT
P n0e
kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ P0e
——恒温气压公式
5
dv x dv y dv z dxdydz
3
求体积元 dxdydz 中的分子数 dN
C[ e
2 2 (v2 x v y v z ) / 2 kT
dv x dv y dv z ]e
EP / kT
dxdydz
C与[ ]中的定积分合并为常数C′
dN Ce
E P kT
——玻尔兹曼分布 E / kT e —— 称为玻尔兹曼因子
2
2. 重力场中分子按位置的分布
状态区间dvxdvy dvz dxdydz 分子的总能量
玻耳兹曼分布律
/ kT d N (r , v ) C e d v x d vy d vz d x d y d z
式中
k p 是分子的总能量，
C 是与位置坐标和速度无关的比例因子。 这一结论，称为麦克斯韦–玻耳兹曼分布定律。 它给出了分子数按能量的分布规律。 微观粒子能量的量子化分布 1 , 2 , , i ,
d p n g d h
h+dh h
p
（非均匀的稳定分布）
平衡态下气体的温度处处相同，气体的压强为
p nkT
d p kT d n
kT d n n g d h
dn n
g
kT
dh
n
n
0
dn n
0
h
g
kT
dh
n n0e
gh kT
在重力场中，粒子数密度随高度增大而减小， 越 大，n减小越迅速；T越高，n减小越缓慢。
dN ndV n0e
p
/ kT
dxdydz
式中 p 是位于（x、y、z）处分子 的势能。
这是粒子关于位置的分布的规律，常称为玻耳兹曼分布律 它表明，在势场中的分子总是优先占据势能较低的状态。
平衡态下温度为T的气体中，位置在 x~x+dx， y~y+dy， z~z+dz 中, 且速度在 , , vx ~ vx dvx v y 区间的分子数为 ~ v y dv y v z ~ v z d v z
玻耳兹曼分布律
玻耳兹曼 L. Boltzmann 奥地利物理学家
玻耳兹曼（1844年～1906年），奥地利物理学家，统计 物理学的奠基人之一。玻耳兹曼推广了J.C.麦克斯韦的分 子运动理论而得到有分子势能的麦克斯韦-玻耳兹曼分布定 律。在1872年从更广和更深的非平衡态的分子动力学出发 ，得到H定理，这是经典分子动力论的基础。其经典名著： 《气体理论讲义》。
式中
k p 是分子的总能量，
C 是与位置坐标和速度无关的比例因子。 这一结论，称为麦克斯韦–玻耳兹曼分布定律。 它给出了分子数按能量的分布规律。 微观粒子能量的量子化分布 1 , 2 , , i ,
d p n g d h
h+dh h
p
（非均匀的稳定分布）
平衡态下气体的温度处处相同，气体的压强为
p nkT
d p kT d n
kT d n n g d h
dn n
g
kT
dh
n
n
0
dn n
0
h
g
kT
dh
n n0e
gh kT
在重力场中，粒子数密度随高度增大而减小， 越 大，n减小越迅速；T越高，n减小越缓慢。
dN ndV n0e
p
/ kT
dxdydz
式中 p 是位于（x、y、z）处分子 的势能。
这是粒子关于位置的分布的规律，常称为玻耳兹曼分布律 它表明，在势场中的分子总是优先占据势能较低的状态。
平衡态下温度为T的气体中，位置在 x~x+dx， y~y+dy， z~z+dz 中, 且速度在 , , vx ~ vx dvx v y 区间的分子数为 ~ v y dv y v z ~ v z d v z
玻耳兹曼分布律
玻耳兹曼 L. Boltzmann 奥地利物理学家
玻耳兹曼（1844年～1906年），奥地利物理学家，统计 物理学的奠基人之一。玻耳兹曼推广了J.C.麦克斯韦的分 子运动理论而得到有分子势能的麦克斯韦-玻耳兹曼分布定 律。在1872年从更广和更深的非平衡态的分子动力学出发 ，得到H定理，这是经典分子动力论的基础。其经典名著： 《气体理论讲义》。
大学物理课后答案第四章
第四章 气体动理论一、基本要求1．理解平衡态的概念。
2．了解气体分子热运动图像和理想气体分子的微观模型，能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概念。
3．初步掌握气体动理论的研究方法，了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。
4．理解麦克斯韦速率分布律、速率分布函数和速率分布曲线的物理意义，理解气体分子运动的最概然速率、平均速率、方均根速率的意义，了解玻尔兹曼能量分布律。
5．理解能量按自由度均分定理及内能的概念，会用能量均分定理计算理想气体的内能。
6．了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的意义及其简单的计算。
二、基本内容1. 平衡态在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态。
2. 理想气体状态方程在平衡态下，理想气体各参量之间满足关系式pV vRT =或 n k T p =式中v 为气体摩尔数，R 为摩尔气体常量 118.31R J mol K --=⋅⋅，k 为玻尔兹曼常量 2311.3810k J K --=⨯⋅3. 理想气体压强的微观公式21233t p nm n ε==v4. 温度及其微观统计意义温度是决定一个系统能否与其它系统处于热平衡的宏观性质，在微观统计上32t kT ε=5. 能量均分定理在平衡态下，分子热运动的每个自由度的平均动能都相等，且等于2kT 。
以i 表示分子热运动的总自由度，则一个分子的总平均动能为2t i kT ε=6. 速率分布函数()dNf Nd =v v麦克斯韦速率分布函数232/22()4()2m kT m f e kTππ-=v v v7. 三种速率最概然速率p =≈v 平均速率==≈v 方均根速率==≈8. 玻尔兹曼分布律平衡态下某状态区间（粒子能量为ε）的粒子数正比于kT e /ε-。
重力场中粒子数密度按高度的分布（温度均匀）：kT m gh e n n /0-=9. 范德瓦尔斯方程采用相互作用的刚性球分子模型，对于1mol 气体RT b V V ap m m=-+))((2 10. 气体分子的平均自由程λ==11. 输运过程 内摩擦dS dz du df z 0)(η-=， 1133mn ηλρλ==v v 热传导dSdt dz dT dQ z 0)(κ-= 13v c κρλ=v 扩散dSdt dz d D dM z 0)(ρ-= 13D λ=v三、习题选解4-1 一根铜棒的两端分别与冰水混合物和沸水接触，经过足够长的时间后，系统也可以达到一个宏观性质不随时间变化的状态。
热学第二章分子动理论(3)
——玻尔兹曼密度分布律 玻尔兹曼密度分布律
(描绘外力场中分子在位形空间的分布) 描绘外力场中分子在位形空间的分布)
表示保守力场中势能为E 表示保守力场中势能为 P 的空间 位置附近单位体积内的分子数 分子数. 位置附近单位体积内的分子数.
n = n0e
Ep kT
——玻尔兹曼分布的常用形式 玻尔兹曼分布的常用形式
单原子 刚性双原子 刚性多原子
自由度 1mol 理想 气体的内能
i=3
3 RT 2
i=5
5 RT 2
i=6
3RT
i 当温度发生微小变化时,内能的变化为: 当温度发生微小变化时,内能的变化为: dE = ν RdT 2 i 当温度由T 变到T 当温度由 变到 +△T,则 E = ν RT ,
2
说明:(对一定量的理想气体 说明:(对一定量的理想气体) :(对一定量的理想气体) 1)一定量的理想气体, 1)一定量的理想气体,内能只是温度的单值函数 , 一定量的理想气体 E=E(T).这是理想气体的一个重要性质. 这是理想气体的一个重要性质. 2)T 是状态量,与过程无关, 2) 是状态量,与过程无关,因而内能也是状态量与 过程无关. 过程无关.一个过程中理想气体内能的变化仅与初 末态温度变化有关,与过程无关. 末态温度变化有关,与过程无关. 3)公式变形: 公式变形:
二,重力场中微粒按高度的分布 分子数密度n 分子势能 分子势能E 设Z = 0 处,Ep= 0 , 分子数密度 0 ,分子势能 p = mgz 处单位体积内的分子数: 则高为 z 处单位体积内的分子数
n = n0e
gz m kT
= n0e
Mmolgz RT
说明:重力场中分子数密度n 说明:重力场中分子数密度 随高度的 分子数密度 增加按指数衰减. 增加按指数衰减 无规则热运动 重力 均匀分布 平衡
高二物理竞赛课件：麦克斯韦–玻耳兹曼能量分布律 重力场中粒子按高度的分布(14张PPT)
10-6…… 50 ……
若超过了容器的线度 l, >> l ----真空。 在这种情况下,可以认为 l 。
12 返回 退出
例 已知： O2，d 3.6×10-10m， T = 273K、 p = 1atm
求： z ? ?
解： v 8RT 425m/s
πM
n p 2.691025 /m3 kT
0
m0 2π kT
3
2 m0v2
e 2kT
4π
v2dv
1
可得：
Ep
dNB n0e kT dxdydz
玻耳兹曼分布律
上式表示位置处于 x x+dx, y y+dy, z z+dz 内 的分子数(包括各种速度的分子)。
返回 退出
二、重力场中粒子按高度的分布
Ep
dNB n0e kT dxdydz
z u n π d 2nu
v v 碰撞夹角 有各种可能（0 — 180）
u
90 u 2v
z 2 π d 2nv
1 返回 退出
平均自由程与压强、温度的关系
一个分子在相邻两次碰撞之间的平均
路程称为平均自由程，记作 。
v v 1
z 2 π d 2 vn 2 π d 2n
1
2 πd 2n
O2
1.94
3.19 1013 4.62 1012
N2
1.39
CO2
1.45
5.45 1012 5.34 1012
z 分子在碰撞中可视为球形
返回 退出
ln P g h
P0
RT
P
gh
e RT
P0
RT P h ln
g P0
玻耳兹曼分布律PPT讲解
自由运动的路程 ：自由程 其平均值 ：平均自由程
二、平均碰撞频率
v
一个分子在单位时间内和其他分子碰撞的次数 Z ：碰撞频率
其平均值 Z ：平均碰撞频率
一个分子在单位时间内走过的平均路程：v ， v / Z
4
三、Z 、 的计算
d ：分子直径
v
Z d 2vn
d 2：分子碰撞截面
Z 2d 2vn
V1
V2
V
V2 V
10
功 A是过程量，不是状态量，与 P，V，T，E不同
元功 dA，dP、 dV 、dT 、 dE
9
四、平衡态、准静态过程、功的几何表示
理想气体， PV RT
P
P
P
（ P，V ）
V
V
点 平衡态
有向曲线 准静态过程
V1
P
面积 A V2 PdV V1
面积 准静态过程的功
只有 PV 图上的面积表示功
解： Z 2d 2vn 2d 2 8RT P kT
81.19 亿次/秒
kT
2d 2P
ห้องสมุดไป่ตู้
2.09 107 m
T t 273.15 ， 1atm 1.013105Pa
6
热力学基础 第1节 几个基本概念
一、系统与外界 确定为研究对象的宏观体系：系统或体系 系统以外的物体：外界或环境
二、准静态过程 系统状态随时间的变化：热力学过程 准静态过程：如果一个过程进行的无限缓慢，体系所经历的 每一个中间态都无限接近于平衡态
例：求大气中 n 相差一倍的两处的高度差
已知：空气摩尔质量 28.97 103 kg ，T 300K
解： h1处：n1
gh1
大学物理玻耳兹曼分布
M molgz
p0e
RT
29103 9.83600
1.013105e
(8.31273)
0.645105 pa
设人每次吸入空气的容积为V0 ，在拉萨应呼吸x 次
则有 p(xV0 ) p0 (17V0 )
x 26.7次
二. 玻耳兹曼分布律
m gz
n n0e kT
p mgz
它适用于任何形式的保守力场
CO2 等温线
二. 范德瓦尔斯方程
由于实际气体分子有大小，并且分子之间存在有相互作用， 使得理想气体状态方程不完全符合实际气体的状态变化规律。 通过对理想气体状态方程的修正，可以得出更接近实 际气体性质的状态方程。 1. 分子体积所引起的修正
1mol 理想气体的状态方程为
pv RT
考虑气体分子本身有大小，将上式修改为
p(v b) RT
b 为常数，可由实验测定或理论估计。
2. 分子间引力引起的修正
当分子间距离大于某一值 r 时，引力可忽略不计。该距离 r 称为分子引力的有效作用距离；对每个分子来说对它有 作用力的分子分布在一个半径为r 的球体内(分子作用) 。
·远离器壁的分子受其它 分子的平均作用力为零
·靠近器壁而位于厚度 为r 的表面层内的任一 分子，将受到一个指 向气体内部的分子引 力的合力。
三. 麦克斯韦–玻耳兹曼分布律
平衡态下温度为 T 的气体中，位置在 x~x+dx， y~y+dy，
z~z+dz 中, 且速度在 vx ~ vx+dvx , vy ~ vy+dvy ,vz ~ vz+dvz 区间的分子数为
dN (r,v) Ce / kTdvxdvydvzdxdydz
麦克斯韦一玻耳兹曼能量分布律重力场中粒子按高度分布
由上式可得高度 z为
z RT ln p0 gM mol p
高度 计
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选择进入下一节 §5-0 教学基本要求 §5-1 热运动的描述 理想气体模型和物态方程 §5-2 分子热运动和统计规律 §5-3 理想气体的压强和温度公式 §5-4 能量均分定理 理想气体的内能 §5-5 麦克斯韦速率分布律 *§5-6 麦克斯韦-玻耳兹曼能量分布律 重力场中粒
)
3 2
e(
Ek
Ep
)
/
kT
vx
vy
vz
xyz
(3)将上式对速度积分，并考虑到分布函数的归一化，
则玻耳兹曼分布率也可以写成如下形式：
NB n0eEp /kT xyz
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二、 重力场中粒子按高度的分布
在重力场中，气体分子受到两种互相对立的作 用。无规则的热运动将使气体分子均匀分布于它们 所能到达的空间，而重力则要使气体分子聚拢在地 面上，当这两种作用达到平衡时，气体分子在空间 作非均匀的分布，分子数随高度减小。
设z=0处势能为零，则分布在高度为z处的体 积元V= x y z内的分子数为
m0 gz
NB n0e kT xyz
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以 V= x y z除上式，即得分布在高度为z处 单位体积内的分子数为
m0 gz
n n0e kT
在重力场中气体分子 的密度n随高度z的增加按 指数而减小。分子的质量 m0越大，重力的作用就越 显著，n的减小就越迅速， 气体的温度越高，分子的 无规则运动越剧烈， n的 减小就越缓慢。
注意: (1)在相同的速度间隔和空间间隔，分子数的多少取 决于分子能量E的大小，分子能量愈大，分子数愈少， 这表明，就统计的意义而言，气体分子将占据能量 较低的状态。
高二物理竞赛麦克斯韦-玻尔兹曼能量分布律PPT(课件)
如氢分子在低温时只有平动，室温时可能有平动和转动，高温时还有振动。
16
理想气体内能
内能：气体内所有分子的动能、分子内的势能与分子间的 相互作用势能的总和。
理想气体内能： • 对理想气体，分子间的势能为0； • 对刚性分子，分子内的势能为0。
k R 波尔兹曼常数
NA
理想气体内能是其所有分子的平均动能之和。
刚性分子：无内部相对运动。
• 单原子分子： (He氦、Ne氖、…)
i t 3
• 双原子分子： (O2、H2、CO…)
• t=3 • r=2 • 绕轴转动自由度无意义
i tr 5
• 多原子分子： (H2O 水蒸气、CO2、…)
i tr 6
14
能量均分定理(按自由度)
在温度为T 的平衡态下，气体分子
每个自由度所对应的平均动能都等于
双原子分子： (O2、H2、CO…)
1 kT 2
1. 平动情况： 重力场中粒子按高度的分布
6* 麦克斯韦-玻尔兹曼能量分布律
重力场中粒子按高度的分布
1 3 6* 麦克斯韦-玻尔兹曼能量分布律
由平均平动动能： mv kT 重力场中粒子按高度的分布
2 2 对刚性分子，分子内的势能为0。
2 k
9* 真实气体 范德瓦耳斯方程
统计物理学的奠基人之一.
每个平动自由度的平均平动动能：
经典名著：《气体理论讲义》 dN /(N ·dv)：某 v 处单位速率间隔内分子数与总数N之比。
重力场中粒子按高度的分布
玻耳兹曼
1844年～1906年
5. 气体动理论
5.1 热运动的描述 理想气体模型和状态方程 5.2 分子热运动和统计规律 5.3 气体动理论的压强和温度公式 5.4 能量均分定理 理想气体的内能 5.5 麦克斯韦速率分布律 5.6* 麦克斯韦-玻尔兹曼能量分布律
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理想气体内能
内能：气体内所有分子的动能、分子内的势能与分子间的 相互作用势能的总和。
理想气体内能： • 对理想气体，分子间的势能为0； • 对刚性分子，分子内的势能为0。
k R 波尔兹曼常数
NA
理想气体内能是其所有分子的平均动能之和。
刚性分子：无内部相对运动。
• 单原子分子： (He氦、Ne氖、…)
i t 3
• 双原子分子： (O2、H2、CO…)
• t=3 • r=2 • 绕轴转动自由度无意义
i tr 5
• 多原子分子： (H2O 水蒸气、CO2、…)
i tr 6
14
能量均分定理(按自由度)
在温度为T 的平衡态下，气体分子
每个自由度所对应的平均动能都等于
双原子分子： (O2、H2、CO…)
1 kT 2
1. 平动情况： 重力场中粒子按高度的分布
6* 麦克斯韦-玻尔兹曼能量分布律
重力场中粒子按高度的分布
1 3 6* 麦克斯韦-玻尔兹曼能量分布律
由平均平动动能： mv kT 重力场中粒子按高度的分布
2 2 对刚性分子，分子内的势能为0。
2 k
9* 真实气体 范德瓦耳斯方程
统计物理学的奠基人之一.
每个平动自由度的平均平动动能：
经典名著：《气体理论讲义》 dN /(N ·dv)：某 v 处单位速率间隔内分子数与总数N之比。
重力场中粒子按高度的分布
玻耳兹曼
1844年～1906年
5. 气体动理论
5.1 热运动的描述 理想气体模型和状态方程 5.2 分子热运动和统计规律 5.3 气体动理论的压强和温度公式 5.4 能量均分定理 理想气体的内能 5.5 麦克斯韦速率分布律 5.6* 麦克斯韦-玻尔兹曼能量分布律
玻尔兹曼分布律
2
e
m 2kT
(vx2
v
2 y
vz2
)
dvxdvy
dvz
3
并注意到 v2 vx2 vy2 v，z2
则有
dN 4 (
m
)3/ 2
mv2
e 2kT
v2
dv
N
2k T
此即麦克斯韦速率分布律。
f v 1 dN , dN f vdv
N dv
N
二、玻尔兹曼分布律
麦氏速度分布律是在没有考虑外力场作用时的分布
e
Ek kT
d)
2 kT
因为在速率空间中有
d 4v2dv
所以，有
dN /
Ep
n0e kT dV
m
3
2 mv2
e 2kT
0 2kT
4v 2 dv
8
又
f (v)dv 1
0
Ep
dN n0e kT dV
表示在空间某位置（具有Ep）的体积元dV＝dxdydz内的总 分子数。 ２、分子数密度按势能分布的规律
dN N
A(
m
2 k
T
)3
/
2
e
Ek E kT
p
dvx
dv
y
dvz
dxdydz
dN
C( m
2 kT
) e 3/ 2
Ep EK kT
dvx dv y dvz dxdydz
Ep EK
E
e kT e kT
称玻尔兹曼因子 Ｃ＝ＡＮ
比例常数
dN
C( m
2 kT
)3/ 2
E
e kT
dvx dvy dvz dxdydz
大学物理(热学知识点总结)
7、bca为理想气体绝热过程，b1a和b2a是任意过程，则上述两 过程中气体作功与吸收热量的情况是: A） b1a过程放热，作负功；b2a过程放热，作负功． B） b1a过程吸热，作负功；b2a过程放热，作负功． C）b1a过程吸热，作正功；b2a过程吸热，作负功． D） b1a过程放热，作正功；b2a过程吸热，作正功．
[1]、有一定量的理想气体，从初状态 a （P1 、V1 ）开始， 经过一个等容过程达到压强为P1 / 4 的 b 态，再经过一个等 压过程达到状态C ，最后经过等温过程而完成一个循环， 求：该循环过程中系统对外作的功A 和所吸收的热量Q。 解：由已知可得： a( P 1 ,V1 )
循环过程
E 0 Q A V V1 1) a b A 0 2) b c A p1 (4V1 V1 ) / 4 3 p1V1 / 4 3) c a A p1V1 ln( V1 / 4V1 ) p1V1 ln4
p (105 Pa) 3 2 1 O A 1 2 C V (103 m3) B
解：(1) A→B：
A1
ΔE1= CV (TB-TA)=3(pBVB-pAVA) /2=750 J Q=A1+ΔE1＝950 J． B→C： A2 =0 ΔE2 = CV (TC-TB)=3( PCVC-PBVB ) /2 =-600 J． Q2 =A2 +ΔE2 ＝-600 J． C→A： A3 = PA (VA－VC)=－100 J．
解（ ： 1） 等 容 过 程 ， A 0, 外 界 对 气 体 作 功 A 0 M i Q E CV T RT M mol 2 0.02 3 8.31 ( 300 290 ) 623 ( J ). 0.004 2 (2)等压过程， E 与 （ 1） 同 。
人大附中高中物理竞赛辅导课件(物理竞赛中的数学知识)玻耳兹曼分布律(共18张ppt)
dN CeE kT dvxdv ydvzdxdydz
玻耳兹曼 分布律
能量越低的粒子出现的概率越大，
随着能量升高，粒子出现的概率按指数率减小。
对速度区间积分可得分布在位置区间的分子数为：
dN CeEp kT dxdydz
e dv dv dv + m(vx2 v y2 vz2 ) 2kT
x yz
可估算所在高空离地面的高度。
例 氢原子基态能级E1=-13.6eV，第一激发态能级 E2=-3.4eV，求出在室温T=270C时原子处于第一激 发态与基态的数目比。（18联赛改编题）
解：
N e 2
( E2 E1 ) kT
N1
e 10.21.61019 1.381023 300
e 394.2 1.58 1010
dN CeEp kT dxdydz
e dv dv dv + m(vx2 v y2 vz2 ) 2kT
x yz
dN CeE p kT dxdydz
则分子数密度 n dN C e E p kT dxdydz
E p 0时,C n0 为势能等于零处的分子数密度
n n0e E p kT 粒子数按势能分布
(vx2
dv dv v y2 vz2 ) x 分子动能
ydvz
e 因子 mv2 2kT
e Ek kT
理想气体分子 仅有动能
麦克斯韦速度分布可以看作是无外场中分子数
按能量的分布
分子势能
如气体分子处于外力场中，分子能量 E = Ep+ Ek
玻耳兹曼将麦氏分布推广为： 在温度为T的平衡态下，任何系统的微观粒子
P的相关因素
P
表面层分子受到内
与表面层分子（类似 ）
第三十七讲气体分子动理论之一——理想气体的压强和温度公式
mv 2 3/ 2 ) e 2 kT
v
2
1920年斯特恩从实验上证实了速率分布定律
分子速率的实验测定
Stern 做了分子射线束实验
A
S S B C P B l C
t=l/v=/
v = l /
只有满足此条件的分子才能同时通过两缝。 通过改变ωφ可获得不同速率区间的分子。
麦克斯韦速率分布律
0
可将h 推广为任意物理量。
分子速率分布函数
处于平衡态的气体分子的热运动速度在每一个时刻都 在随机变化着，但是大多数分子之间存在一种统计相关 性，它表现为平均来说气体分子的速率介于v – v + d v 的概率是不会改变的。
可将上面的h 推广为任意物理量,如理想气体系统中分 子的速度v . 讨论分子数按速率的分布函数。 速度为v→v + dv 间隔内的分子数为dN dN f (v )dv 归一化条件 N
等于圆柱体体积中的分子数。
设圆柱体的截面积为πd 2 。在 实际上其它分子也在运动 B D u t Δt内，分子所走过的路程 相应圆柱体的体积为 d 2u t 设气体分子数密度为n，在Δt时间 A 2 C d n u t 内与A相碰的分子数为
d d d
2 2 z d n u t / t d nu 平均碰撞频率为
这就是玻尔兹曼分布律.
在温度为T的平衡态下，任何系统的微观粒子按 状态的分布，即在某一状态区间的粒子数与该状 态区间的一个粒子能量有关，与 E / kT 概率因子: e 成正比。 它说明分子优先占据能量较低的状态. 由于:
(
m 3 / 2 Ek / kT ) e dv x dv y dv z 1 2kT
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0
m dN n0 e 2kT
0
3 2
p k
kT
dvx dv y dvz dxdydz
玻尔兹曼分布律
设气体分子处于某一保守力场中，分子势能 为 p ，则其分子数密度仍遵从上式。 在空间某一微小区域 x-x+dx，y-y+dy，z-z+dz 的分子数dN’
dN n0
ε p kT e dxdydz
设 Ep=0 处分子数密度为 n0 ，
在保守力场中，分子总是优先占据势能较低的 状态。
二. 重力场中气体分子按高度分布
重力场中考虑一竖直空气柱， 设Ep=0 处分子数密度为n0 ， ε p 据dN n e kT dxdydz 在 Z 处分子数密度为
§8-7 玻尔兹曼分布律重力场中粒子按高度分布
一. 玻尔兹曼分布律
玻 当分子处于保守力场时，麦克斯韦速率分 尔 布律中的指数项应以总能量 E Ek E p 2 兹 1 代替动能 Ek 2 m v ，这样在保守力场 曼 中分子的空间分布也不均匀。 玻尔兹曼计算得到系统在某一微小区域 x-x+dx， y-y+dy，z-z+dz 及 vx-vx+dvx， vy-vy+dvy， vz-vz+dvz 的分 子数 dN (设 Ep=0 处分子数密度为n0 )
p p0 e
mgz kT
p0 e
Mgz RT
z ln( p0 / p) RT / Mg
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
0
n
当大气温度均匀时，分子数密 度随高度增加按指数规律减小。 在同一高度
n n0 e
m0
T
mgz kT
n0
n 减小更快
n 减小更慢
重力场中气体分子按高度分布
又据p nkT
将分子数密度代入，得:
设Z=0处的压强为P0 ，重力场中气体 的压强随高度的增加按指数规律减小。 恒温气压公式（高度计）： 设温度不随高度变化，根据压强变化测高度， 实际温度也随高度变化，测大气温度有一定的范围， 是近似测量。 由上式可得高度h为：
m dN n0 e 2kT
0
3 2
p k
kT
dvx dv y dvz dxdydz
玻尔兹曼分布律
设气体分子处于某一保守力场中，分子势能 为 p ，则其分子数密度仍遵从上式。 在空间某一微小区域 x-x+dx，y-y+dy，z-z+dz 的分子数dN’
dN n0
ε p kT e dxdydz
设 Ep=0 处分子数密度为 n0 ，
在保守力场中，分子总是优先占据势能较低的 状态。
二. 重力场中气体分子按高度分布
重力场中考虑一竖直空气柱， 设Ep=0 处分子数密度为n0 ， ε p 据dN n e kT dxdydz 在 Z 处分子数密度为
§8-7 玻尔兹曼分布律重力场中粒子按高度分布
一. 玻尔兹曼分布律
玻 当分子处于保守力场时，麦克斯韦速率分 尔 布律中的指数项应以总能量 E Ek E p 2 兹 1 代替动能 Ek 2 m v ，这样在保守力场 曼 中分子的空间分布也不均匀。 玻尔兹曼计算得到系统在某一微小区域 x-x+dx， y-y+dy，z-z+dz 及 vx-vx+dvx， vy-vy+dvy， vz-vz+dvz 的分 子数 dN (设 Ep=0 处分子数密度为n0 )
p p0 e
mgz kT
p0 e
Mgz RT
z ln( p0 / p) RT / Mg
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
0
n
当大气温度均匀时，分子数密 度随高度增加按指数规律减小。 在同一高度
n n0 e
m0
T
mgz kT
n0
n 减小更快
n 减小更慢
重力场中气体分子按高度分布
又据p nkT
将分子数密度代入，得:
设Z=0处的压强为P0 ，重力场中气体 的压强随高度的增加按指数规律减小。 恒温气压公式（高度计）： 设温度不随高度变化，根据压强变化测高度， 实际温度也随高度变化，测大气温度有一定的范围， 是近似测量。 由上式可得高度h为：