清华大学高等数学期末考试
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清华大学
2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷）
考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷
命题教师：
3小题，每小题3分，总计9分 ） 1、若在),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f
在此区间内单调 ，曲线是 的。
2、设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=232
322t
t y t
t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=⎰dx x x
1cos 12
。 中。本大题共3小题，每小题3分，总计 9分）
1、设A x x ax x x =-+--→1
4
lim 231，则必有
.
104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(=-=-==-====A a D A a C A a B A a A ， ，， ，
答( )
2、设211
)(x
x f -=，则)(x f 的一个原函数为 x
x D x x C x B x A -++-11ln
21)(11ln 21)(arctan )(arcsin )(
答( ) 3、设f 为连续函数，又，⎰=x
e x dt t
f x F 3)()(则=')0(F
)
0()1()( 0)()1()( )(f f D C f B e A -
答( )
2小题，每小题5分，总计10分 ）
1、求极限x
e e x x x cos 12lim 0--+-→。
2、x y 2
ln 1+=,求y '。
3小题，每小题8分，总计24分 ）
1、讨论⎪⎩⎪
⎨
⎧=≠=0,00arctan )(2
x x x x x f ，，在处的可导性。
2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得
ξξ=)(f 。
3、证明不等式：当4>x 时，2
2x x >。
3小题，每小题8分，总计24分 ）
1、求函数x e y x
cos =的极值。
2、求不定积分⎰x x
x d cos sin 3。
3、计算积分⎰-+-+22
22
)cos 233(ln
sin π
πdx x x
x
x 。
4小题，每小题6分，总计24分 ）
1、求不定积分⎰+)
1(10x x dx
。
2、计算积分⎰+πθθ430
2cos 1d 。
3、求抛物线2
2
1x y =被圆822=+y x 所截下部分的长度。
4、求微分方程的一个特解。