谈数学中的反证法
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谈数学中的反证法
谈数学中的反证法
何昊
(江苏省南京市第十三中学锁金分校)
摘要:系统地介绍了理论基础,对反证法的逻辑形式,唯一的负命题,命题,肯定命题三用反证法适用的命题类型进行了详细讨论。
关键词:反证法;否定性;唯一性
在数学的诸多方法中,反证法是一种重要的证明方法,尤其在数学证明中,它是一种间接的证据,被称为“一个最先进的武器”的数学家.反证法经常被用来证明存在性、否定性、唯一性等一些不易直接下手的命题.用反证法证明命题成立的基本步骤可以简单地概括为“否定―推理―反驳―肯定”四个步骤.一个数学问题的解决方案,如果你觉得不足或没有启动的“条件”,不妨考虑反证法的使用.反证法的应用范围很广,比如代数、数论、几何、组合等方面的应用.
一、反证法的概念及类型
反谓反证法,就是在要证明“若A则B”时,可以先将结论B予以否定,记作,然后从A与出发,经正确的逻辑
推理而得到矛盾,从而原命题得证.
反证法大致可分为以下两种类型:
归谬法:论题结论的反面只有一种情况,只要把这种情况推翻就达到了目的.
穷举法:论题结论的反面不止一种情况,要一一驳倒,最后才能肯定原命题结论正确.
二、反证法常用于以下几种命题的证明
1.存在性命题
例1:证明A,B,C,D,E五数之和等于5,则其中必有一个不小于1.
分析:这个问题似乎很简单,但直接的证明是不容易的.因此,应用反证法,它可以很容易地证明.
证明:假设A,B,C,D,E都小于1,那么A+B+C+D+EAM,同理,AB>BM,即在△AMB中,AB大于其他两边.
由“大边对大角”知,∠AMB>∠ABM.同理,∠AMB>∠BAM.
所以,3∠AMB>∠ABM+∠AMB+∠BAM=180°,
所以∠AMB>60°.
同理∠BMC、∠CMD、∠DME、∠EMF、∠FMA均大于60°.
所以∠AMB+∠BMC+∠CMD+∠DME+∠EMF+∠FMA>360°.
但是,很显然,这个角围成了一个周角,它们的和不
可能大于360°,出现矛盾.
故而假设不正确,所以原命题成立.
3.唯一性命题
例3:求证方程x=sinx+a(a为常数)的解唯一.
分析:直接解或证明是非常困难的,作为唯一的命题往往采用反证法证明.
所以原方程的解是唯一的.
从上面的例子中,我们可以看到,最大的优势是反证法――超过一个或几个条件,从相反的结论来看,与一些已知的条件下,原出口的冲突,从而达到负的假设、肯定原命题的目的.从上面,我们应该充分利用反证法,必须正确把握灵活运用“反设”“归谬”这两个反证步骤.反设是反证法的第一步,能否正确否定结论,对论证的正确性有着直接的影响.
反证法是很巧妙的,它的应用是很广泛的,但究竟怎样的命题证明才适于用反证法,却很难回答,这是一个经验问题.
参考文献:
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