两角和与差的余弦PPT演示文稿
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2
cos , ( , ) 4 2 7 2 sin 1 cos 4 cos( ) cos cos sin sin 3 5 2 7 12 3 5 2 7 cos( ) cos cos sin sin 12
y
用向量的方法探讨 cos( ) ?
如右图：则
A
B
OA (cos， sin ),OB (cos , sin )
由向量数量积的定义，有
O
1 x
OA OB OA OB cos( ) cos( ) 由向量数量积的坐标表示，有
(1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
OA OB (cos , sin ) (cos , sin ) cos cos sin sin
由（1）和（2）得
(2)
cos( ) cos cos sin sin
两角和差的余弦公式
对于任意角 ， 都有
C
αβ
例4.在△ABC中,cosA=3／5,cosB=5／13,
33／65 则cosC的值为__________
分析: ∵C=180 °–(A+B) ∴cosC= –cos(A+B)= –cosAcosB+sinAsinB 已知cosA=3／5 ,cosB=5／13,尚需求sinA,sinB的值. ∵sinA= 4／5 , sinB=12／13, ∴cosC=–3／5 × 5／13 + 4／5 ×12／13=33／65.
应用举例
例1.不查表,求cos(–435°)的值.
解:cos(– 435 °)=cos75 ° =cos(45 ° +30 °) =cos45 ° ·cos30 ° –sin45 ° ·sin30 °
2 3 2 1 2 2 2 2
6 2 4
练习
不查表,求cos105 °和cos15 °的值.
CC SS
cos( ) cos cos sin sin
思考？cos ? 用余弦差角公式推导 cos[ ( )] cos cos( ) sin sin( )
（
c
( )）
cos cos sin sin
2 6 答案：cos105°= 4 2 6 cos15 °= 4
2 3 例2、已知 sin , ( , ), cos , 3 2 4 3 ( , ), 求 cos( ), cos( ) 2 2
解： sin , ( , ) 3 2
两角和差的余弦公式
不查表，求cos（ –435°） 的值.
解：cos(–435 ° ) =cos435 ° =cos(360 ° +75 °)=cos75 °
1. 75 °能否写成两个特殊角的和或差的形式?
2. cos75 ° =cos(45 ° +30 °)=cos45 ° +cos30 ° 成立吗? 3. 究竟cos75 ° =? 4. cos (45 ° +30 °)能否用45 °和30 °的角的 三角函数来表示? 5. 如果能,那么一般地cos(α±β)能否用α 、β的 角的三角函数来表示?
cos cos cos sin sin
简记：
C( ) CC SS
两角和与差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
公式的结构特征: （1）左边是复角α±β的余弦,右边是单角α、β 的余弦 积与正弦积构成. （2）展开式余弦在前正弦在后，和差相反 （3）要计算和差角余弦需要4个量
5 cos 1 sin 3 3 3
例3.已知cos(α–30 °)=4/5, α为大于30
°的锐角,求cos α的值.
分析： α=(α– 30 °)+ 30 ° 解：∵ 30 °＜ α ＜90 ° , ∴ 0 ° ＜ α – 30 ° ＜60 °, 由cos(α – 30 ° )=4／5,得sin (α – 30 ° )=3／5, ∴cos α=cos[(α – 30 ° )+ 30 °] = cos(α – 30 ° )cos 30 ° – sin (α – 30 ° )sin 30 ° = 4 ／ 5 × √3 ／ 2 – 3 ／ 5 × 1 ／ 2 =（4√3 –3）／10.
／2 2.cos ² 15 °–sin² 15 °= √3 -----。
3.在△ABC中,若sinAsinB=cosAcosB, 则△ABC是 ( A ). (A)直角三角形 (B)钝角三角形 (C)锐角三角形 (D)不确定.
思考题：已知 α ，β
5 cos α +β 13
4 都是锐角, cosα = ， 5
求 cosβ 的值 α +β α 变角: β =
cos
分析： cos
cosα sinα cos αβ sin αβ
5 4 12 3 13 5 13 5
16 65
三角函数中一定要注意观 察角度之间的关系，例如
= α +β =( - )+
例5.cos25 °cos35 °– cos65 °cos55 °
的值等于(
B (A) 0 (B) 1／2
).
(C) √3／2 (D)–1／2
解: 原式=cos25 °cos35 °–sin25 ° sin35 ° =cos(25 ° +35 °) =cos60 ° =1／2.
课 堂 练 习
1.已知cosθ= –5／13, θ∈(π,3π／2)求 cos(θ+π／6)的值. (12–5√3) ／26
小结
• 1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β • 2. 公式作用：求值,化简,证明 • 3.使用公式时要灵活，并注意逆向使用. • 4.注意问题中角的范围，合理取舍
cos , ( , ) 4 2 7 2 sin 1 cos 4 cos( ) cos cos sin sin 3 5 2 7 12 3 5 2 7 cos( ) cos cos sin sin 12
y
用向量的方法探讨 cos( ) ?
如右图：则
A
B
OA (cos， sin ),OB (cos , sin )
由向量数量积的定义，有
O
1 x
OA OB OA OB cos( ) cos( ) 由向量数量积的坐标表示，有
(1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
OA OB (cos , sin ) (cos , sin ) cos cos sin sin
由（1）和（2）得
(2)
cos( ) cos cos sin sin
两角和差的余弦公式
对于任意角 ， 都有
C
αβ
例4.在△ABC中,cosA=3／5,cosB=5／13,
33／65 则cosC的值为__________
分析: ∵C=180 °–(A+B) ∴cosC= –cos(A+B)= –cosAcosB+sinAsinB 已知cosA=3／5 ,cosB=5／13,尚需求sinA,sinB的值. ∵sinA= 4／5 , sinB=12／13, ∴cosC=–3／5 × 5／13 + 4／5 ×12／13=33／65.
应用举例
例1.不查表,求cos(–435°)的值.
解:cos(– 435 °)=cos75 ° =cos(45 ° +30 °) =cos45 ° ·cos30 ° –sin45 ° ·sin30 °
2 3 2 1 2 2 2 2
6 2 4
练习
不查表,求cos105 °和cos15 °的值.
CC SS
cos( ) cos cos sin sin
思考？cos ? 用余弦差角公式推导 cos[ ( )] cos cos( ) sin sin( )
（
c
( )）
cos cos sin sin
2 6 答案：cos105°= 4 2 6 cos15 °= 4
2 3 例2、已知 sin , ( , ), cos , 3 2 4 3 ( , ), 求 cos( ), cos( ) 2 2
解： sin , ( , ) 3 2
两角和差的余弦公式
不查表，求cos（ –435°） 的值.
解：cos(–435 ° ) =cos435 ° =cos(360 ° +75 °)=cos75 °
1. 75 °能否写成两个特殊角的和或差的形式?
2. cos75 ° =cos(45 ° +30 °)=cos45 ° +cos30 ° 成立吗? 3. 究竟cos75 ° =? 4. cos (45 ° +30 °)能否用45 °和30 °的角的 三角函数来表示? 5. 如果能,那么一般地cos(α±β)能否用α 、β的 角的三角函数来表示?
cos cos cos sin sin
简记：
C( ) CC SS
两角和与差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
公式的结构特征: （1）左边是复角α±β的余弦,右边是单角α、β 的余弦 积与正弦积构成. （2）展开式余弦在前正弦在后，和差相反 （3）要计算和差角余弦需要4个量
5 cos 1 sin 3 3 3
例3.已知cos(α–30 °)=4/5, α为大于30
°的锐角,求cos α的值.
分析： α=(α– 30 °)+ 30 ° 解：∵ 30 °＜ α ＜90 ° , ∴ 0 ° ＜ α – 30 ° ＜60 °, 由cos(α – 30 ° )=4／5,得sin (α – 30 ° )=3／5, ∴cos α=cos[(α – 30 ° )+ 30 °] = cos(α – 30 ° )cos 30 ° – sin (α – 30 ° )sin 30 ° = 4 ／ 5 × √3 ／ 2 – 3 ／ 5 × 1 ／ 2 =（4√3 –3）／10.
／2 2.cos ² 15 °–sin² 15 °= √3 -----。
3.在△ABC中,若sinAsinB=cosAcosB, 则△ABC是 ( A ). (A)直角三角形 (B)钝角三角形 (C)锐角三角形 (D)不确定.
思考题：已知 α ，β
5 cos α +β 13
4 都是锐角, cosα = ， 5
求 cosβ 的值 α +β α 变角: β =
cos
分析： cos
cosα sinα cos αβ sin αβ
5 4 12 3 13 5 13 5
16 65
三角函数中一定要注意观 察角度之间的关系，例如
= α +β =( - )+
例5.cos25 °cos35 °– cos65 °cos55 °
的值等于(
B (A) 0 (B) 1／2
).
(C) √3／2 (D)–1／2
解: 原式=cos25 °cos35 °–sin25 ° sin35 ° =cos(25 ° +35 °) =cos60 ° =1／2.
课 堂 练 习
1.已知cosθ= –5／13, θ∈(π,3π／2)求 cos(θ+π／6)的值. (12–5√3) ／26
小结
• 1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β • 2. 公式作用：求值,化简,证明 • 3.使用公式时要灵活，并注意逆向使用. • 4.注意问题中角的范围，合理取舍