两角和与差的余弦公式.ppt

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令 , 则 cos( ) cos( ) cos
发现： cos（α-β）公式的结构形式 应该与sinα ,cosα ,sinβ ,cosβ均有关系
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思考2：我们知道cos(α－β)的值与α，β 的三角函数值有一定关系，观察下表中的数 据，你有什么发现？
cos(60°－ 30°)
cos60°
cos30°
sin60°
sin30°
3 2
cos(120° － 60°)
1
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1 2
cos120°
1 2
3 2
cos60°
1 2
3 2
sin120°
3 2
1 2
sin60°
3 2
从表中,可以发现:
cos(60° － 30°)=cos60°cos30°+sin 60°sin30° cos(120° － 60°) =cos120°cos60°+sin 120°sin60°
cos150 =cos（450- 300） =cos450cos300 + sin450sin300 = ×+× =
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运用公式求值
求下列各式的值：
(1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)；
cos 7°－sin 15°sin 8°
(2)
cos 8°
O
B
M1
x
+ cocso(sα－coβs)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
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uuur
OA cosα,sinα
uuur
OB cosβ,sinβ
OA OB OA OB cos( )
cos( )
A
∵ OA OB
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cos cos sin sin
y 1
α -β
B
α
β
? ＝ cos45°－ cos30°
? 问题2: cos(α-β) = ? cos(α+β) =
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探究：如何用任意角α，β的正弦、
余弦值表示 cos( ？ )
思考1：设α，β为两个任意角, 你能判断 cos(α －β)＝cosα－cosβ恒成立吗?
例:cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°
积的和。 简记“余余正正号相反” 2.公式中的α,β是任意角，公式的应用要讲究一个
“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用
公式，如构造角β＝(α＋β)－α，β＝ 等． 22
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〖公式应用〗
引例:求cos15°的值.
分析：将150可以看成450-300而450和300均为特殊角， 借助它们即可求出150的余弦.
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两个向量的数量积
温 a b a b cosθ 其中θ∈[0，π ]
故
知 新
a x1, y1 b x2, y2
a b x1x2 y1y2
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一、 新课引入 cos75°＝cos（ 45° +30°）
问题1:
cos15°＝？ ＝cos745°°+=c？os30°？ cos15°＝cos（45°－ 30°）
o
1
x
-1
∴ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
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思考：以上推导是否有不严谨之处？
当α-β是任意角时，由诱导公式总可以找到 一个角θ∈[0，2π），使cosθ=cos(α-β)
若θ∈[0，π ]，则 OAOB cos cos( )
若θ∈[π,2π)，则2π -θ∈[0，π ]，且
.
【思路探究】 (1)将 α－35°，25°＋α 分别视为一个角，逆
用公式可得解.
(2)由 7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决.
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【自主解答】 (1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－
60°)＝cos 60°＝12.
(2)原式＝cos15°－8c°o－s 8s°in 15°sin 8°
45°sin 30°
＝ 22× 23－ 22×12＝
6－ 4
2 .
(2)cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°
＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°
＝cos(75°－15°)＝cos
＝cos
15°cos
8°＋sin 15°sin cos 8°
8°－sin
15°sin
8°
＝cos
15°cos cos 8°
8°＝cos
15°＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝ 22× 23＋ 22×12＝
6＋ 4
2 .
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1.两角和与差的余弦公式中，α，β 可以是单个角，也可以是 两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整 体.
OA OB cos(2π–θ)=cosθ=cos(α-β)
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〖探究3〗 两角差的余弦公式有哪些结构特征？
cos cos cos sin sin
上述公式称为差角的余弦公式，记作 C( )
注意：1.公式的结构特点：等号的左边是复角α-β的
余弦值，等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘
现在，我们猜想，对任意角α，β 有： cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
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〖探究2〗 借助三角函数线来推导cos（α-β）公式
y
1
P1
OM＝ cos(α-β) OB＝cosαcosβ
A
sin
C
BM＝sinαsinβ P 又 OM＝OB＋BM
cos
cos
sin sin
2.在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值. (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余 弦公式的结构形式，然后逆用公式求值.
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求下列各式的值：
(1)cos 75°；(2)cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°. 【解】 (1)cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin
因此，对角α，β cos(α－β)＝cosα－cosβ
一般不成立. 00:05:53
〖探究1〗 cos（α-β）公式的结构形式应该与哪些量有关系 ？
令 ,
2
则
cos( ) cos( ) sin
2
令 , 则 cos( ) cos( ) cos
令 , 则 cos( ) cos( ) sin