魏晋时期刘徽的数学思想与成就探析刘光

兰台世界2012·10月下旬

数学是人类自然科学发展中的一个重要分支，中国古代虽然经历了漫长的封建制下的思想禁锢，但是自然科学的发展在中国并没有停滞不前。在数学科学领域，最为杰出的代表人物就是魏晋时期的数学家刘徽，他的数学成就不仅是中国古代数学科学的骄傲，从世界范围来看，也是人类数学史上取得的一次重大突破。

刘徽伟大著作《九章算术注》的成书年代被历史学家确定为263年，这是根据唐代数学家李淳风所作《晋书·律历志》和《隋书·

律历志》[1]

得出的。除了以上证明外，还可以通过唐朝数学家王孝通

的著作来证实。唐代数学家王孝通在“上辑古算术表”中明确写道，九章算术作者为刘徽。

一、刘徽的数学成就介绍

刘徽作为我国古代伟大的数学家，无论是《九章算术注》，还是对球体积的研究，还是最广为人知的割圆术，都对后世的数学发展作出了巨大的贡献。

1.刘徽的《九章算术注》。我国古代数学成就非凡，留下来的著作主要有十种，其中最重要的当属《九章算术》。《九章算术》共九章，它着重应用和计算，其理论成果最终往往以算法的形式表达，理论与实际的结合比较强，这也是它在后世得以流传和应用的主要原因。《九章算术注》是刘徽对《九章算术》的注释，成书于263年，共九卷，流传到今天，成为我国最重要的数学遗产之一[2]。刘徽的《九章算术注》所做的不仅仅局限于注释《九章算术》，还通过对《九章算术》的学习创造了许多解决实际数学问题的新方法，开辟了数学发展的新途径，这几种重要的数学方法为：关于圆周率和圆面积，圆锥体积和球体积，方程新术，十进位数等。下面我们以球体积这一思想成果为例详细介绍刘徽的数学成就。

通过学习，刘徽发现《九章算术》中的球体积算法是错误的。后来，刘徽又通过对“牟合方盖”的研究，运用“出入相补原理”，得出了计算球体积的基本模型和思路。遗憾的是，刘徽最终还是没能得出球体积的计算公式，但是他的研究为后世学者的研究提供了基础。

刘徽死后200年，我国古代的另一位数学家祖冲之及其儿子在刘徽研究的基础上，终于研究出球体积的计算公式，V=4/3πR ＾3（R 是半径）。球体积计算公式的得出与刘徽的研究密不可分。

2.刘徽的割圆术。刘徽的割圆术与上述数学方法一样，都是自《九章算术》得来的。刘徽在研究《九章算术》时发现，古人用“周三径一”的方法来计算圆的周长，但是这种方法很不准确，于是刘徽投入研究，想要得到更精确的算法。首先，刘徽肯定圆内接正多边形的面积小于圆的面积，这个很好理解，刘徽发挥在后文我们会提到的极限思想，认为如果圆内接多边形的边越多，那么这个正多边形的面积就越接近于圆。最后，刘徽将圆周长和面积代入运算，得到圆周率为

3.14，这就是后人所说的徽率。

二、刘徽的学术思想

刘徽是我国古代的伟大学者，尽管他作为数学家是以数学研究成果闻名的，但是作为一个大学者，他的很多学术思想也值得我们研究和学习。

1.极限理论思想。前面说到刘徽的割圆术，现在来说与割圆术密切相关的极限思想，因为极限思想与割圆术密不可分，极限思想帮助刘徽总结出了圆周率，实现了割圆术的价值，割圆术是极限思想的证明方法。（1）引入极限思想。画出一个圆和圆内接正六边形，假设圆的半径为1，可以求出正六边形的边长和面积，在此基础上割圆，可以得出正十二边形，可以求出该正十二边形的边长和面积。（2）通过试验阐述极限思想。刘徽通过试验，得出了一个结论，认为这个数列是一个有限数列，其极限就是圆的面积。刘徽的这种思想经过几千年人们的发掘，到现代数学阶段已经应用到科学和生活的各个角落[3]。

2.重差思想。在西汉时期张盖天的天文理论影响下，刘徽通过研究

《九章算术》，提出了一种测量太阳高、远的方法，当时的数学家称之为重差，这也是刘徽的重要思想之一，收入刘徽《海岛算经》中。

3.“类”的思想。“类”的概念在我国有非常古老的历史渊源，经考证，其真正的形成是始于后期墨家。在《九章算术注》中，刘徽对很多数学问题的证明是以“类”为基础的，其证明的过程和证明的方法基本以

“以类合类”为主，所以，刘徽被认为是一位对“类”思想有非常独到理解的数学家。

刘徽的“类”思想，包含了两个方面，一是“推类而归”，一是“触

类而长”[4]

。“推类而归”的过程其实是一个归纳整理的过程，而“触类

而长”的过程则是一个演绎的过程，这两个过程不可分割，互相联系，体现了明显的认识论思想，这种从特殊到一般的认识过程，非常值得我们学习。

但是，我们也应该认识到刘徽“类”思想的一些局限性。从总体来说，刘徽的“类”的思想还不是一种认识事物的具体方式，而只是对认识规律的总结，带有相当多的感性成分。刘徽的“类”的思想，只是一种利用认识论来对数学问题进行归纳的方法，不是一种科学的方式和原则，所以我们称之有诸多局限性。

4.刘徽的数学研究方法。刘徽是著名的数学家，他在数学研究方面之所以能够取得瞩目的成就，就是因为在数学研究方面，他有一些独到的研究方法。在此我们主要介绍两种。（1）刘徽的定义方法。定义是为了揭示事物的内涵，它是对事物的本质和外延的一种重要的界定。定义是逻辑推理的基础，如果没有标准的定义方法，那么逻辑推理将无从下手，科学研究也就无法进行。在《九章算术注》中，刘徽展现出了良好的科学素质，其中，最引人注目的就是刘徽的定义方法。《九章算术注》有言，“不有明据，辩之斯难”，这就充分表

本文主要从数学成就和学术思想两个方面总结了刘徽的伟大成就，详细介绍了他的《九章算术注》、割圆术以及极限思

想、治学精神和批判精神等，力图向读者介绍刘徽的伟大成就。

刘徽数学思想成就

魏晋时期刘徽的数学思想与成就探析

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重庆城市管理职业学院刘光

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达了他对“定义”这一工作的重视[5]。刘徽认为“率”是两个或两个以上数的比例关系。这个定义基本上沿用至今，所以说，刘徽的思想和影响力到几千年后的今天依然丝毫不减。（2）刘徽的证明方法。证明是指从前提出发，用逻辑推论的方法验证命题的准确性。在《九章算术注》中，刘徽使用了很多比较先进的现在仍然在使用的逻辑论证方法，如极限思想与归纳方法相结合的证明方法，“出入相补”的证明方法等。这些方法不仅帮助刘徽得出了很多非常重要的数学结论，还为后世研究者提供了科学研究的方法指导。

5.刘徽的治学思想。刘徽的治学方法也值得我们研究和学习。科学进步日新月异，刘徽的许多研究成果渐渐被取代，但是他的治学方法却可以永远为我们所用，指导我们进行研究工作。刘徽的治学思想主要体现在以下几个方面：（1）善于学习他人长处。博采众长是刘徽进行学术研究的重要指导思想，连他最负盛名的《九章算术注》也是在前人《九章算术》的基础上研究所得的。（2）实事求是，严谨治学。刘徽思想得以流传至今，最重要的原因就是刘徽一直把实事求是作为他数学研究的标杆。刘徽《九章算术注》对《九章算术》中的大部分命题都进行了证明，并且还只是有少许的错误，这在当时的数学发展情况来看，是非常难得的。（3）具有创新精神。刘徽的主要成就是《九章算术注》，这是对前人大作《九章算术》的注释，一般来说，这很容易造成囿于前人经验的情况，使个人研究止步不前。但是刘徽具有创新精神，他通过自己的严密证明，完善了《九章算术》的内容，形成了自己的学术成就。

6.刘徽的批判精神。刘徽是一位有自己独到见解的数学家，他并没有在前人的并不完善的研究成果面前墨守成规，而是对前人的错误结论提出批判，同时运用自己的严密证明得出正确的结论。但是，他也并不盲目地批判，而总是在证据充分的情况下才进行批判。

三、刘徽成就和思想的历史地位和对现代的启示

刘徽是中国古代一位伟大数学家，他赋予数学逻辑性、严密性和客观性，这几个特征在后世发展之中越来越得到数学研究者的继承和发展，成为推动数学发展的基础，成为数学学科推动科学发展的基础。刘徽不仅取得了许多伟大的数学成就，其学术思想的影响

力更为巨大，他为每一个从事研究事业的人都提供了榜样。

刘徽对后世研究学习者的启示主要体现在以下几个方面：（1）在学习上，注意树立主观的兴趣，兴趣可以激发一个人的创造力，有利于研究学习行为的进行和取得一定的研究成果。（2）注重培养抽象思维能力、逻辑思维能力和辩证思维能力。无论从事什么样的学科研究，总是需要思考得出结论，所以思维能力对一个人非常重要。（3）注意培养学术思维的独立性，树立自信心，建立责任感、使命感

和奉献精神。进行研究，最终的目的是得出成果，造福人类，所以必须有像刘徽那样的奉献精神和学术观念。

参考文献

[1]孙宗明.简论古代数学家刘徽及其学术思想[J].滨州职业学院学报，

2009（4）.[2]石庆娟，吕杰，杨柳.刘徽的学术思想、科学精神对中学数学教育创新的启示[J ].考试周刊，2011（68）.

[3]江献.数学家刘徽的成就[J ].高师理科学刊，2010（3）.[4]王哲.浅谈刘徽在数学上的主要成就[J ].科技信息，2010（10）.[5]王爱屏.刘徽“类”思想中的数学成就及其局限性[J ].哈尔滨师范大学自然科学学报，2010（6）.★作者简介：重庆城市管理职业学院副教授。

宋代是中国历史上经济、科技、文化和社会最为繁荣的时期，这一时期当中，国家的经济水平达到空前的繁荣，科技发展达到中国封建时代的顶峰，文化发展也达到了空前的繁荣时期，百姓生活富足，社会发展稳定。宋代的文化繁荣不仅仅表现在书法、诗歌这些方面，体育运动发展也达到了很高水平，很多文人也都参与进来，比如宋代大文豪苏东坡就非常热爱狩猎和射箭，陆游和辛弃疾都非常擅长剑术。在这种文化发展盛况之下，宋代的蹴鞠运动也达到了鼎盛时期。

一、宋代蹴鞠运动繁荣盛况

蹴鞠运动在中国的战国时期就得到了发展，在汉代和唐代都非常繁荣。汉代著名大将霍去病就是一个擅长蹴鞠的大将，唐代的唐玄宗也非常热爱这项运动。在汉唐期间，在朝廷都城都建立了专门用来踢球的场地，甚至有专门的从事踢球的团体。到了宋代，蹴鞠又在唐朝的基础上得到了进一步的发展。

宋代的蹴鞠比唐代更加繁荣，参与人群也更加广泛，从黎民百姓到皇亲贵族甚至皇帝本人都非常热爱蹴鞠运动。宋代的开国皇帝赵匡胤及其弟弟赵光义都非常热爱蹴鞠运动，元代画家钱选所绘《宋太祖蹴鞠图》描绘了宋太祖赵匡胤与其弟弟赵光义以及赵灵、赵普等人一起蹴鞠的情形，由此可以看出当时皇帝和大臣们都非常热爱这项运动。之后的宋徽宗也是一个非常喜欢蹴鞠运动的皇帝，据传《水浒传》当中的高俅就是因为球艺高超才被宋徽宗发现并提拔的。《东京梦华录》卷六中记载道：“举目则秋千巧笑，触处则蹴鞠踈狂”，描写的就是当时人们对蹴鞠的疯狂热爱，连女子也对蹴鞠钟爱有加。现藏于中国历史博物馆的宋代铜镜上就铸有男女相对踢球的纹饰，在故宫博物馆收藏的宋代陶枕上也精妙地描绘了民间少女踢球的情景[1]。宋代以前，虽然蹴鞠运动也非常发达，但是大多数还是作为军队的训练项目使用，而在宋代除了士兵以外的黎民百姓包括小孩和妇女都非常喜爱并且参与到这项运动中，甚至出现了专门从事蹴鞠运动的职业团体。宋代的绘画和陶绘当中经常出现宫廷宴会上的蹴鞠表演，而从事表演的人群大多是专门的职业化团体，这些团体当中的人员以蹴鞠表演为生，有些作为卖艺营生的手段，有些也是自娱自乐。在职业化的同时，宋代的蹴鞠运动还出现了专门的宋代的蹴鞠运动之所以能够如此繁荣，一方面由于宋代的文官政治，在这种整个模式之下更加尊重百姓的自主生活，

另一方面，宋代的经济社会结构发生了很大的变化，商品经济得到发展，从事体育运动的人群也逐渐形成。

宋代蹴鞠运动政治原因经济社会原因

宋代蹴鞠运动繁荣的历史文化原因分析

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西北农林科技大学体育部傅强

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