圆中最值模型的应用

一个最值模型在解题中的运用

模型

如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则P A是点P到⊙O上的点的最短距离．

证明如图2，在⊙O上任取一点C(不为点A、B)，连结PC、OC．

∵PO

PO＝P A＋OA，OA＝OC，

∴P A

∴P A是点P到⊙O上的点的最短距离，

结论

圆外一点到圆上各点的最短距离是：这点到连结这点与圆心连线与圆交点之间的距离．

这一结论可以在解题中加以应用，以提高解题效率．

一、图中有图可直接应用

例1．（2014三明中考题）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直

径的半圆交AB于点D，P是⌒

CD上的一个动点，连结AP，则AP的最小值是________．

解析点A为定点，点P为动点且在圆弧上运动，显然这不同于我们常见的可利用垂线段最短的知识来解决的“一定一动型”最值问题．联想到我们所探究的模型，可知，当AP所在直线过圆心时，AP值最小．

如图4，在Rt△ACO中，

AO

∴AP＝AO－OP1．

例2．（2014无锡中考题）如图5，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD及⊙A和⊙B上的动点，则PE＋PF的最小值是_______．

解析P是边CD上动点，E、，分别是⊙A和⊙B上的动点．题设中出现三个动点，求PE＋PF最小值给

人一种山重水复疑无路的感觉，若借助于模型，那么便柳暗花明，豁然开朗了，PE 与PF 的最小值一定是过圆心的直线与圆交点的时候，考虑到点A 和点B 是定点，点P 为CD 上动点，这样问题转化为“一定两动型”的“将军饮马”问题．

如图6，作点B 关于CD 的对称点B '，连结AB '与CD 的交点就是所要求的点P ，此时PE ＋PF 最小，易知P AB 为等边三角形，则PE ＋PF 的最小值为3＋3－1－2＝3．

评析 例1和例2都可以直接借助模型解决问题．这类问题图中有圆，为思考问题提供了方向性和目的性．例1结构相对简单，也易找到解决问题的着眼点；例2是三个动点所形成的两条动线段之和的最小值问题，解决这类问题时要善于以静制动，动中窥静，也就是说去寻找动点运动过程中不变的量，借助模型易知，在点P 、E 、F 在运动过程中，PE 所在直线过圆心A ，所在直线过圆心B 时，PE 和PF 分别取得最小值，将点E 和点F 的动，转化为点A 和点B 的静，使问题迎刃而解．

二、图中无圆可构造应用

例3．（2014成都中考题）如图7，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A 'MN ，连结A 'C ，则A 'C 长度的最小值是_______. 解析 由折叠知A 'M ＝AM ，又M 是AD 的中点，可得MA ＝MA '＝MD ，故点A ’在以AD 为直径的圆上．如图8，以点M 为圆心，MA 为半径画⊙M ，过点M 作MH ⊥CD ，垂足为H 由模型可知，当点A ’在CM 上时，A 'C 长度取得最小值．

在Rt △MDH 中，

DH ＝DM ·c ≌s ∠HDM ＝

12

MH ＝DM ·sin ∠HDM 在Rt △CHM 中，

例4（2013武汉中考题）如图9，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF .连结CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是_______.

解析 点E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，初看无从入手，但结合题设中AE ＝DF ，易证

△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF .

由正方形的对称性，知

△ADG ≌△CDG ，得∠DAG ＝∠DCF ，

则∠DAG ＝∠ABE .

∵∠BAE ＝90°．

∴∠DAC ＋∠BAH ＝90°，

则 ∠BAH ＋∠ABH ＝90°，

∴∠AHB ＝90°．

也就是说定线段AB 所张开的角∠AHB ＝90°，自然我们联想到点H 运动轨迹，是以AB 为直径的圆． 如图10，以AB 为直径作⊙M ．要求DH 的最小值，

根据模型易知，当点H 在DM 上时，DH 取得最小值．

在Rt △AMD 中，

评析 例3和例4都是以四边形为背景，探寻动线段的最小值，此两题看似无“圆”却有“圆”．例3是折叠问题，在折叠过程中，始终保持保持动线段A ’M ＝12

AD ．根据“圆是到定点的距离等于定长的点的集合”，自然联想到点A ’的运动轨迹为以AD 为直径的圆周，从而运用模型使问题轻松获解，例4图形结构较为复杂，解决这类问题时，我们应根据题目的具体条件，充分挖掘题目中所隐含的信息，进行合理的联想，从而寻找到解题的切入点，就此题而言，借助以往的解题经验，我们不难得出∠AHB ＝90°，从而联想到构造辅助圆，再利用模型加以解决就显得游刃有余．

近年各地中考中，频频出现这类动态几何背景下求一条线段长度的最值问题．解决这类问题需要我们结合题意，借助相关概念和图形，层层递进，步步为营去挖掘题目的内涵，从不同的角度思考，然后自主构建相关模型，并找到解决问题的捷径．