双曲线的图像与性质

y B2
A1 o A2 x B1
谢 谢 光 临！
解：把方程化为标准方程 y2 x2 1 16 9
可得:实半轴长 a 4
虚半轴长 b 3
半焦距 c 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率: e c 5
渐近线方程:
a
y
4

4
x
3
巩固练习
1.中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准
方程为（ B ）
A.
x2 y2 1
25 9
B.
x2 y2 25 9
1或
y2 x2 25 9
1
C.
x2 100

y2 64
1
D.
x2
y2
1或
y2 x2 1
100 64
100 64
2.双曲线 x2 y2 1 的渐近线方程为（ C ）
49
A.
y

2 3
x
B.
y4x 9
C.
y3x 2
D.
y9x 4
3.双曲线 mx 2 y2 1的虚轴长是实轴长的2倍，
则m的值为
1 4
小结
标准方程 范围
x2 y2 1 a2 b2 (a 0, b 0)
x a或
对称性
x a
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1,A2
渐近线 离心率
ybx a
e c 1 a
可以看出，双曲线
x2 a2

y2 b2
1
的各支向外延伸时，与直线 y b x
a
逐渐接近，我们把这两条直线
A1
y Q
b B2
M(x,y)
A2
oa
x
叫做双曲线的渐近线。
B1
ybx a
双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。
ybx a
5、离心率
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做 a
A2
2.对称性： 关于坐标轴和原点对称
3.顶点： A1(0，-a),A2(0,a)
A1A2为实轴，B1B2为虚轴
a
4.渐近线方程： y x
5.离心率：
e

c
b

1
a
B1 o B2 x A1
例题讲解
例: 求双曲线 9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率,渐近线方程。
(x,y)
a2
b2
x2 a2
x a或x a
-a o a
x
(-x,-y)
(x,-y)
2、对称性
关于x轴、y轴和原点都对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（1）令y=0，得x=±a,则双曲线与x轴的两个交点为 A1(-a,0),A2(a,0)，我们把这两个点叫双曲线的顶点; 令x=0,得y2=-b2,这个方程没有实数根，说明双曲线与y 轴没有交点，但我们也把B1(0,-b),B2(0,b)画在y轴上。
双曲线的 离心率。
（2）e的范围： c>a>0 e >1
思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线 的离心率刻画双曲线的什么几何特征呢？
e是用来刻画双曲线开口大小的一个量, e越大开口越大。
焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答
双曲线标准方程： 双曲线性质：
y2 a2
x2 b2
1
y
1.范围： y≥a或y≤-a
其中 c2 a2 b2
类比椭圆几何性质的研究方法，我
们根据双曲线的标准方程 研究它的几何性质。
x2 y2 a2 b2
1(a 0,b 0)
课堂新授
一、研究双曲线 1、范围
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
的简单几何性质
y
x2 1 y2 1
(-x,y)
2.2.2双曲线的简单几何性质
海口市灵山中学 Fra Baidu bibliotek潇
复习1 椭圆的图像与性质
标准方程
x2 a2

y2 b2
1
(a b 0)
范围 对称性
a xa
b y b
(-a,0) A1
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
F1 (-c,0)
顶点
A1,A2,B1,B2
离心率 0 e c 1
a
（2）如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a,
a叫做实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它y 的长 为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.
B2
（3）实轴与虚轴等长的双曲线
叫等轴双曲线。
A1
o A2
x
B1
4、渐近线
从刚才的演示中发现，点M的横坐标越来越大， M到直线的距离越来越小，但永远不等于0.
y
B2 (0,b)
(a,0)
A2
o
(c,0) F2
x
B1 (0,-b)
复习2 双曲线的标准方程
形式一：
x2 a2

y2 b2
1(a 0,b 0)
（焦点在x轴上，F（1 -c，0）、F（2 c，0））
形式二： y2 x2 1(a 0,b 0)
a2 b2
（焦点在y轴上，F（1 0，-c）、F（2 0，c））