行列式按行(列)展开--

第六节 行列式按行(列)展开

教学目的：理解并掌握行列式按行（列）展开的相关性质；能与行 列式性质一起熟练运用于行列式的计算与证明. 教学方法：讲授与指导练习相结合 教学过程：

一、余子式与代数余子式

引例 11

121321

222331

32

33

a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---

32

3122

2113

333123211233322322

11

a a a a a a a a a a a a a a a +-= 131312121111131312121111A a A a A a M a M a M a ++=+-=．

1.ij a 的余子式ij M ──在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的元素按原有位置构成的1-n 阶行列式． ２.ij a 的代数余子式ij A ──ij j i ij

M A +-=)1(．

显然，行列式的每一个元素对应一个余子式和一个代数余子式．

例1 设44

43

42

41343332312423

222114131211

a a a a a a a a a a a a a a a a D =

,则

44

43

413433

31

2423

2112a a a a a a a a a M =, 12122

112)

1(M M A -=-=+;

444241343231

141211

23a a a a a a a a a M =, 23233

223)1(M M A -=-=+；

33

32

31

2322

21131211

44

a a a a a a a a a M =, 44444

444)

1(M M A =-=+.

提问：（1）在3332

31

232221

13

1211

a a a a a a a a a 中，若第一行只有第一个元素非零，将会出现什么结果？

答案 11

222321

2223111111111132

33

31

32

33

00a a a a a a a a M a A a a a a a === ；

（2） 21

111213232311

12133132

33

31

32

33

000

(1)r r a a a a D

a a a a a a a a a a ↔====-

32

23211

131231

33

3200

(1)c c a a a a a a a ↔===-21

23

31311

12

33

3132

00

(1)c c a a a a a a a ↔===-11

12

3

2323232323233132

(1)(1)a a a a M a A a a +=⋅-=⋅-=.

二、行列式按行(列)展开法则

【引理】 一个 n 阶行列式D ，如果D 中第i 行(j 列)所有元素除

ij a 外都为零,那么ij ij A a D =.

证明: ① 当ij a 位于第一行第一列时,

11212221200n n n nn

a a a a D a a a =

L L M M O M L

123()

123(1)

n n

N p p p p np p a a a a ∈Λ=

-∑L

23()

1123(1)

n n

N p p p np p a a a a ∈Λ=

-∑L

23131

()

11

23(1)

n n n N p p p p p np r a a a a -∈Λ=-∑L L

11111111111111)1(A a M a M a =-⋅==+;

②一般情形,nn nj n ij n

j a a a a a a a D ΛΛM M M ΛΛ

M M M

ΛΛ1111100= 把D 第i 行依次与第1i -行，第 2i -行，……第1行进行相邻对调

得 nn

nj

n n j n j ij i a a a a a a a a a a D Λ

Λ

M M M ΛΛΛΛΛΛ1

2221

11111

00)1(--= 再把D 第j 列依次与第1j -列，第 2j -列，……第1列进行相邻

对调得

1111211122122212000(1)(1)ij j n i j j n nj n n nn

a a a a a a a a a D a a a a --=-⋅-L L L

M M M L