对数函数 典型例题

对数函数
例1求下列函数的定义域
（1）y=log2（x2-4x-5）;
（2）y=log x+1（16-4x）
（3）y= ．
解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0，
故定义域为｛x｜x＜-1，或x＞5｝．
（2）令得
故所求定义域为｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝．
（3）令，得
故所求定义域为
｛x｜x＜-1- ，或-1- ＜x＜-3,或x≥2｝．
说明求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零．
例2求下列函数的单调区间．
（1）y=log2（x-4）；（2）y=log0．5x2．
解：（1）定义域是（4，+∞），设t=x-4,当x＞4时，t随x的增大而增大，而y=log2t，y又随t的增大而增大，
∴（4，+∞）是y=log2（x-4）的递增区间．
（2）定义域｛x｜x∈R，且x≠0｝，设t=x2，则y=log0．5t
当x＞0时，t随x的增大而增大，y随t的增大而减小，
∴（0，+∞）是y=log0．5x2的递减区间．
当x＜0时，t随x的增大而减小，y随t的增大而减小，
∴（-∞，0）是y=log0．5x2的递增区间．
例3比较大小：
（1）log0．71．3和log0．71．8．
（2）（lg n）1．7和（lgn）2（n＞1）．
（3）log23和log53．
（4）log35和log64．
解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以
log0．71．3＞log0．71．8．
（2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论．
若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2；
若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里
x=3，所以log23＞log53．
（4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解．
因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64．
评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论．
例4已知函数f（x）=log a（a-a x）（a＞1），
（1）求f（x）的定义域、值域．
（2）判断并证明其单调性．
（3）解不等式f-1（x2-2）＞f（x）．
解：（1）要使函数有意义，必须满足a-a x＞0，即a x<a．因为a＞1，所以x＜1；又因为0＜a-a x＜a，所以f（x）=log a（a-a x）（a＞1）的值域为（-∞，1）
（2）设x1＜x2＜1，则a ＜a ＜a（因为a＞1）．所以a-a ＞a-a ＞0，所以log a（a-a ）＞log a（a-a ），即f（x1）＞f（x2）．所以f（x）这（-∞，1）上的减函数．（3）设y=log a（a-a x），则a-a x=a y,a x=a-a y,x=log a（a-a y）,所以
f-1（x）=log a（a-a x）（x∈（-∞，1）），f（x）=f-1（x）．
由f-1（x2-2）＞f（x）有f（x2-2）＞f（x）,且f（x）为（-∞，1）上的减函数，所以
x2-2＜x,x＜1,解得-1＜x＜1．
评析知道函数值大小关系和函数单调性，要研究自变量取值范围，应直接用单调性得关于x的不等式，但要注意单调区间．
例5已知f（x）=2+log3x，x∈［1，9］，求y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，及y 取最大值时，x的值．
分析要求函数y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定义域，然后求值域．
解：∵f（x）=2+log3x，
∴y=［f（x）］2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2
=（2+log3x）2+2+2log3x
=log23x+6log3x+6
=（log3x+3）2-3．
∵函数f（x）的定义域为［1，9］，
∴要使函数y=［f（x）］2+f（x2）有定义，就须
∴1≤x≤3．∴0≤log3x≤1
∴6≤y=（log3x+3）2-3≤13
∴当x=3时，函数y=［f（x）］2+f（x2）取最大值13．
说明本例正确求解的关键是：函数y=［f（x）］2+f（x2）定义域的正确确定．如果我们误认为［1，9］是它的定义域．则将求得错误的最大值22．
其实我们还能求出函数y=［f（x）］2+f（x2）的值域为［6，13］．
例6（1）已知函数y=log3（x2-4mx+4m2+m+ ）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）已知函数y=log a［x2+（k+1）x-k+ （a＞0，且a≠1）的值域为R，求实数k的取值范围．
点拨：题（1）中，对任意实数x,x2-4mx+4m2+m+ ＞0恒成立；题（2）中，x2+（k+1）x-k+ 取尽一切正实数．
解：（1）∵x2-4mx+4m2+m+ ＞0对一切实数x恒成立，
∴△=16m2-4（4m2+m+ ）=-4（m+ ）＜0，
∴ ＞0．
又∵m2-m+1＞0，∴m-1＞0，∴m＞1．
（2）∵y∈R，
∴x2+（k+1）x-k+ 可取尽一切正实数．
∴△=（k+1）2-4（-k+ ）≥0，
∴k2+6k≥0，∴k≥0，或k≤-6．
评析本题两小题的函数的定义域与值域正好错位．（1）中函数的定义域为R，由判别式小于零确保；（2）中函数的值域为R，由判别式不小于零确定．
例7求函数y=log0．5（-x2+2x+8）的单调区间．
分析由于对函数的底是一个小于1的正数，故原函数与函数u=-x2+2x+8（-2＜x＜4）的单调性相反．
解．∵-x2+2x+8＞0，
∴ -2＜x＜4，
∴原函数的定义域为（-2，4）．
又∵函数u=-x2+2x+8=-（x-1）2+9在（-2，1］上为增函数，在［1，4）上为减函数，
∴函数y=log0．5（-x2+2x+8）在（-2，1］上为减函数，在［1，4）上为增函数．
评析判断函数的单调性必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集．例8已知a＞0且a≠1，f（log a x）= ·（x-x-1）．
（1）求f（x）;
（2）判断f（x）的奇偶性和单调性；
（3）对于f（x）,当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求m的取值范围．分析先用换元法求出f（x）的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第（3）小题．
解：（1）令t=log a x（t∈R），则x=a t，且f（t）= （a t-a-t），
∴f（x）= （a x-a-x）（x∈R）．
（2）∵f（-x）= （a-x-a x）=-f（x），且x∈R，∴f（x）为奇函数．
a＞1时，a x-a-x为增函数，并且注意到，∴这时，f（x）为增函数．
0＜a＜1时，类似可证f（x）为增函数．
∴f（x）在R上是增函数．
（3）∵f（1-m）+f（1-m2）＜0，且f（x）为奇函数．
∴f（1-m）＜f（m2-1）．
∵f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴
∴1＜m＜．
评析题（3）的求解脱离了f（x）的具体形式，仅用到前面得到的函数的性质。