§1.1.1变化率问题1[1]

4 3 V (r ) r 3
3 V r (V ) 3 4
气球平均膨胀率=
半径的增量
体积的增加量
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§1.1.1 变化率问题

当V从0增加到1时,气球半径增加了
r (1) r (0) 0.62(dm)
气球的平均膨胀率为
r (1) r (0) 0.62(dm / L) 1 0
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§1.1.1 变化率问题
回答P73之探究
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§1.1.1 变化率问题
将两个具体问题抽 象到一般函数的平 均变化率。
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§1.1.1 变化率问题
平均变化率定义:
当自变量
对于函数
时，函数值就从 y1 变化到 y ， x从x1变化到x2 2
y f ( x)
则
称为函数 f 若设 x
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
( x从 ) x1到x2的平均变化率.
,则平均变化率为
x2 x1 , y f ( x2 ) f ( x1 )
y f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x x2 x1 x
△x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2
Байду номын сангаас
1、平均变化率
一般的，函数 f ( x)在区间上
[ x1，x 2 ]的平均变化率为
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一种粗 略
的刻画
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§1.1.1 变化率问题
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人教A版选修2-2《导数及其应用》变化率与导数
1.1.1 平 均 变 化 率
丰富多彩的变化率问题随处可见,让我们从其 中的两个问题,开始变化率与导数的学习吧!
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t(d)
§1.1.1 变化率问题
T (℃ ) 30
C (34,33.4)
B(32,18.6)
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(3月18日 为第一天)
A(1,3.5)
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t(d)
【问题1】分别计算AB, BC段温差 15.10C, 14.80C 结论: 气温差不能反映气温变化的快慢程度. 【问题2】如何“量化”(数学化)曲线上升的陡峭程度？ 曲线AB、BC段几乎成了“直线” ， 由此联想如何量化直线的倾斜程度？
显然 0.62>0.16
当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) r (1) 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为

r (2) r (1) 0.16(dm / L) 2 1
随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小
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§1.1.1 变化率问题 思考 当空气容量从 1 增加到 2时，气球的平均膨胀率是多少？
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§1.1.1 变化率问题 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球. 思考:这一过程中，哪些量在改 变？
从吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半 径增加越来越慢.
从数学角度,如何描述这种现象呢?
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§1.1.1 变化率问题
体会实际问题数学化
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§1.1.1 变化率问题 气球体积:
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§1.1.1 变化率问题 若设 则平均变化率为 x x2 x1 , y , f ( x2 ) f ( x1 )
y f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x x2 x1 x
它的几何意义是什么呢？ 观察函数 y f ( x) 图象
导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
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§1.1.1 变化率问题
第一课时 函数的平均变化率
研究某个变量相对于另一个变量变化在一个范围内的快 慢程度．
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§1.1.1 变化率问题
一、研究课本问题1及问 题2，体会平均变化率及 其意义，思考怎样抽象到 一般函数？
y f(x2) B f(x2)-f(x1)=△y
直线AB的斜率
f(x1) O
A x2-x1=△x x x1 x2
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§1.1.1 变化率问题
平均变化率的 计算与应用
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§1.1.1 变化率问题
例1 : 求函数 y sin x在0到 和 到 之间的平均变化率 6 3 2



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§1.1.1 变化率问题
§1.1.1 变化率问题
某市2008年4月20日最高气温为33.4℃,而4月19日和 4月18日的最高气温分别为24.4℃, 和18.6℃，短短两天 时间，气温陡增14.8℃,闷热中的人们无不感叹：“天 气热得太快了！”
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C (34,33.4)
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B(32,18.6)
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V
V
气球平均膨胀率=
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
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3V2 3 3V1 4 4 V2 V1
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§1.1.1 变化率问题
问：平均膨胀率能否精确描述膨 胀情况？
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§1.1.1 变化率问题 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面 的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位 ：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
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h
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10
8
6
4
如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略地描 述其运动状态?
-20 -15 -10 -5
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o t
5
平均速度：物体的运动位移与所用时间的比称为平均速度。 -2
-4
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§1.1.1 变化率问题 h(t)=-4.9t2+6.5t+10
请计算 0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
§1.1.1 变化率问题
第三章 导数及其应用
沿河民族中学：阚 辉
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§1.1.1 变化率问题
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
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§1.1.1 变化率问题
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B(32,18.6)
C (34,33.4)
yC yB 比值 xC xB
近似地量化BC这一段曲 线的陡峭程度,并称该比 值为气温在 [32,34] 上的 平均变化率.
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【问题3】分别计算气温在区间[1,32] ,[32, 34]的平 均变化率. 0.5, 7.4