圆周角定理教学课件
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圆周角定理及其运用课件
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB
2 求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以AB为直径作⊙O， 1
∵AO=BO， CO= 2 AB,
A
·
B
O
∴AO=BO=CO.
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
∴∠ACB=
1 2
×180°= 90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
•圆周角定理及其运用
D
A1
87
2
3 4
B
6
5
C
•圆周角定理及其运用
探究与思考：
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问： ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90°。
C1 C2
C3
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3是
直角，那么∠AOB是
。
180°
A
O
B 推论：半圆（或直径）所对的 圆周角是直角；90°的圆周 角所对的弦是直径。
A
则∠AOC等于（ ）
A、50°；
B、D 80°；
C、90°；
D、100°
BO
C
2、如图，△ABC是等边三角形，
C
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ B）
A、30°；
B、60°；
A
B
C、90°；
D、45°
P
•圆周角定理及其运用
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠AOC=60 °
A C
●O
B
A C
A C
●O
●O
B
B
•圆周角定理及其运用
圆周角定理的证明
• H:\第24章圆.课件\圆周角定理的证明.gsp • 结论：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆
圆周角定理 课件
AD＝BD＝5
3 2 cm.
在 Rt△AOD 中，OD＝
OA2－AD2
＝
5 2
cm，所以
∠OAD＝30°，
所以∠AOD＝60°.
所
以
∠AOB
＝
2∠AOD
＝
120
°
，
所
以
∠ACB
＝
1 2
∠AOB＝60°.因为∠AOB＝120°，所以劣弧A︵EB的度数为
︵ 120°，优弧ACB的度数为 240°.
所以∠AEB＝12×240°＝120°. 所以此弦所对的圆周角为 60°或 120°.
所以 OG∥CF.所以∠AOB＝∠FCB，(2 分) 所以∠DAO＝90°－∠AOB， ∠FBC＝90°－∠FCB，(4 分) 所以∠DAO＝∠FBC.(6 分)
(2)连接 AB，AC， 因为 BC 为直径， 所以∠BAC＝π2， 又因为 AD⊥BC， 所以∠BAD＝∠BCA，(8 分)
︵︵ 又因为AB＝AF， 所以∠ABF＝∠BCA，(9 分) 所以∠ABF＝∠BAD， 所以 AE＝BE.(10 分)
类型 2 利用定理及推论进行证明(规范解答)
[典例 2] 如图所示，BC 是半圆 O 的直径，AD⊥BC， ︵︵
垂足为 D，AB＝AF，BF 与 AD、AO 分别交于点 E、G. (1)证明：∠DAO＝∠FBC； (2)证明：AE＝BE.
︵︵ [规范解答] (1)连接 FC，OF，因为AB＝AF，OB ＝OF， 所以点 G 是 BF 的中点， OG⊥BF. 因为 BC 是⊙O 的直径， 所以 CF⊥BF.(1 分)
反过来，弧的度数相等，它们所对圆心角的度数也相 等.2.由于圆心角的度数与它所对弧的度数相等，所以圆周 角的度数等于它所对弧的度数的一半．
圆周角定理教学课件
4 圆周角和圆心角的关系
第1课时 圆周角定理
北师版 九年级下册
探索:
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?
圆周角定义: 顶点在圆 上,并且两边都和圆相 交的角叫圆周角.
特征：
① 角的顶点在圆上.
A
.
O
B
C
② 角的两边都与圆相交.
1 、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
不是
是
图１
2
圆心在角的边上
圆心在角内
圆心在角外
A
AD
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
AB BC
运用新知，深化理解
1.如图，已知BD是⊙0的直径，点A、C在⊙O上， ，∠AOB=60°
，则∠BDC的度数是(
)
A. 20° B. 25° C. 30 ° D. 40°
提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
AD C
∠ABD
= 1∠AOD,∠CBD
2
= 1∠COD,
2
●O
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
B
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
• 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
运用新知
1.如图，已知BD是⊙0的直径，点A、C在⊙O上，， ∠AOB=60°，则∠BDC的度数是( ) A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
第1课时 圆周角定理
北师版 九年级下册
探索:
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?
圆周角定义: 顶点在圆 上,并且两边都和圆相 交的角叫圆周角.
特征：
① 角的顶点在圆上.
A
.
O
B
C
② 角的两边都与圆相交.
1 、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
不是
是
图１
2
圆心在角的边上
圆心在角内
圆心在角外
A
AD
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
AB BC
运用新知，深化理解
1.如图，已知BD是⊙0的直径，点A、C在⊙O上， ，∠AOB=60°
，则∠BDC的度数是(
)
A. 20° B. 25° C. 30 ° D. 40°
提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
AD C
∠ABD
= 1∠AOD,∠CBD
2
= 1∠COD,
2
●O
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
B
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
• 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
运用新知
1.如图，已知BD是⊙0的直径，点A、C在⊙O上，， ∠AOB=60°，则∠BDC的度数是( ) A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
圆周角定理(公开课)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB旳
度数．
C
60°
A
E
O
B
50°
D
四、巩固新知
3.已知：BC是⊙O旳直径，A是⊙O上一点， AD⊥BC，垂足为D，AE＝AB，BE交AD于点F．
（1）∠ACB与∠BAD相等吗？为何？ （2）判断△FAB旳形状，并阐明理由．
( (
四、巩固新知
4．如图，AB是⊙O旳直径，D是⊙O上旳任
二、探究知识 证明猜测
我们来分析上页旳前两种情况，第三种情况请同学 们完毕证明．
（2）如图，怎样证明一条弧所正确圆周角等于它 所正确圆心角旳二分之一？
A
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠C．
O
又∵ ∠BOC=∠A+∠C，
∴ BAC 1 BOC． 2
B
C
二、探究知识 证明猜测
（3）如图，怎样证明一条弧所正确圆周角等于它
人教版数学九年级上 讲课内容：课本85-88页
§24.1.4 圆周角(1)
一、问题情境
图中∠ACB 旳顶点和边有哪些特点？
顶点在圆上，而且两边都和圆相交旳角 C
O
A
B
二、探究知识
请说说我们是怎样给圆心角下定义旳，试回答？
顶点在圆心旳角叫圆心角。
顶点在圆上，而且两边都和
圆相交旳角叫做圆周角．
练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为何？
二、探究知识
图中∠ACB 和∠AOB 有怎样旳关系？ 并证明你旳结论？
ACB 1 AOB 2
C
O
A
B
二、探究知识
（1）在圆上任取 BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角 ∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？
圆周角定理的推论课件
图 3－4－6
圆周角定理的推论
10
[ 解 析 ] 首 先 利 用 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 出 ∠DBC ＝ ∠DCB，进而利用圆内接四边形的性质得出∠EAD＝∠DCB， 再利用圆周角定理得出∠DAE 与∠DAC 相等．
解：∠DAE 与∠DAC 相等． 理由：∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.
6
[解析] 连接 AD，由 AB 是⊙O 的直径得到∠ADB＝90°，再 根据直角三角形两锐角互余计算出∠A 的度数，然后根据圆周角 定理即可得到∠C 的度数．
解：连接 AD，如图．
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°.
∵∠ABD＝55°，
∴∠A＝90°－55°＝35°，
∴∠BCD＝∠A＝35°.
∵∠DAE 是四边形 ABCD 的一个外角，
∴∠DAE＋∠DAB＝∠DCB＋∠DAB＝180°，
∴∠DAE＝DCB，
∴∠DBC＝∠DAE.
又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠DAE＝∠DAC.
圆周角定理的推论
11
[归纳总结]圆内接四边形性质的推广： 圆内接四边形的对角互补，外角等于与它相邻的内角的对角．因此常利用圆 内接四边形的性质，结合圆周角定理及其推论来探求角的相等关系或互补关 系．在进行有关计算或证明时，常添加辅助线构造圆周角或圆内接四边形．
圆周角定理的推论
17
圆周角定理的推论
7
观察与思考
如图,在⊙O中,∠ABD =110°,求∠C的大小.
A B
四边形ABCD的四个点都在 ⊙O上，像这样的四边形叫做 圆内接四边形，这个圆叫做 C 四边形的外接圆。
D
思考：1、∠ABD与∠C有怎样的关系？ 2、由此我们可以得到怎样的结论？
圆周角-PPT课件
E
20°
30°
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
A F
C
下列说法是否正确，为什么？
拓展巩固
“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.
一条弦所对应的圆周角有两类.
D
如图所示，连接BO、EO. 显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为 ，
O.
所以36根0°据圆周角定理可知∠C+∠D = . 180°
通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的 体验.
知识回顾
O
1.圆心角的定义?
顶点在圆心的角叫圆心角.
A
B
2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？
C
考考你：你能仿照圆心角的定义，给下
图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
O
A
B
探索新知
顶点在圆上，并且两边都和圆相交 的角叫圆周角．（两个条件必须同时具备，缺一不可）
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
教学目标
【知识目标】 理解圆周角的概念。探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关
系，并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明. 【能力目标】
经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想， 渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法，提高学生的发散思维能 力. 【情感目标】
意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠A与∠D相等吗？ 请说明理由.
D
同弧所对的圆周角相等.
问题2 如图，若
,那么 ∠A与∠B相等吗？
想一想： 反过来，若∠A=∠B，那么
成立吗？
AB E
O
C
圆周角定理 课件
(2)因为△ABE∽△ADC， 所以AABE＝AADC，即 AB·AC＝AD·AE. 又 S＝12AB·AC·sin ∠BAC，且 S＝12AD·AE， 所以 AB·AC·sin ∠BAC＝AD·AE. 则 sin ∠BAC＝1. 又∠BAC 为三角形内角， 所以∠BAC＝90°.
2．已知 AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径． 求证：∠BAE＝∠DAC. 证明：连接 BE，因为 AE 为直径， 所以∠ABE＝90°. 因为 AD 是△ABC 的高，所以∠ADC＝90°. 所以∠ADC＝∠ABE. 因为∠E＝∠C，所以∠BAE＝90°－∠E， ∠DAC＝90°－∠C. 所以∠BAE＝∠DAC.
5．如图，△ABC 的角平分线 AD 的延长线交 它的外接圆于点 E. (1)证明：△ABE∽△ADC； (2)若△ABC 的面积 S＝12AD·AE， 求∠BAC 的大小． 解：(1)证明：由已知条件可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角， 所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
利用圆周角进行计算
[例 2] 如图，已知 BC 为半⊙O 的直径， AD⊥BC，垂足为 D，BF 交 AD 于 E，且 AE ＝BE.
(1)求证： AB＝ AF ； (2)如果 sin ∠FBC＝35，AB＝4 5，求 AD 的长． [思路点拨] BC 为半⊙O 的直径，连接 AC，构造 Rt△ABC.
4．如图，△ABC ຫໍສະໝຸດ 接于⊙O，OD⊥BC 于 D，∠A＝50°，则
∠OCD 的度数是
()
A．40° C．50°
B．25° D．60°
解析：连接 OB.因为∠A＝50°，所以弦 BC 所 对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝12∠BOC ＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝40°. 答案：A
圆周角定理 课件
要点三 直径上的圆周角 例 3 如图所示，已知 AB 为⊙O 的直径，AC
为弦，OD∥BC，交 AC 于 D，BC＝4 cm. (1)试判断 OD 与 AC 的位置关系； (2)求 OD 的长； (3)若 2sin A－1＝0，求⊙O 的直径.
解 (1)OD⊥AC.理由如下： ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵OD∥BC，∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC. (2)∵△AOD∽△ABC，∴OBCD＝AAOB＝12， ∴OD＝12BC＝2(cm). (3)∵2sin A－1＝0，∴sin A＝12.又∵sin A＝BACB， ∴AB＝2BC＝8 cm，即⊙O 的直径为 8 cm.
圆周角定理
1.圆周角定理
文字语言
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心
角的_一__半___
图形语言
符号语言 作用
在⊙O 中，B︵C所对的圆周角和圆心角分别是
∠BAC，∠BOC，则有∠BAC＝_12_∠__B_O_C__
确定பைடு நூலகம்中两个角的大小关系
2.圆心角定理
文字语言
圆心角的度数等于它_所__对_弧___ 的度数
规律方法 此题充分利用了“直径所对的圆 周角是直角”这一特征，并在此基础上对前 面所学知识进行适当的综合.
1.圆周角定理揭示了圆周角与圆心角的关系，把角和 弧两种不同类型的图形联系起来.在几何证明的过程 中，圆周角定理为我们解决角和弧之间的问题提供 了一种新方法.
2.圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半 径无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度 数的圆心角，它们所对的弧的度数相等；反过来， 弧的度数相等，它们所对的圆心角的度数也相等.
要点一 圆周角定理及其推论 例 1 在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3cm 的弦 AB，求此
《圆周角》课件精品 (公开课)2022年数学PPT全
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
圆周角优秀课件
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相 交的角叫圆周角.
2.半圆或直径所对的圆周角等于90° 90°的圆周角所对的弦是直径
3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相 等,同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；相 等的圆周角所对的弧相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
2
∠BAD＋∠CAD＝ 1∠ BOD＋ 1∠COD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
3.第三种情况：
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得 ∠CAD＝ 1 ∠ COD
2
O C
DB
∠BAD＝
1 2
∠ BOD
∠CAD－∠BAD＝ ห้องสมุดไป่ตู้ ∠ COD－ 1 ∠BOD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
归纳总结
A
E B
C D
E
●O
C
A⌒C所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC
∠ ADC的大小有什么关系？
B
规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半
D
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
练习:
1、如图，在⊙O中，ABC=50°，
则∠AOC等于（ D）
A、50°；
B、80°；
C、90°；
D、100°
A
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P
圆周角定理
C
在同圆或等圆中，同弧(或等弧）所对 的圆周角相等；同弧(或等弧）所对的 圆周角等于圆心角的一半．
D A
O·
B E
推论
C2
C1
C3
直径（或半圆）所对的圆周角是 直角， 90°的圆周角所对的弦是 A
2.半圆或直径所对的圆周角等于90° 90°的圆周角所对的弦是直径
3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相 等,同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；相 等的圆周角所对的弧相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
2
∠BAD＋∠CAD＝ 1∠ BOD＋ 1∠COD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
3.第三种情况：
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得 ∠CAD＝ 1 ∠ COD
2
O C
DB
∠BAD＝
1 2
∠ BOD
∠CAD－∠BAD＝ ห้องสมุดไป่ตู้ ∠ COD－ 1 ∠BOD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
归纳总结
A
E B
C D
E
●O
C
A⌒C所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC
∠ ADC的大小有什么关系？
B
规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半
D
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
练习:
1、如图，在⊙O中，ABC=50°，
则∠AOC等于（ D）
A、50°；
B、80°；
C、90°；
D、100°
A
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P
圆周角定理
C
在同圆或等圆中，同弧(或等弧）所对 的圆周角相等；同弧(或等弧）所对的 圆周角等于圆心角的一半．
D A
O·
B E
推论
C2
C1
C3
直径（或半圆）所对的圆周角是 直角， 90°的圆周角所对的弦是 A
初中数学教学课件：24.1.4圆周角(人教版九年级上)
C
等于（ B ）.
A.30° B.60° C.90° D、45°
A
B
P
1.如图，∠A=50°，∠AOC=60° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B ）. A.70° B.110° C.90° D.120°
2.（南通·中考） 如图，⊙O的直径
A
ED O
B
C
AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的
24.1.4 圆周角
1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的定理的内容及简单 应用； 2.掌握圆周角的定理的三个推论及简单应用； 3.渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数 学思想方法.
C
C
O
O
B
A
B
B A
A
C
O
圆周角：顶__点__在__圆__上__，并且角_两__边__都__和__圆__相__交_. 圆心角: 顶__点__在__圆__心___ 的角.
∠COB=120°．∴∠CBD=1 ∠COD=1 ×1 ∠COB=30°.
2
22
又∠AOB=98°，∠COB=120°．∴∠OAB=41°，
∠OBC=∠OCB=30°, ∠ABD=41°+30°+30°=101°.
答案：101°
4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O
上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是多少？
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
A D B D 2 A B 2 1 0 52 ( c m )
2
2
跟踪训练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 则∠AOC等于（ D ）. A.50° B.80° C.90° D.100°
圆周角教学课件
已知：如图△ABC中，CO为AB边上的中线， CO=
1 2
AB
求证： △ABC 为直角三角形.
C
A
·
B
O
2. 如图24－1－30，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则
∠ABC的大小为
度.
3. 如图24－1－31所示，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB. 若∠ABD＝
65°，则∠ADC＝
.
4. 如图24－1－35所示，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝12 cm，BC ＝16 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AD的长.
练习
如图24－1－37，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论正确的是 () A. AC＝AB B. ∠C＝∠BOD C. ∠C＝∠B D. ∠A＝∠BOD
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补.
例题
如图24－1－40，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB＝ 60°，则∠BCD的度数是( )
练习
如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ）.
A.50°
B.80°
A
C.90° D.100°
BO
C
圆周角定理推论1
半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
C E
D
O
A
B
例题
如图24－1－32，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上异于B，C的一点， 则∠A的度数为( ) A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°
练习
如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的
长是( )
A．1
B． 2
O
A
B
圆周角课件(人教版)
(
(
D
144
( (
(
证明：(1)连接OF.∵F点为AB的中点，
∴OF⊥AB，且AF=BF. ∵CM⊥AB，∴OF∥CM， ∠ ∵MOCCF==O∠F，CF∴O.∠FCN=∠CFO，
∴∠MCF=∠FCN，即CF平分∠MCN (2)连接OM.∵OF∥CM，∴∠MOF=∠M，∠FON=∠MCN. ∵OC=OM,∴∠MCN=∠M,∴∠MOF=∠FON,∴FM=FN，
AB=CD,∠AOB=60°,则∠BDC的度数是（ C ）
A.20° B.25° C.30° D.40°
解析：由BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上， AB=CD，∠AOB=60°,利用在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对 的圆心角的一半，即可求得∠BDC的度数.
解：∵AB=CD，∠AOB=60° BDC 1 AOB 30 2 故选C.
⌒
探究3：如图所示图中，∠AOB=180°则∠C1, ∠C2, ∠C3等 于多少度呢？从中你发现了什么？
归纳：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所 对的弦是直径。圆内接四边形的对角互补。
知识点一 圆周角定理
A
A
知识点二 圆周角定理推论及其应用
2
C
知识点三 圆内接四边形
B
B
例1：如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A
则∠ABC的度数是( ) D
A．80°
B．160°
C．100°
D．80°或100°
解析：当点B在优弧AC上时， ABC 1 AOC 180；
当点B在劣弧上时,
2
∠AB’C＝180°-∠ABC＝180°-80°＝100°.
所以∠ABC的度数是80°或100°．
九年级数学上册(人教版)圆周角-定理及推论1教学课件
人教版九年级(上)数学教学课件
第24章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4(1) 圆周角-定理及推论1
情境导入 探究新知 知识归纳 典例精讲 当堂训练
温故知新
圆周角---定理及推论
情境导入
A
B C
E D
站在哪一个位置踢球,最容易进
01 圆周角的定义
知识要点 02
圆周角定理
精讲精练
03 圆周角定理的推论1
圆周角---定理及推论
1.顶点在圆上 2.两边都与圆相交的角
知识梳理
圆周角 同弧或等弧所对的圆周角等于该弧所对
定理
圆周角
的圆心角的一半；
推论 同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧相等.
强化 训练
强化训练
圆周角---定理及推论
提升能力
1.如图,在☉O中,已知直径AB⊥CD于点E,∠CDB=18º.将△OBD绕点O顺时针
∴ BAC 1 BOC
2
典例精讲
圆周角定理
知识点二
【例1】在⊙O中,一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)º
和(5x-30)º,求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。
解：由题意得： 2x+100=2(5x-30) 解得：x=20 ∴2x+100=140º,5x-30=70º.
答：这条弧所对的圆心角和圆周角的度数分别为：140º和70º.
B O· A
B
C
O·
C O·
C A
(√1)
A
顶点不(2在) 圆上 B
B 边AC没(3有)和圆相交
O·
B
C
顶点不(4在) 圆上
C A O·
第24章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4(1) 圆周角-定理及推论1
情境导入 探究新知 知识归纳 典例精讲 当堂训练
温故知新
圆周角---定理及推论
情境导入
A
B C
E D
站在哪一个位置踢球,最容易进
01 圆周角的定义
知识要点 02
圆周角定理
精讲精练
03 圆周角定理的推论1
圆周角---定理及推论
1.顶点在圆上 2.两边都与圆相交的角
知识梳理
圆周角 同弧或等弧所对的圆周角等于该弧所对
定理
圆周角
的圆心角的一半；
推论 同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧相等.
强化 训练
强化训练
圆周角---定理及推论
提升能力
1.如图,在☉O中,已知直径AB⊥CD于点E,∠CDB=18º.将△OBD绕点O顺时针
∴ BAC 1 BOC
2
典例精讲
圆周角定理
知识点二
【例1】在⊙O中,一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)º
和(5x-30)º,求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。
解：由题意得： 2x+100=2(5x-30) 解得：x=20 ∴2x+100=140º,5x-30=70º.
答：这条弧所对的圆心角和圆周角的度数分别为：140º和70º.
B O· A
B
C
O·
C O·
C A
(√1)
A
顶点不(2在) 圆上 B
B 边AC没(3有)和圆相交
O·
B
C
顶点不(4在) 圆上
C A O·
《圆周角》PPT课件
O
1.(2008东莞调研文、理)如图所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于 ．ABOD
C
分析：由射影定理得
2.如图, ⊙O的直径 AB 为10cm,弦AC为6cm,∠ACB 的平分线交⊙O于 D, 求BC、AD、BD的长.
我能行
3.如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D， ，BF和AD相交于E，求证：AE=BE。
比一比，看谁最快！
2、如上题图，若∠3=∠7，则____=____.
圆周角定理的推论3：
半圆（或直径）所对的圆周角是 ， 90°的圆周角所对的弦是 。
直角
直径
如图，∠AC1B=∠AC2B=∠AC3B=
例1 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径。求证：
A
B
C
D
E
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
什么叫做圆周角？圆心角呢?
下列各图中的∠CDE哪些是圆周角?
E
⑴
⑵
⑶
⑷
√
×
√
×
看一看,谁理解?
如图,观察圆周角∠ACB与圆心角∠AOB,它们的大小有什么关系?
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理：
1、如图，∠A是⊙O的圆周角，∠BOC=80°，则∠A= ，2、如图，∠E=46°则∠DOC=_____,∠OCD=______.
∴AE=BE
3.3 圆周角定理
- .
本节学习目标：1、理解圆周角定理、圆心角定理以及两个 推论；2、会利用圆周角定理、圆心角定理以及 两个推论进行计算、证明。
右图中 所对的圆周角是 ， 所对的圆心角是 .
1.(2008东莞调研文、理)如图所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于 ．ABOD
C
分析：由射影定理得
2.如图, ⊙O的直径 AB 为10cm,弦AC为6cm,∠ACB 的平分线交⊙O于 D, 求BC、AD、BD的长.
我能行
3.如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D， ，BF和AD相交于E，求证：AE=BE。
比一比，看谁最快！
2、如上题图，若∠3=∠7，则____=____.
圆周角定理的推论3：
半圆（或直径）所对的圆周角是 ， 90°的圆周角所对的弦是 。
直角
直径
如图，∠AC1B=∠AC2B=∠AC3B=
例1 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径。求证：
A
B
C
D
E
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
什么叫做圆周角？圆心角呢?
下列各图中的∠CDE哪些是圆周角?
E
⑴
⑵
⑶
⑷
√
×
√
×
看一看,谁理解?
如图,观察圆周角∠ACB与圆心角∠AOB,它们的大小有什么关系?
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理：
1、如图，∠A是⊙O的圆周角，∠BOC=80°，则∠A= ，2、如图，∠E=46°则∠DOC=_____,∠OCD=______.
∴AE=BE
3.3 圆周角定理
- .
本节学习目标：1、理解圆周角定理、圆心角定理以及两个 推论；2、会利用圆周角定理、圆心角定理以及 两个推论进行计算、证明。
右图中 所对的圆周角是 ， 所对的圆心角是 .
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如图2,圆中A⌒B=E⌒F,那么∠C和∠G的大小有什
么关系?为什么?
A
C G
E
●O
C
B
D 图1
A
O
F B
图2 E
由此你能得出什么结论?
圆周角定理的推论1： 用于找相 等的角
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等.
用于找相 等的弧
随堂演练
A
D
一、填空题:
(1)如图所示,
∠BAC= ∠BDC,∠DAC= ∠DBC.
C
B
2.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?
为什么?
D
B E
●O
A
C
(2)
3.⊙O半径OA丄OB，弦AC丄BD于E.求证：AD//BC.
解： ∵OA丄OB ∴∠AOB=90° ∴∠C=∠D=45 ∵AC丄BD ∴∠AED=90° ∴∠DAE=45° ∴∠C=∠DAE ∴AD//BC
D
O B
A
C
4、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB， 如果∠ADB=35º，求∠BOC的度数。
解∵AB=AC ∴∠ABD=∠ADB=35º ∴∠BAC=∠ABD+∠ADB=70º
∴∠BOC=2∠BAC=140º
探索新知
如图1,圆中一段弧(A⌒C)对着许多个圆周角,这
些个角的大小有什么关系?为什么?
2
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
• 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
n提示:能否转化为1的情况? n过点B作直径BD.由1可得:
AD C
构成我们学习最大障碍的 是已知的东西，而不是未知的 东西。 —— 贝尔纳
谢谢观赏
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑一种特殊情况：
• 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
解:∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B.
理解并掌 握这个模 型.
A C
●O
B
即 ∠ABC = 1∠AOC.
2
圆心在角的边上
圆心在角内
圆心在角外
A
AD
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
n提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
AB BC
运用新知，深化理解
1.如图，已知BD是⊙0的直径，点A、C在⊙O上， ，∠AOB=60°
，则∠BDC的度数是(
)
A. 20° B. 25° C. 30 ° D. 40°
3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为 圆心，C、D为半圆上的两点， ∠COD=500，则∠CAD=__2_5_º_____
做做看，收获知多少？
一、判断
1、顶点在圆上的角叫圆周角。 ×
2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。√
3 如图，已知圆心角 ∠AOB=100°，求圆周角
∠ACB=_1_3_0_º_、 ∠ADB=__5_0_º__。
n提示:能否也转化为1的情况?
A C
n过点B作直径BD.由1可得:
●O
n∠ABD = 1∠AOD,∠CBD = 1∠COD,
B
2
2
∴ ∠ABC =1∠AOC.
2
一条弧所对的圆周角等于它所
你能写出这个命题吗? 对的圆心角的一半.
圆周角定理
• 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半.即∠ABC =1∠AOC.
圆周角定理教学课件
探索:
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?
圆周角定义: 顶点在圆 上,并且两边都和圆相 交的角叫圆周角.
特征：
① 角的顶点在圆上.
A
.
O
B
C
② 角的两边都与圆相交.
1 、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
不是
是
图１
图２
不是
图４
图３
不是
图５
2、指出图 中的圆周角。
n∠ABD
= 1∠AOD,∠CBD
2
= 1∠COD,
2
●O
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
B
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一角的一边上,结果会怎样?
• 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
运用新知
1.如图，已知BD是⊙0的直径，点A、C在⊙O上，， ∠AOB=60°，则∠BDC的度数是( ) A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
分析：由BD是⊙0的直径，点A、C在⊙O上，AB BC ， ∠A0B=60°，利用在同圆或等圆中同弧或等弧所对的 圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得 ∠BDC的度数.
课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
一 、这节课主要学习了两个知识点：
1、圆周角定义。 2、圆周角定理及其定理应用。 二、方法上主要学习了圆周角定理的证明,渗 透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论 的思想方法。 三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也 是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用。
AAAC ..B 22∠∠CC
2. 如图，已知A，B，C在⊙0上，弧ACB为优弧，下列选项中
与∠AOB相等的是（
）
A. 2∠C B. 4∠B C. 4∠A D. ∠B+∠C
随堂演练
D
1.求圆中角x的度数
Cx
.O
C
70° x
A
B
O.
A
100°B
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠BCD=_1_3_0。°
A
O
C B
∠ACO ∠ACB ∠BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABO ∠CBO ∠ABC
圆周角和圆心角的关系
• 如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC, 它们的大小有什么关系?
• 说说你的想法,并与同伴交流.
A C
A C
A C
●O ●O
●O
B
B
B
n提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
么关系?为什么?
A
C G
E
●O
C
B
D 图1
A
O
F B
图2 E
由此你能得出什么结论?
圆周角定理的推论1： 用于找相 等的角
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等.
用于找相 等的弧
随堂演练
A
D
一、填空题:
(1)如图所示,
∠BAC= ∠BDC,∠DAC= ∠DBC.
C
B
2.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?
为什么?
D
B E
●O
A
C
(2)
3.⊙O半径OA丄OB，弦AC丄BD于E.求证：AD//BC.
解： ∵OA丄OB ∴∠AOB=90° ∴∠C=∠D=45 ∵AC丄BD ∴∠AED=90° ∴∠DAE=45° ∴∠C=∠DAE ∴AD//BC
D
O B
A
C
4、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB， 如果∠ADB=35º，求∠BOC的度数。
解∵AB=AC ∴∠ABD=∠ADB=35º ∴∠BAC=∠ABD+∠ADB=70º
∴∠BOC=2∠BAC=140º
探索新知
如图1,圆中一段弧(A⌒C)对着许多个圆周角,这
些个角的大小有什么关系?为什么?
2
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
• 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
n提示:能否转化为1的情况? n过点B作直径BD.由1可得:
AD C
构成我们学习最大障碍的 是已知的东西，而不是未知的 东西。 —— 贝尔纳
谢谢观赏
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑一种特殊情况：
• 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
解:∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B.
理解并掌 握这个模 型.
A C
●O
B
即 ∠ABC = 1∠AOC.
2
圆心在角的边上
圆心在角内
圆心在角外
A
AD
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
n提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
AB BC
运用新知，深化理解
1.如图，已知BD是⊙0的直径，点A、C在⊙O上， ，∠AOB=60°
，则∠BDC的度数是(
)
A. 20° B. 25° C. 30 ° D. 40°
3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为 圆心，C、D为半圆上的两点， ∠COD=500，则∠CAD=__2_5_º_____
做做看，收获知多少？
一、判断
1、顶点在圆上的角叫圆周角。 ×
2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。√
3 如图，已知圆心角 ∠AOB=100°，求圆周角
∠ACB=_1_3_0_º_、 ∠ADB=__5_0_º__。
n提示:能否也转化为1的情况?
A C
n过点B作直径BD.由1可得:
●O
n∠ABD = 1∠AOD,∠CBD = 1∠COD,
B
2
2
∴ ∠ABC =1∠AOC.
2
一条弧所对的圆周角等于它所
你能写出这个命题吗? 对的圆心角的一半.
圆周角定理
• 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半.即∠ABC =1∠AOC.
圆周角定理教学课件
探索:
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?
圆周角定义: 顶点在圆 上,并且两边都和圆相 交的角叫圆周角.
特征：
① 角的顶点在圆上.
A
.
O
B
C
② 角的两边都与圆相交.
1 、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
不是
是
图１
图２
不是
图４
图３
不是
图５
2、指出图 中的圆周角。
n∠ABD
= 1∠AOD,∠CBD
2
= 1∠COD,
2
●O
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
B
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一角的一边上,结果会怎样?
• 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
运用新知
1.如图，已知BD是⊙0的直径，点A、C在⊙O上，， ∠AOB=60°，则∠BDC的度数是( ) A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
分析：由BD是⊙0的直径，点A、C在⊙O上，AB BC ， ∠A0B=60°，利用在同圆或等圆中同弧或等弧所对的 圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得 ∠BDC的度数.
课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
一 、这节课主要学习了两个知识点：
1、圆周角定义。 2、圆周角定理及其定理应用。 二、方法上主要学习了圆周角定理的证明,渗 透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论 的思想方法。 三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也 是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用。
AAAC ..B 22∠∠CC
2. 如图，已知A，B，C在⊙0上，弧ACB为优弧，下列选项中
与∠AOB相等的是（
）
A. 2∠C B. 4∠B C. 4∠A D. ∠B+∠C
随堂演练
D
1.求圆中角x的度数
Cx
.O
C
70° x
A
B
O.
A
100°B
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠BCD=_1_3_0。°
A
O
C B
∠ACO ∠ACB ∠BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABO ∠CBO ∠ABC
圆周角和圆心角的关系
• 如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC, 它们的大小有什么关系?
• 说说你的想法,并与同伴交流.
A C
A C
A C
●O ●O
●O
B
B
B
n提示:注意圆心与圆周角的位置关系.