第6章 假设检验

第6章假设检验

6.1考点归纳

一、正态性检验

1.W检验

设是来自正态总体的样本，为其次序统计量，W统计量定义为

，其中系数在样本容量为n时有特定的值，可查附表6，对于假设：总体分布为，其检验的拒绝域具有形式{}，其中分位数形，可查附表7。

2.EP检验

EP检验即爱泼斯—普利（Epps—Pulley）检验。

爱泼斯—普利检验对多种备择假设有较高的效率，其出发点是利用样本的特征函数与正态分布的特征函数的差的模的平方产生的一个加权积分得到的。

设是来自正态总体N的样本，EP检验统计量定义为

，其中，就是前述的样本均值和（除以n的）样本方差看，其拒绝域为是样本容量为n时EP检验统计量(在原假设下的分布)的1－分位数。

二、正态总体均值的假设检验

1．单个总体均值μ的检验

设总体，未知，检验问题为，．（显著性水平为）

（1）σ2已知，关于μ的检验（Z检验）

当σ2已知时，用统计量作为检验统计量，当

时拒绝原假设，即得拒绝域为

（2）σ2未知，关于μ的检验（t检验）

设X1，X2，…，X n是来自总体X的样本，由于σ2未知，样本统计量S2是σ2的无偏估计，用S来代替σ，采用作为检验统计量，当时拒绝原假设，即得拒绝域为

2．两个正态总体均值差的检验（t检验）

设是来自正态总体的样本，是来自正态总体的样本，均为未知，设两样本独立且方差是相等的，又分别记它们的样本均值为，记样本方差为．检验问题为：（δ为已知常数），显著性水平为α，采用下述t统计量作为检验统计量：

其中

当时拒绝原假设，于是得拒绝域为

3．基于成对数据的检验（t检验）

（1）逐对比较法

在相同的条件下做对比试验，得到一批成对的观察值，然后分析观察数据作出推断，这种方法常称为逐对比较法．

（2）成对数据的检验

设有n对相互独立的观察结果：（X1，Y1），（X2，Y2），…，（X n，Y n），令，则D1，D2，…，D n相互独立，又由于D1，D2，…，D n是由同一因素所引起的，可认为它们服从同一分布．假设

，i＝1，2，…，n，其中未知，我们需要基于这一样本检验假设：

①；

②，

③，

分别记D1，D2，…，D n的样本均值和样本方差的观察值为，由单个正态总体均值的t检验知检验问题①，②，③的拒绝域分别为（显著性水平为α）：

三、正态总体方差的假设检验

1．单个总体的情况（χ2检验法）

设总体均未知，X1，X2，…，X n是来自X的样本，要求检验假设（显著性水平为α）为已知常数．由于S2是σ2的无偏估计，因此选作为检验统计量，则拒绝域具有以下的形式：

或

类似地，可得左边检验问题的拒绝域为

右边检验问题问题的拒绝域为

表6-1 正态总体均值、方差的检验法（显著性水平为α）

2．两个总体的情况（F检验法）

设是来自总体的样本，是来自总体的样本，且两样本独立，其样本方差分别为且设

均为未知．现在需要检验假设（显著性水平为α）

选取作为检验统计量，则拒绝域为

四、分布拟合检验

1．单个分布的χ2拟合检验法

设总体X的分布未知，x1，x2，…，x n是来自X的样本值，来检验假设

H0：总体X的分布函数为F（x）；

H1：总体X的分布函数不是F（x）．

将在下X可能取值的全体分成互不相交的子集，以记样本观测值落在的个数，其中设F（x）不含未知

参数，（也常以分布律或概率密度代替F（x））．

采用

作为检验统计量，其中．

定理若n充分大（n≥50），则当H0为真时统计量近似服从χ2（k－1）分布．

对于给定的显著性水平α，得到上述假设检验问题的拒绝域为

．

注意：在拟合检验中，n不能小于50，应有np i≥5，否则应适当并组以满足这个要求．

2．分布族的χ2拟合检验

检验的原假设是

H0：总体X的分布函数是

其中F的形式已知，而是未知参数，用样本求出未知参数的最大似然估计（在H0下），以估计值作为参数值，求出p i的估计值则

取

作为检验假设H0的统计量，在H0为真时近似地有

得到上述检验问题在显著性水平为下的拒绝域为

五、其他分布参数的假设检验

1．指数分布参数的假设检验

（1）提出假设：

拒绝域：，P值：。

（2）提出假设：和，

检验统计量不变，拒绝域以及检验的P值分别为

2．比率P的检验

比率P可看作某事件发生的概率，即可看作二点分布b（1，P）中的参数，作n次独立试验，以x记该事件发生的次数，则。

（1）假设的P值为：

。

（2）假设以及的P值分别为

。

六、秩和检验

1．当时

设自1，2两总体分别抽取容量为n1，n2的样本，且设两样本独立，这里总假定n1≤n2，我们将这n1＋n2个观察值放在一起，按自小到大的次序排列，求出每个观察值的秩，然后将属于第1个总体的样本观察值的秩相加，其和记为R1，称为第1样本的秩和，其余观察值的秩的总和记作R2，称为第2样本的秩和.

在给定显著性水平α下，H0的拒绝域为

（1）双边检验问题的拒绝域为

或

（2）左边检验问题的拒绝域为

（3）右边检验问题的拒绝域为

2．当n1，n2≥10，当H0为真时，

近似地有

因此，当n1，n2≥10时我们可以采用

作为检验统计量，在显著性水平α下双边检验、右边检验、左边检验的近似拒绝域分别为，，，这里z是Z的观察值．注：将两个样本个元素按自小到大的次序排列，若出现k 个秩相同的组，设其中有个数的秩为，则当H0为真时R1的均值仍为，而R1的方差修正为

七、置信区间与假设检验之间的关系

1．显著性水平为α的双边检验

当要检验上述假设时，先求出θ的置信水平为1－α的置信区间

，然后考察区间是否包含，若则接受H0，若

，则拒绝H0．

2．显著性水平为α的单边检验