2017绵阳一诊理科数学解析版

2017绵阳市一诊数学试卷（理科）

一、选择题（共60分）

1．（5分）集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{2，3，4}

2．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）

A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0

C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0

3．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）

A．8 B．9 C．10 D．11

4．（5分）实数x，y满足，则z=2x+y最大值为（）

A．0 B．1 C．2 D．

5．（5分）命题＜1，命题q：lnx＜1，则p是q成立的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6．（5分）2016年国庆期间，某大型商场举行购物送劵活动，一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠劵，根据购买商品的标价，三张优惠劵的优惠方式不同，具体如下：

优惠劵A：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；

优惠劵B：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；

优惠劵C：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%．

若顾客想使用优惠劵C，并希望比使用优惠劵A或优惠劵B减免的钱都多，则他购买的商品的标价应高于（）

A．300元B．400元C．500元D．600元

7．（5分）要得到函数f（x）=sin2x+cos2x的图象，可将y=2sin2x的图象向左

平移多少个单位（）

A．个B．个C．个D．个

8．（5分）已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（）

A．cosβ=2cosαB．cos2β=2cos2α

C．cos2β+2cos2α=0D．cos2β=2cos2α

9．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x．设f（x）在[n﹣1，n）上的最大值为a n（n∈N*），则a3+a4+a5=（）

A．7 B．C．D．14

10．（5分）△ABC中，cosA=，AB=4，AC=2，则∠A的角平分线AD的长为（）A．B．C．2 D．1

11．（5分）如图，矩形ABCD，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点，，过P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于M，E，N，若，则2m+3n的最小值是（）

A．B．C．D．

12．（5分）若函数f（x）=x4+4x3+ax2﹣4x+1的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围是（）

A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）

二、填空题

13．（5分）若向量满足，则x=．14．（5分）公差不为0的等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，则a5=．

15．（5分）函数f（x）=的图象在点（e2，f（e2））处的切线与直线y=﹣x 平行，则f（x）的极值点是．

16．（5分）f（x）定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=x3，若对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，不等式f（3x﹣t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．

三.解答题（共70分）

17．（12分）函数的图象（部分）如图．

（1）求f（x）解析式

（2）若，求cosα．

18．（12分）设数列{a n}前n项和为S n，已知S n=2a n﹣1（n∈N*），

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）若对任意的n∈N*，不等式k（S n+1）≥2n﹣9恒成立，求实数k的取值范围．

19．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=12，b=4，O为△ABC的外接圆的圆心．

①若cosA=，求△ABC的面积S；

②若D为BC边上任意一点，，求sinB的值．

20．（12分）f（x）=xsinx+cosx；

（1）判断f（x）在区间（2，3）上的零点个数，并证明你的结论（参考数据：≈2.4）

（2）若存在，使得f（x）＞kx2+cosx成立，求实数k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2﹣1，g（x）=e x﹣e．

（1）讨论f（x）的单调区间；

（2）若a=1，且对于任意的x∈（1，+∞），mg（x）＞f（x）恒成立，求实数m 的取值范围．

[极坐标与参数方程]

22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ；（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|+a（a∈R）．

（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）≥0的解集；

（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实数根，求实数a的取值范围．

2017绵阳市一诊数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共60分）

1．（5分）（2016秋•天水期末）集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（）

A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{2，3，4}

【分析】由一元二次不等式的解法求出集合B，由交集的运算求出A∩B．

【解答】解：∵集合B={x∈Z|x2﹣5x＜0}={x∈Z|0＜x＜5}={1，2，3，4}，

且集合A={x|﹣2＜x＜3}，

∴A∩B={1，2}，

故选A．

【点评】本题考查了交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．

2．（5分）（2015•唐山二模）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0

C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0

【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0．

故选：D．

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．

3．（5分）（2017春•北市区校级月考）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）

A．8 B．9 C．10 D．11