二次函数与幂函数典型例题(含答案)

二次函数与幂函数

1．求二次函数的解析式． 2．求二次函数的值域与最值．

3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题． 【复习指导】

本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．

基础梳理

1．二次函数的基本知识

(1)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，它的定义域是R .

(2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x ＝

－b 2a ，顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫

－b 2a

，

4ac －b 2

4a . ①当a ＞0时，抛物线开口向上，函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫

－b 2a ，＋∞上

递增，当x ＝－b 2a 时，f (x )min ＝4ac －b 2

4a

；

②当a ＜0时，抛物线开口向下，函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫

－b 2a ，＋∞上

递减，当x ＝－b 2a 时，f (x )max ＝4ac －b 2

4a

.

③二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)当Δ＝b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ

|a |

. (3)二次函数的解析式的三种形式： ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋h (a ≠0)；

③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

2．幂函数

(1)幂函数的定义

形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

(2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质

第一象限一定有图像且过点（1，1）；

第四象限一定无图像；

当幂函数是偶函数时图像分布第一二象限，奇函数时图像分布第一三象限；

第一象限图像的变化趋势；当a<0时，递减，a>0时，递增，其中a>1时，递增速度越来越快，0

y＝x y＝x2

y＝

x3y＝x

1

2

y＝x－1

定义域R R R[0，＋∞)

{x|x∈R且

x≠0}

值域R [0，＋∞)R[0，＋∞)

{y|y∈R且

y≠0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

单调性增

x∈[0，＋∞)时，增，

x∈(－∞，0]时，减增增

x∈(0，＋∞)

时，减，x∈

(－∞，0)时，

减

定点(0,0)，(1,1)(1,1)

一条主线

二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．

两种方法

二次函数y＝f(x)对称轴的判断方法：

(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内x1，x2，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝

f(x)图象的对称轴方程为x＝x

1

＋x2 2

；

(2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)．

两种问题

与二次函数有关的不等式恒成立问题：

(1)ax 2

＋bx ＋c ＞0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎨⎧ a ＞0，

b 2

－4ac ＜0；

(2)ax 2

＋bx ＋c ＜0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎨⎧

a ＜0，

b 2

－4ac ＜0.

双基自测

1．下列函数中是幂函数的是( )． A ．y ＝2x 2

B ．y ＝1

x

2

C ．y ＝x 2＋x

D ．y ＝－1

x

2．(2011·九江模拟)已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的范围是( )． A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25

D ．f (1)＞25

3．(2011·福建)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )．

A ．(－1,1)

B ．(－2,2)

C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 4．(2011·陕西)函数 的图象是( )．

5．二次函数y ＝f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )(x ∈R )且f (x )＝0有两个实根x 1，

x 2，则x 1＋x 2＝________.

考向一 求二次函数的解析式

【例1】►已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1,3)，且f (－1＋x )＝f (－1

－x )对任意实数都成立，函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．求f (x )与g (x )的解析式．

【训练1】 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．

考向二 幂函数的图象和性质

【例2】►幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为( )． A ．－1＜m ＜3 B ．0 C ．1

D ．2

【训练2】 已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝ ⎛

⎭⎪⎫－2，12在幂函数y

＝g (x )的图象上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________.

考向三 二次函数的图象与性质

【例3】►已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1，求f (x )在区间[0,2]上的最值．