平面简谐波

y
Acos
t
x u
因为 2 2 , uT 所以
T
y
Acos
2
t T
x
来自百度文库
y
Acos
2
t
x
选择适当的计时起点，使上式中的 等于
0 ，于是有
y
Acos
t
x u
y
A cos 2
t T
x
y
Acos 2
t
x
➢ 平面简谐波波动方程
y Acos[(t x) ] u 沿x 轴正向
250Hz 200m
y Acos[2π(250t x ) π ] 200 4
x 100m , y Acos(500πt 5π ) 4
v dy 500πAsin(500πt 5π )
dt
4
练习 一简谐波沿ox 轴正向传播， 4m ,T 4s
已知 x 0 点振动曲线如图，求 1） x 0 点振动方
y0 Acos t
y
u
P
o
x
x
振动状态从o 点传播到P 点所用时间为x/u ,
即P 点在时刻t 的状态应等于o 点在
t -(x/u)时刻的状态. 所以P 点处质元的振动方
程为
y
Acos
t
x u
若平面波沿x 轴负方向传播，则P 点的振
动方程为
y
Acos
t
x u
综合以上两种情况, 平面简谐波的波动方程为
u
2.两列波相遇区域内某一点的振动相位差
y1
A1
cos1(t
r1 u
)
10
y2
A2
cos2 (t
r2 u
)
20
2
(t
r2 u
)
20
[1 (t
r1 u
)
10 ]
(2
1 )t
2 ( r1 1
r2
2
)
( 20
10 )
3. 波程差与相位差的关系
如果两列波频率相同在同一种介质中传播 ,则
2
r1
振动方程，并给出该点与点 O 振动的相位差.
x 2 π x
u
λ
y(x,t) y(x,t T ) （波具有时间的周期性）
波线上各点的简谐振动图
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
T
2） 当t 一定时，波动方程表示该时刻波线上各
点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.
（2）质元振动的最大速度;
（3）画出t =1 s 时的波形图.
解（１）将题给的波动方程改写成
y
0.02cos
2
25 2
t
0.1 2
x
而波动方程的标准方程为
y
Acos 2
t T
x
二式比较得
A 0.02m
T 2 0.08s 25
2 10m
0.1
u 250m s1
T
（2）质元的振动速度为
v y 0.02 25 sin 25t 0.1xm s1
t 其最大值为
vmax 0.02 25 1.57m s1
（3）将t =1s代入波动方程得
y 0.02cos 25 0.1xm
y
0.02
o
x
y
A o 1m
2m
B
x
例 3. 如图所示，一平面简谐波以400 m·s-1的波速在均匀媒质中沿x 轴正向传播.已 知波源在o 点，波源的振动周期为0.01s 、振 幅为0.01m. 设以波源振动经过平衡位置且向 y 轴正向运动作为计时起点，求：（1）B 和 A 两点之间的振动相位差；（2）以B 为坐标 原点写出波动方程.
u
y Acos[(t x) ] u 沿x 轴负向
u
➢ 质元的振动速度，加速度
v y Asin[(t x) ]
t
u
a
2 y t 2
2
A cos[ (t
x) u
]
2. 波动方程的物理意义
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
T
1） 当 x 固定时，波动方程表示该点的简谐
t x
T
(t, x) (t t, x x)
x ut
讨论：如图简谐 波以余弦函数表示，
求 O、a、b、c 各点
振动初相位.
(π ~ π )
t =0 A y
Oa
A
A
O
y o π
O
A
O
y
a
π 2
O A
u
b c
A
y
y
t=T/4
x
b 0
c
π 2
讨论
1.同一波线上两个不同点的振动相位差
x 2 x
一、 平面简谐波的波动(运动学)方程
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位
移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y(x,t) 称
为波动方程或波函数.
y y(x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
➢ 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波.
y Acos[2 π x (2π t )] T
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
波程差
x21 x2 x1
12
1 2
2π
x2 x1
2π
x21
2π x
3） 若 x,t 均变化，波函数表示波形沿传播方
向的运动情况（行波）.
yu
t 时刻 t t 时刻
x
O
xx
x
y Acos[2 π( t x ) ] T
解： 250Hz
y(m)
A
200m
2A 2
o
P x(m)
vp 0
A
100m
波向 x 轴负向传播
y Acos[2π(250t x ) ]
A
200
t 0,x 0 y 2A v 0 2
π
4
O 2A 2 y
y(m)
A 2A 2
o
A
P x(m) 100m
2） 求在距原点 O 为 100m处质点的振动方程与 振动速度表达式.
➢ 平面简谐波：波面为平面的简谐波.
各种不同的简谐波
合成 分解
简谐波 1
简谐波 2
合成 复杂波
复杂波
平面简谐波:
波阵面是平面，且波所到之处，媒质中各质元 均作同频率、同振幅的简谐振动，这样的波叫平 面简谐波.
1. 波动方程的推导
设一平面简谐波波速为u，沿x 轴正方向传播, 起始时刻，原点o 处质元的振动方程为
yB
0.01cos
200
t
2 400
2
0.01cos
200
t
3
2
因此以B 为坐标原点的波动方程为
y
0.01cos
200
t
x 400
3
2
y
u
o
x
例4. 有一沿x 轴正向传播的平面简谐波， 在t =0时的波形图如图中实线所示. 问：（1）
原点o 的振动相位是多大？（2）如果振幅为 A、圆频率为、波速为u ，请写出波动方程.
y
A
y Acos[2π( t x ) ] T
t0 x0
y 0, v y 0
π
2
t
y 1.0cos[2π( t x ) π]m 2.0 2.0 2
2）求t 1.0s 波形图.
y 1.0 cos[2π( t x ) π]m
2.0 2.0 2
t 1.0s y 1.0 cos[π π x]m
x 0.5m 处质点的振动方程
y 1.0cos(π t π)m
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0 * 1.0 * 2.0 * t / s
1 -1.0*1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
例2 . 一平面简谐波沿x 轴的正向传播已 知波动方程为
y 0.02cos 25t 0.1xm
求：（1）波的振幅、波长、周期及波速;
解 根据题意设波源的振动方程为
y
0.01cos
200
t
x 400
0
vy00
0 0
即0.021csoins00
0 0
0
2
故
y
0.01cos
200
t
x 400
2
（1）B 和A 两点之间的振动相位差为
200
t
2 400
2
200
t
1 400
2
2
（2）以B 为坐标原点时有
程、2）波函数。
2 y(102 m)
22
o
2
yo
t(s)
2 102 cos(2π t )m
4
A
oA2 y
π
3
t 0,x 0 y A 2 v 0
波函数
y 2 102 cos[2π( t x ) π ]m 44 3
r2
20
10
r1 r2 ---波程差
若 20 10 则 2
例1 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振
幅 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波函数
解 写出波函数的标准式
O
解（１）设o 点的振动方程为
y Acos t 0
因为vy00
0 0
即A
cos0 0 A sin0
0
所以原点o 的振动相位为
0
2
（2）波动方程为
y
Acos
t
x u
2
练习 一平面简谐波在 t 0时刻的波形图如图，
设频率 250Hz ，且此时 P 点的运动方向向下，
求 1）该波的波函数;
波形方程
2
1.0sin(π x)m
y/m
1.0 *
sin(πx) 0
*
x 0,1,2, (m)
sin(πx) 1
o*
1*.0 2*.0 3*.0 x / m x (2k 0.5)m
-1.0
*
t 1.0 s 时刻波形图
sin(πx) 1 x (2k 1.5)m
k 0,1,2,
3） x 0.5m 处质点的振动规律并作图 . y 1.0 cos[2π( t x ) π ]m 2.0 2.0 2