行列式的计算方法(常见)ppt
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递推降阶法用于需经多次降阶才能求解，并且较低 阶行列式与原行列式有相同结构的情况。
例4
求解下列行列式：
x
（1）
y
0
0
ห้องสมุดไป่ตู้
0
0 x y 0 0 Dn 0 y 0 0 0 0 x 0 y x
解 利用按行按列展开定理把原行列式按第1列展开
x y 0 0 y 0 0 0 x y 0 0 n 1 Dn x (1) y 0 0 x y 0 0 0 x 0 0 x y
ax by ay bz az bx
例3 求解行列式
D ay bz az bx ax by az bx ax by ay bz
解
按第一列拆开,再提公因子得
x
ay bz az bx
y
ay bz az bx
D a y az bx ax by b z az bx ax by z ax by ay bz x ax by ay bz
降阶后的两个低阶行列式都是三角形行列式,故原行列式的值为
Dn xn (1)n1 y n
x 0
1 x 0 0 an 1
0 1 x 0 an 2
0 0 0 x a2
0 0 0 1 a1 x
（2）
Dn
0 0 an
解
把原行列式按第1列展开得
x 0 Dn x 0 an 1 1 x 0 x an 2 a2 0 0 0 0 1 x 0 0 0 0 1 0
=
1 x12 x22 xn2
n i 1
2 1 x = i
今天给同学们介绍的是计算行列式最常用的几种 方法，行列式类型有很多，在具体的求解过程中要 根据行列式本身的结构特点选取恰当的方法。
n1
x
n
方法5
升阶法（加边法）
有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这 种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。 加边法最大的特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后, 就可利用行列式的性质把绝大多数元素化为0, 这样就达到简化计算的 效果 例 求行列式的值
x12 1 x2 x1 Dn xn x1
1 0
2 4
1 3 2 19
1 2 1 3 0 2 3 14 0 0 0 0
1 2 1 3 0 2 3 14 160 0 0 8 47 8 47 0 0 0 10 8 37
方法3
拆行（列）法
由行列式拆项性质，将已知行列式拆成若干个行列式之和，计算其值， 再得原行列式值，此法称为拆行（列）法。
x1 x2
x1 xn x2 xn
x2 2 1 xn x2
xn 2 1
解
行列式第1列有共同元素 x1 ,第2列有共同元素
1 0 Dn 0 0 x1 x12 1 x2 x1 xn x1 xn x2 x2 x1 x2 x2 2 1 xn x1 xn x2 xn
把 ② 代入 ① 中得
2
②
Dn an xan1 x Dn2
③
依次下去，得
Dn an xan1 x2 Dn2 xn2 D2
而
D2 x a2 1 a1 x a2 a1 x x 2
④
将 ④ 代入 ③ 中得
Dn an an1x a1x
(1) n 1 an 0 x 0 0 1 a1 x 0 0 x 1
降阶后的行列式,第1个行列式与原行列式的结构相同,此行列式用Ｄn-1表 示,而后一个行列式是三角形行列式,则上式可表示为
Dn an xDn1
①
把
Dn-1
按同样的方法展开得
Dn1 an1 xDn2
x2 ,…,第 n 列有
共同元素 xn .根据这些特点给原行列式加边得
xn 2 1
给加边后的行列式的第1行乘 xi 加到第i行上(i=1,2,…,n)得
1 x1 Dn x2 xn x1 x2 xn 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 x12 x2 2 xn 2 0 0 0 x1 x2 xn 1 0 0 0 0 0 1 1 0
再把第１个行列式按第３列展开，第２个行列式按第２列展开．最终得
x
3 3 D= ( a b ) y z
y z x
z x y
方法4
降阶法
利用行列式按行按列展开定理将高阶行列式转化为 较低阶行列式求解的方法叫做降阶法. 它可以分为直接降阶法和递推降阶法
直接降阶法用于只需经少量几次降阶就可求得行列 式值的情况。
1 0 0 0
0 0
0 0
0
0
0 2 0 0 0 0
0 1999 2000 0
解 利用n阶行列式的定义,可直接计算其值 Ｄ＝２０００！
方法2
化三角形法
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或
对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法
之一。 例2 计算行列式
行列式的计算方法
行列式的计算是高等代数中的难点、重 点，特别是高阶行列式的计算，学生在学 习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握
计算高阶行列式的方法很多，但具体 到一个题，要针对其特征，选取适当的方 法求解。
方法1
例1 求下列行列式的值
定义法
利用n阶行列式的定义计算行列式,此法适用于0比较多的行列式。
1 2 1 3 7 18 5 2 D 5 8 2 1 3 0 2 4
解 首先给第1行分别乘-7,-5,-3,分别加到第2,3,4行上, 再交换第2,3两行的位置;给第二行分别乘以2,-3后,分别 加到第3,4行上;最后给第3行乘1加到第4行即可。
1 2 1 3 0 2 3 14 D 0 4 2 19 0 2 3 14 0 6 1 15 0 6 1 5
例4
求解下列行列式：
x
（1）
y
0
0
ห้องสมุดไป่ตู้
0
0 x y 0 0 Dn 0 y 0 0 0 0 x 0 y x
解 利用按行按列展开定理把原行列式按第1列展开
x y 0 0 y 0 0 0 x y 0 0 n 1 Dn x (1) y 0 0 x y 0 0 0 x 0 0 x y
ax by ay bz az bx
例3 求解行列式
D ay bz az bx ax by az bx ax by ay bz
解
按第一列拆开,再提公因子得
x
ay bz az bx
y
ay bz az bx
D a y az bx ax by b z az bx ax by z ax by ay bz x ax by ay bz
降阶后的两个低阶行列式都是三角形行列式,故原行列式的值为
Dn xn (1)n1 y n
x 0
1 x 0 0 an 1
0 1 x 0 an 2
0 0 0 x a2
0 0 0 1 a1 x
（2）
Dn
0 0 an
解
把原行列式按第1列展开得
x 0 Dn x 0 an 1 1 x 0 x an 2 a2 0 0 0 0 1 x 0 0 0 0 1 0
=
1 x12 x22 xn2
n i 1
2 1 x = i
今天给同学们介绍的是计算行列式最常用的几种 方法，行列式类型有很多，在具体的求解过程中要 根据行列式本身的结构特点选取恰当的方法。
n1
x
n
方法5
升阶法（加边法）
有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这 种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。 加边法最大的特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后, 就可利用行列式的性质把绝大多数元素化为0, 这样就达到简化计算的 效果 例 求行列式的值
x12 1 x2 x1 Dn xn x1
1 0
2 4
1 3 2 19
1 2 1 3 0 2 3 14 0 0 0 0
1 2 1 3 0 2 3 14 160 0 0 8 47 8 47 0 0 0 10 8 37
方法3
拆行（列）法
由行列式拆项性质，将已知行列式拆成若干个行列式之和，计算其值， 再得原行列式值，此法称为拆行（列）法。
x1 x2
x1 xn x2 xn
x2 2 1 xn x2
xn 2 1
解
行列式第1列有共同元素 x1 ,第2列有共同元素
1 0 Dn 0 0 x1 x12 1 x2 x1 xn x1 xn x2 x2 x1 x2 x2 2 1 xn x1 xn x2 xn
把 ② 代入 ① 中得
2
②
Dn an xan1 x Dn2
③
依次下去，得
Dn an xan1 x2 Dn2 xn2 D2
而
D2 x a2 1 a1 x a2 a1 x x 2
④
将 ④ 代入 ③ 中得
Dn an an1x a1x
(1) n 1 an 0 x 0 0 1 a1 x 0 0 x 1
降阶后的行列式,第1个行列式与原行列式的结构相同,此行列式用Ｄn-1表 示,而后一个行列式是三角形行列式,则上式可表示为
Dn an xDn1
①
把
Dn-1
按同样的方法展开得
Dn1 an1 xDn2
x2 ,…,第 n 列有
共同元素 xn .根据这些特点给原行列式加边得
xn 2 1
给加边后的行列式的第1行乘 xi 加到第i行上(i=1,2,…,n)得
1 x1 Dn x2 xn x1 x2 xn 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 x12 x2 2 xn 2 0 0 0 x1 x2 xn 1 0 0 0 0 0 1 1 0
再把第１个行列式按第３列展开，第２个行列式按第２列展开．最终得
x
3 3 D= ( a b ) y z
y z x
z x y
方法4
降阶法
利用行列式按行按列展开定理将高阶行列式转化为 较低阶行列式求解的方法叫做降阶法. 它可以分为直接降阶法和递推降阶法
直接降阶法用于只需经少量几次降阶就可求得行列 式值的情况。
1 0 0 0
0 0
0 0
0
0
0 2 0 0 0 0
0 1999 2000 0
解 利用n阶行列式的定义,可直接计算其值 Ｄ＝２０００！
方法2
化三角形法
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或
对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法
之一。 例2 计算行列式
行列式的计算方法
行列式的计算是高等代数中的难点、重 点，特别是高阶行列式的计算，学生在学 习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握
计算高阶行列式的方法很多，但具体 到一个题，要针对其特征，选取适当的方 法求解。
方法1
例1 求下列行列式的值
定义法
利用n阶行列式的定义计算行列式,此法适用于0比较多的行列式。
1 2 1 3 7 18 5 2 D 5 8 2 1 3 0 2 4
解 首先给第1行分别乘-7,-5,-3,分别加到第2,3,4行上, 再交换第2,3两行的位置;给第二行分别乘以2,-3后,分别 加到第3,4行上;最后给第3行乘1加到第4行即可。
1 2 1 3 0 2 3 14 D 0 4 2 19 0 2 3 14 0 6 1 15 0 6 1 5