习题课 概率统计

i 名射手所需的子弹数目， 解 设 ξ i 表示第 i 名射手所需的子弹数目， = 1, ⋯ , 9
ξ 表示 名射手所需子弹数目， 表示9名射手所需子弹数目 名射手所需子弹数目，
依题意， 依题意，ξ = ∑ ξ i ，并且 ξ i 有如下分布律
i= i =1
9
ξi
P
1 0.8
2 0.16
9
3 0.04
4、 有一对射手共 人 ， 技术不相上下 ， 每人射击中靶 、 有一对射手共9人 技术不相上下， 的概率均为0.8；进行射击，各自打中靶为止， 的概率均为 ；进行射击，各自打中靶为止，但限制每人 最多只打3次 问大约需为它们准备多少发子弹？ 最多只打 次。问大约需为它们准备多少发子弹？ 5、设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随 、 单位： ），它服从区间 机变量 X （单位：吨），它服从区间 [2000，4000] 上的均匀 ， 分布，每销售出一吨商品，可为国家赚取外汇3万元 万元； 分布，每销售出一吨商品，可为国家赚取外汇 万元；若销售 不出，则每吨商品需储存费1万元 问应组织多少货源， 万元。 不出，则每吨商品需储存费 万元。问应组织多少货源，才能 使国家收益最大？ 使国家收益最大？ 6、 若连续型随机变量 ξ 的概率密度是
fY ( y ) =
∑
i =1
m
f X [ h i ( y )] | h i′ ( y ) |
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例2 已知连续型随机变量 ξ有概率密度
kx + 1 0 ≤ x ≤ 2 ϕ ( x） = 其他 0
求系数 k 及分布函数 F ( x) ，并计算 P{1.5 < ξ < 2.5} 。 解
∫
+∞ −∞
ϕ ( x)dx = 1
1 ∴ 2k + 2 = 1, k = − 2
0 x<0 1 x F ( x) = ∫ ϕ (t )dt = − x 2 + x 0 ≤ x ≤ 2 −∞ 4 1 x>2
P{1.5 < ξ < 2.5} = F (2.5) − F (1.5) = 0.0625
所以
2000 ≤ x ≤ 4000
其它
E (Y ) = ∫
=∫
+∞
−∞
g ( x) f ( x)dx
1 g ( x)dx 2000
4000
2000
t 4000 1 = [ ∫ (4 x − t )dx + ∫ 3tdx] t 2000 2000
得
1 E (Y ) = (−2t 2 + 14000t − 8 ×106 ) 2000
ax 2 + bx + c o < x < 1 ϕ ( x) = 0 其他
已知 Eξ = 0.5, Dξ = 0.15 ，求系数 a, b, c 。
U(0,1),求Y=ax+b的概率密度 的概率密度.(a≠0) 例1 设X∼U(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a≠0)
y −b Y=ax+b关于 严单,反函数为 关于x严单 解: Y=ax+b关于 严单 反函数为 h( y ) = a
∵ Eξ i = 1.24
∴ Eξ = ∑ Eξ i = 9 ×1.24 = 11.16
i =1
再多准备10%~15%，大约需为它们准备13发。 ，大约需为它们准备 发 再多准备
例5、设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随 、 单位： ），它服从区间 机变量 X （单位：吨），它服从区间 [2000，4000] 上的均匀分 ， 每销售出一吨商品，可为国家赚取外汇3万元 若销售不出， 万元； 布，每销售出一吨商品，可为国家赚取外汇 万元；若销售不出， 则每吨商品需储存费1万元 问应组织多少货源， 万元。 则每吨商品需储存费 万元。问应组织多少货源，才能使国家收 益最大？ 益最大？ 解： 设组织货源 t 吨， 显然应要求： 显然应要求：
a = 12, b = −12, c = 3
2000 ≤ t ≤ 4000
单位：万元） 国家收益 Y （单位：万元）是 X 的函数 Y = g(X)
3t g( X ) = 3 X − (t − X )
当 X ≥t 当 X <t
由题意知， 由题意知，X 的密度函数为 f(x):
1 f ( x) = 2000 0
求导数并令其为零可得： 上式对 t 求导数并令其为零可得：
1 (−4t + 14000) = 0 2000
解得
t * = 3500
吨货源为好。 答：为使国家收益最大，应组织3500吨货源为好。 为使国家收益最大，应组织 吨货源为好
6、
若连续型随机变量 ξ 的概率密度是
ax 2 + bx + c o < x < 1 ϕ ( x) = 0 其他
已知100个产品中有 个次品，求任意取出的 个产品 个产品中有10个次品 例3 已知 个产品中有 个次品，求任意取出的5个产品 中次品数的期望值。 中次品数的期望值。 解： 设5个产品中次品数为 ξ 个产品中次品数为 易知 则
ξ = 0, 1, 2,3,4,5
5 k C90− k C10 P{ξ = k} = , (k = 0,1, 2,3, 4,5) 5 C100
∴
∵ Dξ = 0.15
1 1 1 a + b + c = 0.5 4 3 2
1
（2） ）
∴ Eξ 2 = 0.4
Eξ = 0.5
∴ ∫
1 1 1 x (ax + bx + c)dx = a + b + c = 0.4 0 5 4 3
2 2
（3） ）
联立（ ） 联立（1）、（2）、（3）为方程组，并求解之，可得： ） ）为方程组，并求解之，可得：
由数学期望的定义可知： 由数学期望的定义可知：
5 k C90− k C10 Eξ = ∑ k × 5 C100 k =0 5
= 0.5
有一对射手共9人 技术不相上下， 例4 有一对射手共 人，技术不相上下，每人射击中靶的概 率均为0.8；进行射击，各自打中靶为止，但限制每人最多只打3 率均为 ；进行射击，各自打中靶为止，但限制每人最多只打 问大约需为它们准备多少发子弹？ 次。问大约需为它们准备多少发子弹？
故 而 故
y−b 1 f Y ( y ) = f [ h ( y )] | h ′ ( y ) |= f X ( ) a a
1 0 < x < 1 f X ( x) = 0 others
1 fY ( y ) = a 0 y−b 0< <1 a others
y=g(x)关于 分段严格单调， 关于X 注： 若X～fX(x) ，y=g(x)关于X分段严格单调， 且在第i个单调区间上，反函数为h (y),则Y=g(X） 且在第i个单调区间上，反函数为hi(y),则Y=g(X） 的概率密度为
已知 Eξ = 0.5, Dξ = 0.15 ，求系数 a, b, c 。 解
∵ ∫ ϕ ( x)dx = 1
−∞
1
+∞
1 b a + + c =1 0 3 2 1 2 又 Eξ = 0.5 ∴ ∫0 x(ax + bx + c)dx = 0.5
∴ ∫ (ax 2 + bx + c)dx = 1
（1） ）
习题课
1、设X∼U(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a≠0) U(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a≠0) 的概率密度
ξ 2、 已知连续型随机变量 有概率密度
kx + 1 0 ≤ x ≤ 2 ϕ ( x） = 其他 0
求系数 k 及分布函数 F ( x) ，并计算 P{1.5 < ξ < 2.5} 。 3、已知100个产品中有 个次品，求任意取出的 个产品 、已知 个产品中有10个次品 个产品中有 个次品，求任意取出的5个产品 中次品数的期望值。 中次品数的期望值。