概率统计习题课六

2(n 1),
又X
~
N ( , 2 ),
n
X n1
X
~
N 0, n 1
n
2
故
X n1 X
n ~ N 0,1
n1
于是 即
X n1
X
n
n
1
( n 1)s2
( n 1) 2
~ t n 1
Xn1 X n ~ t n 1
S n1
1 P{max( X 1 , X 2 , X 3 ) 4}
1 P{ X1 4, X 2 4, X 3 4}
1 P{ X 1 4}P{ X 2 4}P{ X 3 4}
1 [ ( 4 2)]3
3
1 [ (0.67)]3
X1 ~ N(2,9)
1 (0.7486)3 0.58
3
=
31 ～t(3)
2 2
2 3
2 4
2． X1 , X 2 , , X15 独立，均服从 N (0,22 ) 概率论
Y
X12
X
2 2
2( X121 X122
X
2 10
X125 )
求Y 的分布。
解：
14（X12
X
2 2
14（X121
X
2 12
X120）～（2 10） 。X125）～（2 5）
A） X 1 X 2 X 3
C） X 3
2
i
2
i 1
B）maxX 1 , X 2 , X 3 D）X1
二、选择题
2）已知 X ~ tn那么 X 2 ~ A A）F (1, n) B）F(n,1) C） 2 (n)
解： X ~ t( n )，则 X U V /n
其中 U ~ N ( 0,1) , V ~ 2( n )
所以
X1 X2 ~ N (0,1) 8
X3 X4 ~ N (0,1) 8
X1
X2 8
2
X3
X4 8
2
~
2( 2
)
即Y ~ 2(2)
8
故 C1 8
概率论
二、选择题
1） 设 X ~ N , 2 ,其中 已知， 2 未知，
X1 , X 2 , X 3 为样本，则下列选项中不是 统计量的是 C
F X / n1 Y / n2
且两者相互独立，
Y
（( XX11221
X
2 2
X122
X120）/ 10 X125 ) / 5
～ F(10,5)
概率论
3 已知 X ~ t(n), 试证 X 2 ~ F (1, n). （P147, 4（3）) 解：由于X ~ t(n), 所以 X Y ,
求 (1)P{ X 3}; (2)P{ X 2 1}; (3)P{S 2 26.955};
(4)P{max( X 1 , X 2 , X 3 ) 4}; (5)P{min( X 1 , X 2 , X 3 ) 0}.
解：（1） 由于 X ~ N (2,3)，
所以 P{ X 3} 1 ( 3 2) 1 ( 1 )
1 [1 ( 0 2)]3
3
X1 ~ N(2,9)
1 [1 1 (0.67)]3
1 (0.7486)3
0.58
概率论 §２ 抽样分布
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第六章 样本及抽样分布
（P147 , 3）
概率论
6 设 X1 , X 2 ,, X10 与 Y1 ,Y2 ,Y15分别是正态总体 N (20,3)的两个独立样本，求P{ X Y 0.1}.
3
3
1 (0.58) 1 0.7190 0.281
（2）P{ X 2 1} 1 P{ X 2 1}
1 P{ 1 X 2 1 } 333
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第六章 样本及抽样分布
概率论
1 P{ 1 X 2 1 } 1 [ ( 1 ) ( 1 )]
n
或X ~
/ n
N (0,1)
概率论
一．填空题：
2 设 X1 , X 2 , X 3 , X 4是来自正态总体 N 0,22 的
样本，令Y X1 X 2 2 X 3 X 4 2 C 1 时CY ~ 2 2.
则当
8
解：因 X1 X2 ~ N ( 0,8 ) X3 X4 ~ N (0,8)
解： X Y ~ N (0, 3 3 ), 即 X Y ~ N (0,0.5).
10 15
P{ X Y 0.1} 1 P{ X Y 0.1}
X Y 1 P{
0.1 } 1 P{0.14 X Y 0.14}
0.5 0.5
0.5
2 2 (0.14) 2 2 0.5557
故 X 2 U 2 / 1 ~ F (1, n) V /n
概率论
D）t n
三、解答题
概率论
1． 1,2 ,3,4 独立，i ~ N (0,1) i 1,2,3,4
求
31
2 2
32
42
的分布。
t X ~ t(n) Y n
解：
1 ~ N (0,1)
2
，
2
2 3
42～（2 3）
且两者相互独立，
ห้องสมุดไป่ตู้
1 22 32 42
概率论
概率论与数理统计习题课 六
概率论
一．填空题：
1．设 X1, X2 , Xn 是独立同分布的随机变
量序列,且均值为 ,方差为 2 ,那么当 n 充
分 大 时 , 近 似 有 X ~ N(, 2)
或
X ~ N (0,1) 。特别的，当同n为正态分
/ n
布时，对于任意的n ，都精确有
X ~ N(, 2 )
Z n
其中Y ~ N (0,1), Z ~ 2 (n), 且 Y , Z 独立.
Y2 则 X2 1 ,
Z n
由 F 分布的定义知
X 2 ~ F (1, n).
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第六章 样本及抽样分布
§２ 抽概样率分论布
4 设X 1 , X 2 , X 3是总体N (2,9)的样本,
概率论
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第六章 样本及抽样分布
（5） P{min( X 1 , X 2 , X 3 ) 0}
1 P{min( X1 , X 2 , X 3 ) 0}
1 P{ X1 0, X 2 0, X 3 0}
1 P{ X 1 0}P{ X 2 0}P{ X 3 0}
333
3
3
2 2 ( 1 ) 2 [1 (0.58)]
3
2 [1 0.7190] 0.562
（3） 由于(3 1)S 2 9 ~ （2 2），故 P{S 2 26.955} P{2S 2 9 5.99} 0.05
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第六章 样本及抽样分布
（4） P{max( X1 , X 2 , X 3 ) 4}
0.8886
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概率论
7 总 体 X ~ N , 2 , X1 , X 2 , X n , X n1 为 样 本 ，
, 1 n
X n i1 Xi
S2
1n n 1 i1 (Xi
X )2
求 X n1 X n 的分布.
S
n1
解：(1)
由(n 1)S 2
2
~