概率统计习题课七

（A）1 n
（B） 1 n1
（C）
2
1 n
1
（D） 1 n2
解：E
ˆ2
n1
E
C
n1 i 1
Xi1 X i
2
C
E
X2 i1
2Xi1 Xi
X2 i
ni 11
C 2 2 2 2 2
i 1
2(n 1)C 2 2
C 1 2(n 1)
三、 解答题
1）设 X1, X 2 , , X n 为总体X 的一个样本, X 的密度函
％的置信区间；（2）求
2 1
/
2 2
的置信度为95
％的置信区间。
解： (1) 置信区间为
11
X Y S
n1 n2
t (n1 n2 2)
2
其中S
(n1
1)
S2 1
(n2
1)
S2 2
(n1 n2 2)
X
10.6( g ),Y
9.5(
g
),
S2 1
2.4,
S2 2
4.7
n1 12, n2 17, n1 n2 2 27, 0.05，
条流水线上抽取样本：X1 , X 2 , , X12
及Y1 ,Y2 , ,Y17
算出 X
10.6( g),Y
9.5(
g
),
S2 1
2.4,
S2 2
4.7 ，假设这
两条流水线上灌装的番茄酱的重量都服从正态分布，且
相互独立，其均值分别为1,2, （1）设两总体方差
2 1
2 2
，
求
1
2 置信度为95
信区间是 4.412,5.588
解： 2 0.92 已知， 置信区间
X
z 2
n
而x 5,n 9, 0.9, 0.05， z z0.025 1.96 2
故z 2
n
0.588
置信区间为 4.412,5.588
二、 选择题：
1)设 X1, X 2 , , X n 是取自总体X 的一个简单样本，则
本，则 的极大似然估计量是
max 1in
xi
1
解： 由 f ( x)
0 x
0 其它
似然函数
n
L( ) i 1
1
f ( xi ) n
,0 xi , i 1,2,
n
取对数ln L( ) nln ,
求导令它为零，得 n 0，显然方程无解，
即用常规方法无法求的极大似然估计。
注意到每个xi [0, ]
0,
0
x 其他
1,
0
求参数
的矩估计
量和极大似然估计量。
解： 20 似然函数为
n
n
L( )
f ( xi )
x 1 i
i 1
i 1
n
ln L( ) nln 1ln xi i 1
求导数得
n
n
ln xi
i 1
0
最大似然估计值为
ˆ
n
n
ln xi
i 1
最大似然估计量为
ˆ
n
n
二、 选择题：
2）总体 X N ( , 2 )， 2已知，n B 时，才
能使总体均值 的置信度为0.95的置信区间长不大于
L
（A）15 2/ L2; （B）15.3664 2/ L2; （C）16 2/ L2; （D）16
解：
置信区间为
X
z 2
n
依题意，区间长度
2
z 2
L n
而由 0.05, z 1.96 2
(总体二阶原点矩)
得
p
1
1
2 1
,
n
2 1
,
1
2 1
2
故
pˆ 1
X
1 n
n i 1
X2 i ,
X
2
nˆ
X
X
2
X
1 n
n i 1
, X2
i
n 1 S2 于是 pˆ 1 n ,
X
2
nˆ
X
X n 1 S2
,
n
一．填空题：
数理统计
2）设总体 X U 0, ,( X1, X2, , Xn ) 是来自X 的样
1
xi
!
xi 0,1,2,
dL( )
d
ne n
n
xi
i1
n
xi 1
e n
i 1
n i 1
xi
n i 1
1
xi
!
0
最大似然估计值为 ˆ x
最大似然估计量为 ˆ X
（最好对L取对数后再求导，计算要容易些）
三、 解答题
3）随机地从一批零件中抽取 16 个，测得长度(cm) 为：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10， 2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11，设
Xi
1 0
,,取取得得次合品格品（i=1,2,
,n）
试证明
1n p X n i1 X i
是 p 的无偏估计量 .
证明：X ~ B(1, p) ，所以 E( X ) p, E( Xi ) p
故
E( p)
E( X )
E
1 n
n i 1
X
i
p
因而 p是 p 的无偏估计.
3.33
2
置信区间为 0.1737, 1.7004
三、 解答题
*5 ） 设 S 2 是 来 自 X N ( , 2 ) 的 随 机 样 本
X1, X2 , , Xn 的 方 差 ， , 2 是 未 知 参 数 ， 试 问
a,b(0 a b)满足什么条件才能使 2的95％的置信
区间
(n
零件长度分布为正态分布，试求总体 的 90％的置信 区间：（1）若 0.01(cm)，（2）若 未知。
解： (1) 0.01已知
置信区间为
X
z 2
n
而x 2.125,n 16, 0.01, 0.10，z z0.05 1.645 2
故z 2
n
0.004
置信区间为 2.121,2.129
(n1
2
1, n2
1)
S2 1
2.4,
S2 2
4.7
0.05，
n1 12, n2 17, n1 1 11, n2 1 16,
F (n1 1, n2 1) F0.025(11,16) 2.94 2
1
1
1
F1 2 (n1 1, n2 1)
F
(n2 1, n1 1)
F0.025 (16,11)
数理统计
因而ຫໍສະໝຸດ Baidu min 1in
xi
max 1in
xi
因此有
max 1in
xi
，由于L(
)关于 单减函数
因此当
在其最小值
max 1in
xi
，L(
)取到最大值
ˆ极大似然估计
max
1in
xi
一．填空题：
3）设总体 X N ( ,0.92 )容量为 9的简单随即变
量，均值 x 5，则未知参数 的置信度为0.95的置
1)S b
2
,
(n
1)S a
2
的长度最短？
解：(n 1)S 2 ~ 2(n 1), 概率密度是 f ( x)
2
由P
(n
1) b
S
2
2
(
n
1) a
S
2
=P
a
(n 1)S 2
2
b
b
= f(x)dx 0.95 a
置信区间长度为
L(a,b) =
(n - 1 )S 2
(n - 1 )S 2 -
解： (2)
未知
置信区间为
X
t (n 2
1)
S n
而 x 2.125,n 16, S 2 0.0044 , 0.10，
15
t (n 1) t0.05(15) 1.7531 2
故t (n 1) 2
S n
0.0075
置信区间为 2.1175, 2.1325
三、 解答题
4）*某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱，分别以两
t (n1 n2 2) t0.025(27) 2.0518, 2
X Y 1.1, S
11
n1 n2
t (n1 n2 2) 1.501 2
置信区间为 0.401, 2.601
解： (1) 置信区间为
S2 1
1
,
S2 1
1
S2 2
F
(n1 1, n2 1)
S2 2
2
F1
概率统计习题课七
一．填空题：
1 ） 设 总 体 X B(n, p),0 p 1, X1, X 2 , , X n 为 其样本，n及 p都为知，它们的矩估计分别
是
解： 由1 E( X ) np, (总体一阶原点矩)
2 E( X 2 ) D( X ) E2( X ) np(1 p) np2 ,
(n - 1 )S 2
ba
a
b
ab
b
只需求 L(a,b) 在 f(x)dx 0.95 条件下的最小值 a
设
F (n- 1)S2 b a
b
f(x)dx 0.95
ab
a
由
Fa 0
F0
0
得 a2 f(a) b2 f(b)
四、证明题
为了对一批产品估计其废品率 p ，随机取一
样本 X1, X2 ,…, Xn ,其中
数
f
(x)
x 1 ,
0,
0
x 其他
1,
0
求参数
的矩估计
量和极大似然估计量。
解：10 E X 1 x x 1dx 0 矩估量ˆ X 1 X
1
EX
1 EX
(总体一阶原点矩)
三、 解答题
1）设 X1, X 2 , , X n 为总体X 的一个样本, X 的密度函
数
f
(x)
x 1 ,
ln Xi
i 1
三、 解答题
2）设 X 服从参数为 的泊松分布，试求参数 的矩
估计与极大自然估计。
解： 10 E X
矩估计量为 ˆ X
20 X分布律为 PX x x e x 0,1,2,
x!
n
似然函数为 L( ) PX xi
n
i 1
en
xi
i1
n i 1
E( X 2 )的矩估计是 D
（A）
S2 1
1 n1
n i 1
(Xi
X
)2
（B）
S
2 2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
（C）S12 X 2 （D）S22 X 2
解：由2 E( X 2 ) (总体二阶原点矩)
故E( X 2 ) A2
而
S2 2
2
X
1 n
1n
n n
i 1
X2 i
i 1
X2 i
所以n 4 2 L2
z 2
2
2
15.3664
L2
二、 选择题：
3 ） 设 X1, X 2 , , X n 为 总 体X 的 一 个 随 机 样 本 ，
E( X ) , D( X ) 2 ， 2 C n1 ( X i1 X i )2 为 2 的 i 1
无偏估计，则 C＝ C