bessel函数

新疆大学
《数学物理方法》课程教学大纲
英文名称：Methods of Mathematical Physics
课程编号：C0631002 课程类型：专业核心课
总学时：64＋64 学分：8
适用对象：物理系各专业民、汉本科生
先修课程：《高等数学》、《线性代数》
使用教材：《高等数学》第四册，四川大学数学系编，高等教育出版社，1985年6月第二版；
参考书：《数学物理方法》黄大奎、舒慕曾编，高等教育出版社，Springer 出版社，2001年8月。

《数学物理方程》，谷超豪，李大潜，高等教育出版社，2002年7月第二版。

一、课程性质、目的和任务
《数学物理方法》是为物理专业篇写的。

它包含三个部分：复变函数论、数学物理方程和特殊函数。

对于物理专业来说，我们认为，“数学物理方法”不宜单纯作为数学课程来进行讲授与学习。

它是数学课程，又是物理课程。

在这样一门课程中，固然不应该将数学的严谨性弃置不顾，另一方面也不宜在数学严谨上作过多的要求。

虽然在复变函数、数学物理方程和特殊函数方面有不少著名的优秀专门著作，我们仍然感到，在数学理论上不花过多的力量，以鲜明的思路引导学生掌握这些数学工具并应用与物理问题。

本大纲要求学生通过学习，掌握经典数学物理方程的基本知识，以便为今后解决较复杂的数学物理问题打下良好基础，为进一步学好后继科程作一定的准备。

二、教学基本要求
本课程教学中要求学生了解数学物理方程的物理来源与有关概念的物理解释；掌握大纲中出现的概念、方法与主要结果；通过习题对课本的基本内容、基本思想、基本方法进行必要的训练，要求学生较熟练地掌握复变函数的极限、连续、解析函数、柯西定理、柯西积分、留数定理和二阶偏微分方程几种主要的定解问题求解方法。

本大纲教学总学时为128学时，其中讲授92－108学时，习题20－36学时。

三、教学内容与要求
第一章：复数与复变函数
教学内容：复数的各种形式及代数运算，复变函数及其极限与连续性。

教学要求：重点掌握复数的各种形式及代数运算和复变函数及其极限与连续性。

第二章：解析函数
教学内容：复变函数的可微性与解析函数概念，初等解析函数及其特性。

教学要求：1．了解初等多值解析函数(对数函数及一般幂指数函数)的定义及计算。

2．一般掌握初等单值解析函数及其特性。

3. 重点掌握复变函数的可微性与解析函数概念。

第三章：Cauchy定理、Cauchy积分
教学内容：复变函数的积分，柯西积分定理，柯西积分公式，解析函数与调和函数的关系。

教学要求：重点掌握柯西积分定理，柯西积分公式；复变函数的积分的计算；解析函数与调和函数的关系。

第四章：解析函数的幂级数表示
教学内容：函数项级数，解析函数的泰勒展开式，解析函数的罗朗展式，单值函数的孤立奇点及其分类。

教学要求：1．一般掌握函数项级数。

2. 重点掌握解析函数的泰勒展开式和解析函数的罗朗展式及其单值函数的孤立奇
点及其分类。

第五章：残数及其应用
教学内容：残数定理，利用残数定理计算实积分。

教学要求：重点掌握残数定理和利用残数定理计算实积分。

第七章：一维波动方程的付氏解
教学内容：一维波动方程的建立，一维波动方程的初值问题，
教学要求：1. 了解一维波动方程的建立。

2．一般掌握非齐次初值问题。

3. 重点掌握分离变量法。

第十章：波动方程的达朗贝尔解
教学内容：一维波动方程的初值问题，半无界弦问题，一维波动方程非齐次问题。

教学要求：1．一般掌握半无界弦问题和非齐次问题。

2. 重点掌握一维波动方程的初值问题求解。

第八章、热传导方程的付氏解
教学内容：热传导方程的建立、混合问题及初值问题的付氏解、一端有界的热传导方程
教学要求：1．一般掌握热传导方程的建立、初值问题的付氏解、一端有界的热传导方程。

2. 重点掌握混合问题的付氏解。

第九章、Laplace方程的圆的Dirichlet问题的付氏解
教学内容：圆的Dirichlet问题、δ函数
教学要求：1. 一般掌握圆的Dirichlet问题。

2. 重点掌握δ函数的定义及其性质。

第十一章、数学物理方程的解的积分公式
教学内容：Green公式、调和函数的基本性质、Laplace方程的Dirichlet问题、Green函数、泊松方程
教学要求：1. 了解泊松方程。

2．一般掌握Laplace方程的Dirichlet问题。

3. 重点掌握Green公式、调和函数的基本性质、Green函数。

第十二章、定解问题的适定性
弦振动方程的初值问题的适定性、弦振动方程的初边值问题的适定性、Dirichlet 问题的适定性、三类方程的比较
教学内容：弦振动方程的初值问题的适定性、弦振动方程的初边值问题的适定性、Dirichlet 问题的适定性、三类方程的比较。

教学要求：了解弦振动方程的初值问题的适定性、弦振动方程的初边值问题的适定性、Dirichlet问题的适定性、三类方程的比较。

第十三章、Fourier变换
教学内容：Fourier变换的定义及其基本性质、Fourier变换解数理方程举例、基本解。

教学要求：1. 了解基本解。

2．重点掌握Fourier变换的定义及其基本性质、Fourier变换解数理方程举例。

第十四章、Laplace变换
教学内容：Laplace变换的定义和它的逆变换、Laplace变换基本性质及其应用举例、展开定理。

教学要求：1. 一般掌握展开定理。

2．重点掌握Laplace变换的定义及其逆变换、Laplace变换基本性质及其应用举例。

第十五章、Legendre多项式、球函数
Legendre微分方程及Legendre多项式、Legendre多项式的母函数及其递推公式、按Legendre 多项式展开、连带Legendre多项式、Laplace方程在球形区域上的Dirichlet问题教学内容：Legendre微分方程及Legendre多项式、Legendre多项式的母函数及其递推公式、按Legendre多项式展开、连带Legendre多项式、Laplace方程在球形区域上的Dirichlet问题。

教学要求：1. 一般掌握连带Legendre多项式、Laplace方程在球形区域上的Dirichlet问题。

2. 重点掌握Legendre微分方程及Legendre多项式、Legendre多项式的母函数及其递推公式、按Legendre多项式展开。

第十六章、Bessel函数、柱函数
教学内容：Bessel微分方程及其Bessel函数、Bessel函数的母函数及其递推公式、按Bessel 函数展开、第二类和第三类Bessel函数、变形（或虚变量）Bessel函数和Bessel函数的渐进公式。

教学要求：1. 一般掌握第二类和第三类Bessel函数、变形（或虚变量）Bessel函数和Bessel 函数的渐进公式。

2. 重点掌握Bessel微分方程及其Bessel函数、Bessel函数的母函数及其递推公式、按Bessel函数展开。

四、教学重点与难点
第一章重点：复数的各种形式及代数运算和复变函数及其极限与连续性。

第一章难点：复变函数的极限与连续性的证明。

第二章重点：复变函数的可微性与解析函数概念。

第二章难点：复变函数的可微性与解析性的证明。

第三章重点：柯西积分定理，柯西积分公式；复变函数的积分的计算；解析函数与调和函数的关系。

第三章难点：柯西积分定理的应用。

第四章重点：解析函数的泰勒展开式和解析函数的罗朗展式及其单值函数的孤立奇点和分类。

第四章难点：解析函数的泰勒展开及其单值函数的孤立奇点的分类。

第五章重点：残数定理和利用残数定理计算实积分。

第五章难点：残数定理的应用。

第七章重点：分离变量法。

第七章难点：分离变量法。

第十章重点：一维波动方程的初值问题求解。

第十章难点：达朗贝尔法。

第八章重点：混合问题的付氏解。

第八章难点：混合问题的的分离变量法。

第九章重点：δ函数的定义及其性质。

第九章难点：δ函数的性质。

第十一章重点：Green公式、调和函数的基本性质、Green函数。

第十一章难点：调和函数的基本性质，Green函数。

第十三章重点：Fourier变换的定义及其基本性质、Fourier变换解数理方程举例。

第十三章难点：Fourier变换的应用。

第十四章重点：Laplace变换的定义和它的逆变换、Laplace变换基本性质及其应用举例。

第十四章难点：Laplace变换的应用。

第十五章重点：Legendre微分方程及Legendre多项式、Legendre多项式的母函数及其递推公式、按Legendre多项式展开。

第十五章难点：按Legendre多项式展开。

第十六章重点：Bessel微分方程及其Bessel函数、Bessel函数的母函数及其递推公式、按Bessel 函数展开；
第十六章难点：按Bessel函数展开。

五、实践环节
无。

六、学时分配
七、考核方式
闭卷考试。

制定者:闫萍
校对者: 闫萍
审定者:盛其荣
批准者:黄琼湘
数学与系统科学学院。