解目标规划的单纯形法

表4-3所示的解x1*=2，x2*=4为例1的满意解。 此解相当于图4-1的G点。
检查表4-3的检验数行，发现非基变量d3+的检验数为0， 这表示存在多重解。在表4-3中以非基变量d3+为换入 变量，d1-为换出变量，经迭代得到表4-4。
cj CB XB xs + d3 x2 x1 b x1 1 4 10/3 10/3 1 P1 P2 P3 x2 xs 1 P1 d1d1+ -1 1 2 -2 -1/3 1/3 2/3 -2/3 1 P2 d2-1 6 1/3 1/3 1 P3 P4 d2+ d31 -6 -1 -1/3 -1/3 1 1
① 取xs，d1-，d2-，d3-为初始基变量，列初始
单纯形表，见表4-1。
cj CB XB xs d1d2d3b 11 0 10 56 P1 P2 P3 x1 2 1 1 8 -1 -8 x2 1 -1 [2] 10 -2 -10 xs 1 d11 P1 d1+ -1 1 1 2 1 -1 1 -1 P2 d2P3 d2+ P4 d3d3+ θ 11/1 / 10/2 56/10
cj-zj
2
1 1Baidu Nhomakorabea
第5 节
应 用 举 例
• 例6 某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方 案时，依次遵守以下规定： • (1) 不超过年工资总额60000元； • (2) 每级的人数不超过定编规定的人数； • (3) Ⅱ，Ⅲ级的升级面尽可能达到现有人数的20%， 且无越级提升； • (4) Ⅲ级不足编制的人数可录用新职工，又Ⅰ级的 职工中有10%要退休。 • 有关资料汇总于表4-8中，问该领导应如何拟订一个 满意的方案。
先分别建立各目标约束。
年工资总额不超过60000元
• 2000(10-10×0.1+x1)+ 1500(12-x1+x2)+1000(15-x2+x3)+ d1—-d1+ =60000
• • • • •
每级的人数不超过定编规定的人数： 对Ⅰ级有 10(1-0.1)+x1+d2-—d2+=12 对Ⅱ级有 12-x1+x2+d3-—d3+=15 对Ⅲ级有 15-x2+x3+d4-—d4+=15 Ⅱ，Ⅲ级的升级面不大于现有人数的20%，但尽可能 多提； • 对Ⅱ级有 x1+d5-—d5+=12×0.2 • 对Ⅲ级有 x2+d6-—d6+=15×0.2 • 目标函数：min z=P1d1++P2(d2++d3++d4+)+P3(d5-+d6-)
例4 试用单纯形法来求解例2。 将例2的数学模型化为标准型：
目标函数： min z P d P ( d d ) P d 1 1 2 2 3 3 2
11 2 x1 x2 xs x x d d 2 1 1 0 1 满足约束条件： x1 2 x2 d 2 d2 10 8 x1 10 x2 d3 d3 56 x , x , x , d , d 0, i 1,2,3 1 2 s i i
• • • • •
在得到最终表后，见表4-5。 目标函数的优先等级变化为： (1) min z=P1(2d1++32+)+P2d4++P3(2) min z= P1d3-+P2(2d1++3d3+)+P3d4+ 试分析原解有什么变化。
表4-5
cj CB XB x2 x1 d3 d4 b 6 4 18 2 P1 P2 P3 x1 1 1 1 -3 -1 3 x2 1 d11 2P1 d1+ -1 -2 3 1 2 -3 d2-1 1 -2 3P1 d2+ 1 -1 2 3 -2 P2 d3d3+ d4P3 θ d4+
P1 d1+ -1
P3 cj-zj
P2 d2-1/2 1/2 1/2 -5 1 5
P3 P4 d2+ d31/2 -1/2 -1/2 5 1 1 -5
d3+
-1
θ 4 10/3 10 6/3
1 1
返回到(2)。依此类推，直至得到最终表 为止。见表4-3。
表4-3
cj CB XB xs d1x2x1cj-zj b 3 2 4 2 P1 P2 P3 x1 x2 1 1 1 -1 -8 -2 -10 1 1 1 xs 1 d11 P1 d1+ -1 P2 d22 3 4/3 -5/3 P3 d2+ -2 -3 -4/3 5/3 P4 d3-1/2 -1/2 -1/6 1/3 d3+ θ 1/2 6 1/2 4 1/6 24 -1/3
1
-1 1 -1
cj-zj
2
1 1
• 解 分析(1)，实际是将原目标函数中d4+， d3-的优先因子对换了一下。这时将表4-5 的检验数中的 P2 、 P3 行和 cj 行的 P2 、 P3 对 换即可。这时可见原解仍满足最优解条 件。
• 分析(2)，将变化了的优先等级直接反映 到表 4-5 上。再计算检验数，得表 4-6 。 然后进行迭代，直到求得新的满意解为 止。从表 4-7 中得到新的满意解 x1*=4 ， x2*=12。
解1 2.4 3 0 6300 0.6 2.4 3 0 0
解2 2.4 3 3 3300 0.6 2.4 0 0 0
解3 3 3 3 3000 0 3 0.6 0 0
解4 3 5 5 0 0 1 0 0.6 2
例7 已知有三个产地给四个销地供应某种产品，产销地之间 的供需量和单位运价见表4-10。有关部门在研究调运方案时 依次考虑以下七项目标，并规定其相应的优先等级：
11 10 56 10 min( ,0. , ) 1 2 10 2
它对应的变量d2-为换出变量，转入(4)
⑥ 即进行基变换运算，计算结果见表4-2
cj CB XB xs d1x2d3b 6 5 5 6 P1 P2 P3 x1 x2 3/2 3/2 1/2 1 [3] -1 -8 -2 -10 xs 1 d11
表4-8
等级 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 合计 工资额(元/年) 2000 1500 1000 现有人数 10 12 15 37 编制人数 12 15 15 42
• 解 设x1、x2、x3分别表示提升到Ⅰ、Ⅱ 级和录用到Ⅲ级的新职工人数。对各目 标确定的优先因子为： • P1——不超过年工资总额60000元； • P2—— 每级的人数不超过定编规定的人数； • P3——Ⅱ、Ⅲ级的升级面尽可能达到现有 人数的20%。
表4-6
cj CB XB x2 x1 d3 d4 b 6 4 18 2 P1 P2 P3 x1 1 1 1 -3 -1 3 x2 1 d11 2P1 d1+ -1 -2 3 1 2 -3 d2-1 1 -2 3P1 d2+ 1 -1 2 3 -2 P2 d3d3+ d4P3 θ d4+
1
-1 1 -1
销 地 产地
B1 200
B2 100
B3
B4
产量 300 200 400 100 1000/1000
A1 A2 A3 虚设点 销 量
200 250 200 100 450
150 100 250
• • • • • • • • •
供应约束 x11+x12+x13+x14≤300 x21+x22+x23+x24≤200 x31+x32+x33+x34≤400 需求约束：x11+x21+x31+d1--d1+=200 x12+x22+x32+d2--d2+=100 x13+x23+x33+d3--d3+=450 x14+x24+x34+d4--d4+=250 A3向B1提供的产品量不少于100 x31+d5--d5+=100
d3+ 1
θ
1
cj-zj
由表4-4得到解x1*=10/3，x2*=10/3，此解 相当于图4-1的D点，G、D两点的凸线性组 合都是例1的满意解
第4节
灵敏度分析
目标规划的灵敏度分析方法与线性规划相 似，这里除分析各项系数的变化外，还有优 先因子的变化问题，下面举例说明。 • 改变目标优先等级的分析。
P2 P3 cj-zj
② 取k=1，检查P1行的检验数，因该行无负检验数， 故转(5)。 ③ 因k(=1)＜K(=3)，置k=k+1=2，返回到(2)。 ④ 当k=2时,查出P2行检验数中有-1、-2； 取min(-1,-2)=-2。 它对应的变量x2为换入变量，转入(3)。 ⑤ 在表4-1上计算最小比值
• 因P1>>P2>>…>>PK；从每个检验数的 整体来看：检验数的正、负首先决定于 P1的系数α 1j的正、负。若α 1j=0，这时 此检验数的正、负就决定于P2的系数α 2j 的正、负，下面可依此类推。
解目标规划问题的单纯形法的计算步骤：
• (1) 建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先 因子个数分别列成K行，置k=1。 • (2) 检查该行中是否存在负数，且对应的前 k-1 行 的系数是零。若有负数取其中最小者对应的变量为 换入变量，转(3)。若无负数，则转(5)。 • (3) 按最小比值规则确定换出变量，当存在两个和 两个以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级 别的变量为换出变量。 • (4) 按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表， 返回(2)。 • (5) 当 k=K 时，计算结束。表中的解即为满意解。 否则置k=k+1，返回到(2)。
运筹学
（第二版）
刁在筠等 编
第4章 目标规划
第3节
解目标规划 的单纯形法 第4节 灵敏度分析 第5节 应用举例
高等教育出版社
第3节 解目标规划的单纯形法
目标规划的数学模型结构与线性规划的数学模 型结构形式上没有本质的区别，所以可用单纯形法 求解。但要考虑目标规划的数学模型一些特点，作 以下规定： • (1) 因目标规划问题的目标函数都是求最小化，所以 以cj-zj≥0，j=1,2,…，n为最优准则。 • (2) 因非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子， 即 c j z j akj Pk j 1,2,, n; k 1,2,, K
• 每个销地的供应量不小于其需要量的80% • x11+x21+x31+d6--d6+=200×0.8 • x12+x22+x32+d7--d7+=100×0.8 • x13+x23+x33+d8--d8+=450×0.8 • x14+x24+x34+d9--d9+=250×0.8
调运方案的总运费不超过最小 运费调运方案的10%
• • • • • • • •
P1——B4是重点保证单位，必须全部满足其需要； P2——A3向B1提供的产量不少于100； P3——每个销地的供应量不小于其需要量的80%； P4——所定调运方案的总运费不超过最小运费调运方案 的10%； P5——因路段的问题，尽量避免安排将A2的产品往B4； P6——给B1和B3的供应率要相同； P7——力求总运费最省。 试求满意的调运方案。
例5
已知目标规划问题
P 1 ( 2d1 3d 2 ) P2 d3
目标函数： min z

P3d 4
x1 x2 d1 d1 10 x d d 1 2 2 4 满足约束条件： 5 x1 3 x2 d3 d3 56 x1 x2 d 4 d 4 12 x , x , d , d 0, i 1,2,3,4 1 2 i i
• 以上目标规划模型可用单纯形法求解， 得到多重解。现将这些解汇总于表4-9， 这单位的领导再按具体情况，从表4-9中 选一个执行方案
变 量 含义 x1 晋升到Ⅰ级的人数 x2 晋升到Ⅱ级的人数 x3 新招收Ⅲ级的人数 d1 工资总额的结余额 d2 Ⅰ级缺编人数 d3 Ⅱ级缺编人数 d4 Ⅲ级缺编人数 + d5 Ⅱ级超编人数 + d6 Ⅲ级超编人数
cij xij d10 i 1 j 1
表4-10
销 地 产地
B1 5 3 4 200
B2 2 5 5 100
B3 6 4 2 450
B4 7 6 3 250
产量 300 200 400 900/1000
A1 A2 A3 销 量
解 上作业法求得最小运费的调运方案见表4-11。这 时得最小运费为2950元，再根据提出的各项目标的要 求建立目标规划的模型。 表4-11