数值分析第七章 数值积分

(1) 0 1
若记 M 2 = max | f ′′( x) | ,则有误差估计 a ≤ x ≤b M2 y R[ f ] ≤ (b a ) 3
12
从几何上看: 所以公式
ba [ f ( a) + f (b)] =T ∫a f ( x)dx ≈ 2 也称为梯形公式,记为T. 梯形公式, 梯形公式 .
b b
若记 M 4 = max f a ≤ x ≤b
( 4)
( x) , 则有 M4 R[ f ] ≤ (b a ) 5 2880
由于构造Newton-Cotes公式需要Cotes系数,将其列表 如下: k n 1 2 3 4 5 6 7 8
0
1 2 1 6 1 8 7 90 19 288 41 840 751 17280 989 28350
1
1 2 4 6 3 8 16 45 25 96 9 35 3577 17280 5888 28350
2
3
4
5
6
7
8
1 6 3 8 2 15 25 144 9 280 1323 17280 928 28350
1 8 16 45 25 144 34 105 2989 17280 10496 28350
∫a f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( x k ) k =0 对(x)=xj (j=0,1,2,…,m)都精确成立,但对(x)=xm+1不 精确成立,即 n b j x dx = ∑ Ak x kj , j = 0,1,2,..., m ∫a
b k =0
n
∫a x
b
m +1
dx ≠ ∑ Ak x km +1
1
A0 = A1 = 1 ,解得: 1 x 0 = x1 = 3
求积公式为
1 1 ∫1 f ( x)dx ≈ f ( ) + f ( ) 3 3 求积公式的代数精度为3.
§3 复化求积公式
一般地 , Newton-Cotes公式的截断误差为
f ( n +1) (η ) b (n + 1)! ∫a ω n +1 ( x)dx R[ f ] = ( n + 2 ) (η ) b f ∫a xω n +1 ( x)dx (n + 2)! (n为奇数)
η ∈ a,b) (
(n为偶数)
b
其中, xk=a+kh , k=0,1,2,3,4 , h=(b-a)/4 . 称之为Cotes公式,记为C.其误差为 公式, 公式
2(b a) b a R[ f ] = f 945 4 (b a ) 7 ( 6 ) = f (η ) 1935360
6
(6)
(η )
, η ∈ ( a, b)
1
公式的代数精度为3.
例8
试确定参数A0,A1和x0,x1,使求积公式
∫1 f (x)dx ≈ A0 f (x0 ) + A1 f (x1 )
1
具有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少? 解 令公式对(x)=1,x,x2,x3都精确成立,则 A0+A1=2
A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
b k =0
n
A0 + A1 + ... + An = b a 2 2 x 0 A0 + x1 A1 + ... + x n An = b a 2 …………………… b n +1 a n +1 x 0n A0 + x1n A1 + ... + x nn An = n +1
这是关于A0,A1,…,An的线性方程组,其系数行列式为
1 2
具有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少? 解 令公式对(x)=1,x,x2都精确成立,则
A0+A1+A2=2/3 -A0+A2=0 A0+A2=2/5
2
,解得:A0=A2=1/5, A1=4/15.
求积公式为
1 ∫1 x f ( x)dx ≈ [3 f (1) + 4 f (0) + 3 f (1)] 15 经验证公式对(x)=x3精确成立,但对(x)=x4不精确成立,
3
∫1 f (x)dx ≈ A0 f (1) + A1 f (0) + A2 f (1)
1
具有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少? 解 令公式对(x)=1,x,x2都精确成立,则
A0+A1+A2=2 -A0+A2=0 A0+A2=2/3
1
,解得:A0=A2=1/3, A1=4/3.
求积公式为
3
的求积公式,使其代数精度尽可能高. 解 令公式对(x)=1,x,x2都精确成立,则
A0+A1+A2=3 A1+3A2=4.5 A1+9A2=9
,解之得:A0=0,A1=9/4,A2=3/4.
数值求积公式为
3 ∫0 f ( x)dx ≈ [3 f (1) + f (3)] 4 例6 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
b n i≠k
令
C k( n ) 1 (1) n k n n = Ak = ∫0 ∏ (t i )dt , k = 0,1,..., n nk!(n k )! i = 0 ba i≠k
(7.3)
则有
b
f ( x) dx ≈ (b a ) ∑ C k( n ) y k ∫a
k =0
n
(7.4)
第7章 数值积分
计算定积分有微积分基本公式
∫a f ( x)dx = F (b) F (a)
b
但很多函数找不到原函数,如
sin x f ( x) = , x
f ( x) = e
x2
等.而实际上,有很多函数只知一些离散点的函数值,并 无表达式,这就需要利用已知条件求出近似值.
§1
插值型求积公式
I = ∫a f ( x)dx
1 x0 2 D = x0 n x0 1 x1 x12 x1n 1 x2 2 x2 n x2 1 xn 2 x n = ∏ ( x j xi ) ≠ 0 0≤i < j ≤ n n xn
(7.5)
所以方程组(7.5)有唯一解. 例5 确定形如
∫0 f (x)dx ≈ A0 f (0) + A1 f (1) + A2 f (3)
k =0
n
则称此公式具有m次代数精度. 具有m次代数精度. 具有 可见, 若公式具有m次代数精度,则公式对所有次数不 超过m的多项式都精确成立. n+1个节点的插值型求积公式 至少具有n次代数精度,n是偶数时具有n+1次代数精度.
若求积公式 ∫a f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( x k ) ,具有n次代数精度,则
称式(7.4)为Newton-Cotes公式.Ck(n)称为Cotes系数. Newton-Cotes公式. Newton 公式 2 例1 设(x)∈C [a,b],求n=1时的Newton-Cotes公式并 估计误差. 解 计算Cotes系数
1 1 1 (1) C = ∫0(t 1)dt = , C1 = ∫0tdt = , 2 2 ba b 于是有 [ f (a ) + f (b)] ∫a f ( x)dx ≈ 2 1 b R[ f ] = ∫a f ′′(ξ x )( x a )( x b)dx 2! f ′′(η ) b (b a ) 3 = ∫a ( x a)( x b)dx = 12 f ′′(η ), η ∈ (a, b) 2
a+b a+b a+b a+b ′( ′( )= f ), 这时插值误差为 H3( )= f( ), H 3 2 2 2 2
f ( x) H 3 ( x) =
f
( 4)
于是有
b b
(ξ x ) a+b 2 ( x a)( x ) ( x b), ξ x ∈ (a, b) 4! 2
b
R[ f ] = ∫a f ( x)dx ∫a p 2 ( x)dx = ∫a f ( x)dx ∫a H 3 ( x)dx + ∫a [ H 3 ( x) p 2 ( x)]dx 1 b ( 4) a+b 2 = ∫a f (ξ x )( x a )( x ) ( x b)dx 4! 2 f ( 4 ) (η ) b a+b 2 = ) ( x b)dx ∫a ( x a)( x 4! 2 (b a) 5 ( 4 ) = f (η ) , η ∈ ( a, b) 2880
例4
1
用梯形公式,Simpson公式和Cotes公式求积分
4 I = ∫0 dx 的近似值. 2 1+ x
解 I≈T=1/2(4+2)=3 I≈S=1/6(4+12.8+2)=3.13333 I≈C=1/90(28+…+14)=3.14212
§2 求积公式的代数精度
定义7.1 定义7.1 若求积公式
C
( 4) 0
7 16 ( 4 ) 2 16 7 ( 4) ( 4) ( 4) = , C1 = , C 2 = , C 3 = , C 4 = 90 45 15 45 90
于是有
ba [7 f ( x 0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x 2 ) + 32 f ( x 3 ) + 7 f ( x 4 )] ∫a f ( x)dx ≈ 90
b b b
= ∑ f ( x k ) ∫a l k ( x)dx + ∫a Rn ( x) dx
b b k =0
n
设(x)在[a,b]具有n+1阶连续导数,则有
∫a f ( x)dx = ∑ Ak y k + R[ f ] ≈ ∑ Ak y k
b k =0 k =0
n
nห้องสมุดไป่ตู้
(7.1)
其中
Ak = ∫a l k ( x)dx , k = 0,1,2, n 1 b R[ f ] = f ( n +1) (ξ x )ω n +1 ( x)dx. ξ x ∈ (a, b) ∫a (n + 1)!
b
(7.2)
求积公式(7.1)称为求积公式的一般形式.若求积公式中积 分系数Ak满足(7.2),则称之为插值型求积公式. 为了简化计算,取等距节点xk=a+kh,(k=0,1,2,…,n,
ba h= ), 则有 n
b
令x = a + th ( 1) n k h n n x xi Ak = ∫a l k ( x)dx = ∫a ∏ dx = ∫0 ∏ (t i )dt k! (n k )! i = 0 i =0 x x i≠k k i
b
y=(x)
o
a
b
x
设(x)∈C4[a,b],求n=2时的Newton-Cotes公式并 例2 估计误差. 解 计算Cotes系数
C
(2) 0
1 2 1 = ∫0 (t 1)(t 2)dt = , 4 6
C
(2) 1
C 2( 2 )
1 2 4 = ∫0 t (t 2)dt = , 2 6 1 2 1 = ∫0 t (t 1)dt = , 4 6
于是有
ba a+b [ f (a ) + 4 f ( ) + f (b)] =S. ∫a f ( x)dx ≈ 6 2
b
称之为Simpson公式或抛物线公式 Simpson公式 抛物线公式,记为S. Simpson公式 抛物线公式 容易证明Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立,即 ba a+b b [ p 3 (a ) + 4 p 3 ( ) + p 3 (b)] ∫a p 3 ( x)dx = 6 2 构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
b
若已知定积分
的被积函数(x)在节点a≤x0<x1<…<xn≤b上的函数值 yk= (xk) ,k=0,1,2,…,n 则可以构造n次Lagrange插值多项式Ln(x),因为 (x)=Ln(x)+Rn(x) 所以有
∫a f ( x)dx = ∫a Ln ( x)dx + ∫a Rn ( x)dx
7 90 25 96 9 280 2989 17280 4540 28350
19 288 9 35 1323 17280 10496 28350
41 840 3577 17280 928 28350
751 17280 5888 28350
989 28350
例3 求n=4的Newton-Cotes公式及误差. 解 查表可得
1 ∫1 f ( x)dx ≈ [ f (1) + 4 f (0) + f (1)] 3 当(x)=x3时,左=0,右=0,公式也精确成立.
当(x)=x4时,左=2/5,右=2/3,公式不精确成立. 所以,此公式的代数精度为3.
例7 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
∫1 x f (x)dx ≈ A0 f (1) + A1 f (0) + A2 f (1)