线性代数 矩阵的相似对角化
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定理
5.5 (5) 若 A ~ B , 则 | A| | B|.
3
§5.2 矩阵的相似对角化
第 一、相似矩阵的基本概念与性质
五 章
1. 相似矩阵的概念
2. 相似矩阵的性质
相 似
定理
若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征多项式,
矩
从而 A 与 B 有相同的特征值。
P144 定理5.5 (3)
阵
证明 因 A 与 B 相似，即存在可逆的矩阵 P 使得 P 1 AP B ,
故 | B I | | P 1 AP I | | P1 AP P1 I P |
| P1( A I )P || P 1 | | A I | | P |
| A I |.
即 A 与 B 有相同的特征多项式。
(之一)
相
Ak PBP1 PBP 1 PBP1 PBk P 1 .
似
k
矩 阵
特别地，若
a1 B Λ
a2
, an
a1k 则 Ak P Λk P 1 P
a2k
P 1.
ank
6
§5.2 矩阵的相似对角化
第 五
例
a
证明矩阵
A
1 a
1
不能相似对角化。
章
a
相 证 (反证法) 假设存在可逆矩阵 P ，使得
第 一、相似矩阵的基本概念与性质
五 章
1. 相似矩阵的概念
2. 相似矩阵的性质
相 似 性质 (1) 反身性 A ~ A;
矩 阵
P144
(2) 对称性 若 A ~ B , 则 B ~ A;
(3) 传递性 若 A ~ B , B ~ C , 则 A ~ C .
P144 (4) 若 A ~ B , 则 r( A) r(B) .
( A p1, A p2 ,, A pn ) (a1 p1, a2 p2 ,, an pn ) ,
于是有 A pi ai pi (i 1,2,, n), 又因为 P 可逆，故 pi 0 , 且 p1, p2 ,, pn 线性无关， 因此 p1, p2 ,, pn 是 A 的 n 个线性无关的特征向量 . 即
相 P144 似 定义
P 1 A P B ,
矩 5.2 则称 A 与 B 相似，或者称 A 相似于 B，记为 A~ BHale Waihona Puke Baidu.
阵
称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵。
称对 A 所进行的运算 P 1 AP 为对 A 进行相似变换。
注 矩阵相似是矩阵等价的一种特殊情况。
2
§5.2 矩阵的相似对角化
P 的列向量由 A 的线性无关的特征向量构成。
9
§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
1. 问题分析
2. 矩阵可相似对角化的条件
相 似 定理 n 阶矩阵 A 能够相似于对角矩阵 Λ 的充分必要条件是
矩 阵
P145 定理
A 有 n 个线性无关的特征向量， 即 A 每个特征值所对
11
§5.2 矩阵的相似对角化
第 三、矩阵相似对角化的方法步骤
五 章
步骤
(4) 若 ti si (i 1, 2, , r),
则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P，
相
似
从而有 P 1 AP Λ;
矩
阵
s1个
其中
Λ
s2个
sr 个
12
§5.2 矩阵的相似对角化
第 三、矩阵相似对角化的方法步骤
五 章
几点说明
(1) P 中的列向量(即特征向量) p1, p2 ,, pn 的排列顺序要与
相
似
特征值的顺序一致。
矩
阵 (2) 因 pi 是 ( A I )X 0 的基础解系中的解向量，故 pi 的
相
其重数分别为 s1, s2 , , sr ;
似 矩
(2) 对每一个特征值 i , 求矩阵 A 特征向量，
阵
并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数为 ti ;
(3) 若 ti si , 则 A 不能相似对角化；
(4) 若 ti si (i 1, 2, , r), 则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P， 从而有 P 1 AP Λ;
§5.2 矩阵的相似对角化
第 五
§5.2 矩阵的相似对角化
章
一、相似矩阵的基本概念与性质
相 似
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
矩 阵
三、矩阵相似对角化的方法步骤
四、矩阵相似对角化的应用
1
§5.2 矩阵的相似对角化
第 一、相似矩阵的基本概念与性质
五 章
1. 相似矩阵的概念
定义 对于 n 阶矩阵 A 和 B ，若存在可逆的 n 阶方阵 P 使得
5.6 应的线性无关的特征向量的个数必须恰好等于该特征
值的重数。
P146 推论2
推论 如果 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则矩阵 A 可以 P145 相似对角化。
推论1
10
§5.2 矩阵的相似对角化
第 三、矩阵相似对角化的方法步骤
五 章
步骤
(1) 求 n 阶方阵 A 的特征值 1, 2 , , r ,
L 的主对角线上的元素由 A 的全部特征值构成。
8
§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
1. 问题分析
(2) P 如何构成？
相 似
设 P ( p1, p2 ,, pn ), 则由 P 1 AP Λ 有 AP PΛ, 即
矩 阵
A( p1, p2 ,, pn ) ( p1, p2 ,, pn ) Λ,
似 矩 阵
P
1 A
P
a1
a2
Λ,
A P Λ P 1,
a3
由矩阵 A 与 L 相似，故它们有相同的特征值，即得
a1 a2 a3 a ,
Λ a I , A P(a I )P 1 a I , 矛盾！
故矩阵 A 不能相似对角化。
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§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
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§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
定义
对于 n 阶矩阵 A，若存在可逆的 n 阶方阵 P， 使得
P145
相 定义 似 5.3 矩
记为
Λ.
阵
则称 A 可相似对角化 ；
▲
5
§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
好处
若存在可逆矩阵 P 使 P 1 AP B , 则 A PBP1,
五 章
1. 问题分析
(1) L 如何构成？
相 似
所考虑的问题是寻找可逆的 n 阶方阵 P ，使得
矩 阵
P
1 A P
a1 0
0
0 a2 0
0
0
an
记为
Λ.
由于 a1, a2 ,, an 是 L 的 n 个特征值， 而 A 与 L 相似，
因此 a1, a2 ,, an 就是 A 的 n 个特征值 . 即
5.5 (5) 若 A ~ B , 则 | A| | B|.
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§5.2 矩阵的相似对角化
第 一、相似矩阵的基本概念与性质
五 章
1. 相似矩阵的概念
2. 相似矩阵的性质
相 似
定理
若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征多项式,
矩
从而 A 与 B 有相同的特征值。
P144 定理5.5 (3)
阵
证明 因 A 与 B 相似，即存在可逆的矩阵 P 使得 P 1 AP B ,
故 | B I | | P 1 AP I | | P1 AP P1 I P |
| P1( A I )P || P 1 | | A I | | P |
| A I |.
即 A 与 B 有相同的特征多项式。
(之一)
相
Ak PBP1 PBP 1 PBP1 PBk P 1 .
似
k
矩 阵
特别地，若
a1 B Λ
a2
, an
a1k 则 Ak P Λk P 1 P
a2k
P 1.
ank
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§5.2 矩阵的相似对角化
第 五
例
a
证明矩阵
A
1 a
1
不能相似对角化。
章
a
相 证 (反证法) 假设存在可逆矩阵 P ，使得
第 一、相似矩阵的基本概念与性质
五 章
1. 相似矩阵的概念
2. 相似矩阵的性质
相 似 性质 (1) 反身性 A ~ A;
矩 阵
P144
(2) 对称性 若 A ~ B , 则 B ~ A;
(3) 传递性 若 A ~ B , B ~ C , 则 A ~ C .
P144 (4) 若 A ~ B , 则 r( A) r(B) .
( A p1, A p2 ,, A pn ) (a1 p1, a2 p2 ,, an pn ) ,
于是有 A pi ai pi (i 1,2,, n), 又因为 P 可逆，故 pi 0 , 且 p1, p2 ,, pn 线性无关， 因此 p1, p2 ,, pn 是 A 的 n 个线性无关的特征向量 . 即
相 P144 似 定义
P 1 A P B ,
矩 5.2 则称 A 与 B 相似，或者称 A 相似于 B，记为 A~ BHale Waihona Puke Baidu.
阵
称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵。
称对 A 所进行的运算 P 1 AP 为对 A 进行相似变换。
注 矩阵相似是矩阵等价的一种特殊情况。
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§5.2 矩阵的相似对角化
P 的列向量由 A 的线性无关的特征向量构成。
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§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
1. 问题分析
2. 矩阵可相似对角化的条件
相 似 定理 n 阶矩阵 A 能够相似于对角矩阵 Λ 的充分必要条件是
矩 阵
P145 定理
A 有 n 个线性无关的特征向量， 即 A 每个特征值所对
11
§5.2 矩阵的相似对角化
第 三、矩阵相似对角化的方法步骤
五 章
步骤
(4) 若 ti si (i 1, 2, , r),
则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P，
相
似
从而有 P 1 AP Λ;
矩
阵
s1个
其中
Λ
s2个
sr 个
12
§5.2 矩阵的相似对角化
第 三、矩阵相似对角化的方法步骤
五 章
几点说明
(1) P 中的列向量(即特征向量) p1, p2 ,, pn 的排列顺序要与
相
似
特征值的顺序一致。
矩
阵 (2) 因 pi 是 ( A I )X 0 的基础解系中的解向量，故 pi 的
相
其重数分别为 s1, s2 , , sr ;
似 矩
(2) 对每一个特征值 i , 求矩阵 A 特征向量，
阵
并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数为 ti ;
(3) 若 ti si , 则 A 不能相似对角化；
(4) 若 ti si (i 1, 2, , r), 则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P， 从而有 P 1 AP Λ;
§5.2 矩阵的相似对角化
第 五
§5.2 矩阵的相似对角化
章
一、相似矩阵的基本概念与性质
相 似
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
矩 阵
三、矩阵相似对角化的方法步骤
四、矩阵相似对角化的应用
1
§5.2 矩阵的相似对角化
第 一、相似矩阵的基本概念与性质
五 章
1. 相似矩阵的概念
定义 对于 n 阶矩阵 A 和 B ，若存在可逆的 n 阶方阵 P 使得
5.6 应的线性无关的特征向量的个数必须恰好等于该特征
值的重数。
P146 推论2
推论 如果 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则矩阵 A 可以 P145 相似对角化。
推论1
10
§5.2 矩阵的相似对角化
第 三、矩阵相似对角化的方法步骤
五 章
步骤
(1) 求 n 阶方阵 A 的特征值 1, 2 , , r ,
L 的主对角线上的元素由 A 的全部特征值构成。
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§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
1. 问题分析
(2) P 如何构成？
相 似
设 P ( p1, p2 ,, pn ), 则由 P 1 AP Λ 有 AP PΛ, 即
矩 阵
A( p1, p2 ,, pn ) ( p1, p2 ,, pn ) Λ,
似 矩 阵
P
1 A
P
a1
a2
Λ,
A P Λ P 1,
a3
由矩阵 A 与 L 相似，故它们有相同的特征值，即得
a1 a2 a3 a ,
Λ a I , A P(a I )P 1 a I , 矛盾！
故矩阵 A 不能相似对角化。
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§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
4
§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
定义
对于 n 阶矩阵 A，若存在可逆的 n 阶方阵 P， 使得
P145
相 定义 似 5.3 矩
记为
Λ.
阵
则称 A 可相似对角化 ；
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§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
好处
若存在可逆矩阵 P 使 P 1 AP B , 则 A PBP1,
五 章
1. 问题分析
(1) L 如何构成？
相 似
所考虑的问题是寻找可逆的 n 阶方阵 P ，使得
矩 阵
P
1 A P
a1 0
0
0 a2 0
0
0
an
记为
Λ.
由于 a1, a2 ,, an 是 L 的 n 个特征值， 而 A 与 L 相似，
因此 a1, a2 ,, an 就是 A 的 n 个特征值 . 即