沪科版数学九年级(上册)相似三角形的判定

ΔABC∽ΔBDC，
A
a
a BD
BDa b2a2 b
B
D
图（2）
答：当
a2 BD
或 BDa b2a2 有两个三角形相似
b
b
2.如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高，E是 BC上的一点，AE交CD于点F，AE•AD＝AF•AC，
求证：(1) AE是∠CAB的平分线；
(2) AB•AF＝AC•AE。
A D C
例题2：
已知：如图，CE交△ABC的高线AD于点O，交AB于E
且 CO BD ABOD
求证：CE AB
A E
O
B
D
C
例3：如图，已知∠ABC=∠CDB=90°，AC=b，
BC=a， 当BD与a，b之间满足怎样的关系时，
ΔABC∽ΔCDB?
解: AB CD 9B ,0A
b
C
当AC BC时， ΔABC∽ΔCDB BC BD
（3）记平移后抛物线的对称轴与 直线 AB′ 的交点为 C，试在 x 轴上
找一个点 D，使得以点 B′、C、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．
3.关于探索性题目的处理，要考虑各种可能的 情况。
作业：教材P84 练习 1，2，3.
教材P85 习题22.2 10，11.
课第 2后题：思考：
如图 1，已知点 A (-2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线 y mx2 2mx n 上．
（1）求 m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点 A 的对应点为 A′，点 B 的 对应点为 B′，若四边形 A A′B′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；
定理证明：
已知:如图RtΔABC与RtΔA′B′C′中， ∠C=∠C’=90°， AB AC
A'B' A'C'
求证: RtΔABC ∽ RtΔA'B'C'
A
A'
C
B C'
B'
已知:如图证∠RCt明=Δ∠一ACB’C与=9R0t°ΔA/B/C/，AA'BB'
AC A'C'
求证: RtΔABC ∽ RtΔA'B'C'
即
b a
a BD
时，ΔABC∽ΔCDB
a2 BD
b
a
B
D
答: 当 B D a 2 时，ΔABC∽ΔCDB
b
小试牛刀
1.在ΔABC与 ΔBCD中，已知∠ABC=∠CDB=90°， AC=a，BC=b， 当BD与a，b之间满足怎样的关 系时，有两个三角形相似？
分析：
A
如图（1）：当AC与CB，BC与DB对应
B C'
B'
例题1：
△ABC为锐角三角形，BD、CE为高 . E
求证：△ ADE∽ △ ABC
证明：
1
∵BD⊥AC，CE⊥AB
B
∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A= 90° ∴ ∠ABD= ∠ACE
又∵ ∠A= ∠A
∴△ ABD ∽ △ ACE
∴ AD AB
AE AC
∵ ∠A= ∠A ∴ △ ADE ∽ △ ABC
分析：要证明AE是∠CAB的平分线，
只要证明RtΔACE∽RtΔADF
即可
A
要证明 AB•AF＝AC•AE，
只要证明 ΔACF∽ΔABE
C
Байду номын сангаас
E
F
D
B
课堂小结：
1.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个 直角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个 直角三角形相似。 2.直角三角形相似的判定除了本节定理外，前面判定 任意三角形相似的方法对直角三角形同样适用。
2. 有一锐角相等的两直角三角形相
似。
（）
3. 一直角三角形的三边分别为3，4，5， 另一直角三角形的两边分别为6，8， 则这两个直角三角形相似。 （ × ）
小试牛刀
已知：RtΔABC和RtΔA'B'C'中，∠C＝∠C'＝ 90°．依据下列各组条件判定这两个三角形是 不是相似，并说明为什么：
(1) ∠A＝25°，∠B'＝65°； (2) AC=3，BC＝4，A'C'＝6，B'C'＝8； (3) AB＝10，AC＝8，A'B'＝15，B'C'＝9．
直角三角形相似的判定（HL)
A′ A
B
C B′
C′
问题1复我习们学过的三角形相似的判定定理有
哪些？
判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，
两三角形相似。 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
判定：判断题
1. 两条直角边对应成比例的两直角三
角形相似。
（）
RtΔABC∽RtΔCDB，由上例知
b2 BD
a
还有别的可能吗？
a
C
b
B
D
图（1）
提示：对条件探索性问题，在解题时应分类对每一种情
况进行讨论，切不可凭主观想象，只解一种情况，而忽
略其他的解。
如图（2）： A B C C D 90 B
当BAC CBAD B时，ΔABC∽ΔBDC，
bC
b
b2 a2
A
证明:
AB AC AB AC
BC AC
和
BC AC
都是正数
AB AB
AC AC
BCBC
AC AC
C
B
A'
AB2 AB2 AC2 AC2
即:
BC AC BC AC
C'
B'
A2 A B A 2C 2C A B A 2 C A 2 C 2 又 C C 90
由勾股定理得 B AC C22 B AC C22 ΔABC∽ΔA'B'C‘
定理：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三形相似。
简单地说： 斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。
符号表示：
A
在RtΔABC 和 RtΔA′B′C′中
∵ AB AC
A'
A'B' A'C'
∴ RtΔABC ∽ RtΔA'B'C' C