人教版数学高二选修2-1课后训练 1-4-1、2 全称量词 存在量词

04课后课时精练

一、选择题

1．给出下列命题：①存在实数x0>1，使x20>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使关于x的方程ax2－ax＋1＝0的根为负数．

其中特称命题的个数是()

A．1B．2

C．3 D．4

解析：只有②是全称命题．

答案：C

2．“存在集合A，使∅A”，对这个命题，下面说法中正确的是()

A．全称命题、真命题B．全称命题、假命题

C．特称命题、真命题D．特称命题、假命题

解析：当A≠∅时，∅A，是特称命题，且为真命题．

答案：C

3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是()

A．每个二次函数的图象都开口向上

B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b

C．存在一条直线与两个相交平面都垂直

D．存在一个实数x0使不等式x20－3x0＋6<0成立

解析：C、D是特称命题，A是假命题．

答案：B

4．特称命题“存在实数x0使x20＋1<0”可写成()

A．若x∈R，则x2＋1<0

B．∀x∈R，x2＋1<0

C．∃x0∈R，x20＋1<0

D．以上都不正确

解析：特称命题“存在一个x0∈R，使p(x0)成立”简记为“∃x0∈R，使p(x0)成立”．

答案：C

5．下列命题中假命题的个数为()

①∀x∈R,2x－1>0 ②∀x∈N*，(x－1)2>0

③∃x0∈R，lg x0>1 ④∃x0∈R，tan x0＝2

⑤∃x0∈R，sin2x0＋sin x0＋1＝0

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：本题考查全称命题和特称命题的真假判断．

①中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；

②中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；

③中命题是特称命题，当x＝100时，lg x＝2，故是真命题；

④中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题．

⑤(sin x0＋1

2＋34≥34>0成立，可知为假命题．

2)

答案：B

6．若对于∀x∈R，x2≥a＋2|x|恒成立，则实数a的取值范围是()

A．a<－1 B．a≤－1

C ．a >－1

D ．a ≥－1

解析：对于∀x ∈R ，x 2≥a ＋2|x |恒成立，

即a ≤x 2－2|x |恒成立．

令f (x )＝x 2－2|x |，x ∈R ，

则f (－x )＝f (x )．

当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，故a ≤－1.

答案：B

二、填空题

7．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为__________________________．

答案：∀x ≤0，x 3≤0

8．若∃x ∈R ，使x ＋1x ＝m 成立，则实数m 的取值范围是________．

解析：依题意，关于x 的方程x ＋1x ＝m 有实数解，

由基本不等式得x ＋1x ≥2或x ＋1x ≤－2，∴m ≥2或m ≤－2.

答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)

9．下列命题中，是全称命题或特称命题的是________．

①正方形的四条边相等；②所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数；⑤所有正数都是实数吗？

解析：④为特称命题，①②③为全称命题，而⑤不是命题．

答案：①②③④

三、解答题

10．判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．

(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；

(2)存在一条直线，其斜率不存在；

(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；

(4)存在实数x0，使得1

x20－x0＋1

＝2.

解：(1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1”，是真命题．

(2)是特称命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”，是真命题；

(3)是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．

(4)是特称命题，用符号表示为“∃x0∈R，

1

x20－x0＋1

＝2”，是

假命题．

11. 已知命题：“∀x∈[－1,1]，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．

(1)求实数m的取值集合B；

(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解：(1)命题：“∀x∈[－1,1]，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1恒成立，

∴m >(x 2－x )max ，得m >2，

即B ＝{m |m >2}．

(2)不等式(x －3a )(x －a －2)<0，

①当3a >2＋a ，即a >1时，解集A ＝{x |2＋a

②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立．

③当3a <2＋a ，即a <1时，解集A ＝{x |3a

∴3a ≥2，此时a ∈[23，1)．

综上①②③可得a ∈[23，＋∞)．

12．(1)若全称命题“任意x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥0恒成立”为真命题，求a 的取值范围；

(2)若特称命题“存在x 0∈R ，使log 2(ax 20＋x 0＋2)<0”为真命题，

求a 的取值范围．

解：(1)当x ∈[－1，＋∞)时，x 2－2ax ＋2≥0恒成立，等价于二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象在x 轴的上方，只需满足Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，a ≤－1，

f (－1)≥0，即4a 2

－8<0或⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2－8≥0，a ≤－1，2a ＋3≥0，所以－2