数学物理方法分离变量法1
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n 1
cos
nat
l
Bn
sin
nat ) sin
l
nx
l
11
此时要满足初始条件，则
(
(x)
x)
n1
An sin
n1
na
l
Bn
nx
l
sin nx
l
故An和Bn
na
l
分别为
(
x)和
(x)的傅里叶正弦级数展开
式系数。
BnAnn22l a
l
( x) sin
nx
dx
0
l
l
( x) sin
nx
dx
n=1时 1
a
l
, 基频
基波（决定了音调）
n>1 时 n
na
l
谐频 谐波（决定了音色）
1 0.5
-0.5
2.5
5
7.5
10 12.5
15
-1
波腹 波节
15
6、 分离变量法概要：
（1）将偏微分方程化简为常微分方程（U=XT) （2）确定固有值和固有函数（利用边界条件） （3）确定形式解（级数形式解） （4）确定级数解中的待定常数（利用初始条件）
得出两个常微分方程：
X '' X 0
代入边界条件： u |x0 0,
u |xl 0,
X (0)T(t) 0 X (l)T(t) 0
X |x0 0
X |xl 0
6
2、求解本征值问题
高数中结论：
X " X 0
X
|x0
X
|xl
0
若有二阶常系数线性齐次方程
y" py'qy 0 其中p、q为常数，则特征方程为 r 2 pr q 0
第二章 分离变量法
本章中心内容
用分离变量法求解各种有界问题
1
本章基本要求
掌握有界弦的自由振动解及其物理意义 着重掌握分离变量法的解题思路、 解题步骤及其核心问题---本征值问题
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分离变量法核心： 偏微分方程→常微分方程
本章考虑问题（1）混合问题（2）边值问题 本章层次：
齐次方程+齐次边界条件 非齐次方程+齐次边界条件
un ( x, t) ( An cos
l
Bn sin
l
) sin l
n 1,2,3L
10
4、通过初始条件，求出通解
代入初始条件，有
(
(x) An sin na
x) l Bn
nx
l
sin nx
l
一般情况下满足不了，怎么办？！
利用叠加原理！！！
u(x,t) un (x,t)
n1
( An
有值（特征值），sin函数称为固有函数（特征函数）。 9
3、解出时间函数，得到一族解
解方程 T"a2T 0
n2
l2
2
n=1,2,3……
T "(t) ( n a )2T 0
l
时间函数解 T(t) Acos n a t B sin n a t
l
l
A、B 是积分常数
固得到下面一族解：
n at
n at n x
泛定方程： utt a2uxx 0
(0 x l,t 0)
边界条件： u( x, t ) x0 0 u( x, t ) xl 0（第一类齐次边界条件）
初始条件： u t0 ( x) ut t0 ( x)
这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性奇次的，
边界条件也是奇次的。
解： 由前面思路，设
16
例：求解
utt a2uxx 0
u( x, t ) x0 0
u t0 x2 2lx
(0 x l,t 0)
u x
xl 0
u t t0 0
（第二类齐次边界条件）
解： 设 u(x, t) X(x)T(t)
XT '' a2 X ''T 0
T ''(t) X ''( x)
a2T(t) X ( x)
l
l
Nn
sin
nx
l
cos(nt
n
)
其中Nn
A
2 n
Bn2
,n
na
l
,n
arctan
Bn An
un(x, t) 是驻波，（固有振动模式）
节点数 n+1, 位置 x 0, l , 2l , (n 1)l , l
nn
n
相邻节点之间距离等于半波长
波长= 2l
n
14
本征频率 n
na , v
l
n 2
na 2l
(1)当r1、r2为相异的实根时，方程 有通解y(x) c1er1x c 2 er2x
(2)当r1 r2 r为相同的实根时，通解 y(x) (c1 c 2 x)erx
(3)当r1、2 i时，y(x) ex (c1 cos x c 2 sin x)
7
本方程特征方程r2+λ=0，由上面结论知，方程的解与λ 的不同取值有关，分情况讨论：
0
l
12
则定解问题的最终解为
u( x, t )
n1
( An
cos
nat
l
Bn
sin
nat )sin
l
nx
l
An
2 l
l
(x) sin
nx
dx
0
l
Bn
2
na
l
( x) sin
nx
dx
0
l
13
5、物理意义：
nat
nat nx
un (x,t) ( An cos l
Bn sin
) sin
8
(3) 0
X(x) C1 cos x C2 sin x
X(0) 0
X(l) 0
C1 0 C2 sin l 0
非零解 C2 0
sin l 0
n2 2
l2
n 1,2,3L
则X（x）的一族非零解为
n x
X ( x) C2 sin l
C2是积分常数
上解称为满足边界条件的固有解（特征解），λ称为固
非齐次方程+非齐次边界条件
3
2.1 齐次方程问题 分离变量法思路起源
物理上由乐器发出的声音可以分解为各种不同频率的 单音，每种单音振动时形成正弦曲线，可以表示成
w(x,t) c(t) sin x
特点：含两个变量的函数可以表示为两个分别只含一 个变量的函数之积。
4
定解问题 研究两端固定的弦的自由振动
(1) 0
X ( x) C1e x C2e x
X(0) 0
C1 C2 0
X(l) 0
C1e l C2e l 0
C1 C2 0
此时X（x）=0，只有零解，不合题意；
(2) 0
X( x) C1x C2 C2 0
C1l C2 0
C1 C2 0
同样只有零解，不合题意；
T '' a2T 0
X
''
X
0
17
此时边界条件为： X (0) X (l) 0
相应的特征值 X (x) X (x) 0
问题为：
X (0)
X (l) 0
(1) 0
X ( x) C1e x C2e x X (0) C1 C2 0
u(x, t) X(x)T(t)
这是解的分离变量
5
1、分离变量 u(x,t) X(x)T(t)
utt a2uxx 0
代入方程中， XT '' a2 X ''T 0
（求非零解）
分离过程： T ''(t) X ''( x)
a2T(t) X ( x)
x, t 是相互独立的变量
T '' a2T 0
cos
nat
l
Bn
sin
nat ) sin
l
nx
l
11
此时要满足初始条件，则
(
(x)
x)
n1
An sin
n1
na
l
Bn
nx
l
sin nx
l
故An和Bn
na
l
分别为
(
x)和
(x)的傅里叶正弦级数展开
式系数。
BnAnn22l a
l
( x) sin
nx
dx
0
l
l
( x) sin
nx
dx
n=1时 1
a
l
, 基频
基波（决定了音调）
n>1 时 n
na
l
谐频 谐波（决定了音色）
1 0.5
-0.5
2.5
5
7.5
10 12.5
15
-1
波腹 波节
15
6、 分离变量法概要：
（1）将偏微分方程化简为常微分方程（U=XT) （2）确定固有值和固有函数（利用边界条件） （3）确定形式解（级数形式解） （4）确定级数解中的待定常数（利用初始条件）
得出两个常微分方程：
X '' X 0
代入边界条件： u |x0 0,
u |xl 0,
X (0)T(t) 0 X (l)T(t) 0
X |x0 0
X |xl 0
6
2、求解本征值问题
高数中结论：
X " X 0
X
|x0
X
|xl
0
若有二阶常系数线性齐次方程
y" py'qy 0 其中p、q为常数，则特征方程为 r 2 pr q 0
第二章 分离变量法
本章中心内容
用分离变量法求解各种有界问题
1
本章基本要求
掌握有界弦的自由振动解及其物理意义 着重掌握分离变量法的解题思路、 解题步骤及其核心问题---本征值问题
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分离变量法核心： 偏微分方程→常微分方程
本章考虑问题（1）混合问题（2）边值问题 本章层次：
齐次方程+齐次边界条件 非齐次方程+齐次边界条件
un ( x, t) ( An cos
l
Bn sin
l
) sin l
n 1,2,3L
10
4、通过初始条件，求出通解
代入初始条件，有
(
(x) An sin na
x) l Bn
nx
l
sin nx
l
一般情况下满足不了，怎么办？！
利用叠加原理！！！
u(x,t) un (x,t)
n1
( An
有值（特征值），sin函数称为固有函数（特征函数）。 9
3、解出时间函数，得到一族解
解方程 T"a2T 0
n2
l2
2
n=1,2,3……
T "(t) ( n a )2T 0
l
时间函数解 T(t) Acos n a t B sin n a t
l
l
A、B 是积分常数
固得到下面一族解：
n at
n at n x
泛定方程： utt a2uxx 0
(0 x l,t 0)
边界条件： u( x, t ) x0 0 u( x, t ) xl 0（第一类齐次边界条件）
初始条件： u t0 ( x) ut t0 ( x)
这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性奇次的，
边界条件也是奇次的。
解： 由前面思路，设
16
例：求解
utt a2uxx 0
u( x, t ) x0 0
u t0 x2 2lx
(0 x l,t 0)
u x
xl 0
u t t0 0
（第二类齐次边界条件）
解： 设 u(x, t) X(x)T(t)
XT '' a2 X ''T 0
T ''(t) X ''( x)
a2T(t) X ( x)
l
l
Nn
sin
nx
l
cos(nt
n
)
其中Nn
A
2 n
Bn2
,n
na
l
,n
arctan
Bn An
un(x, t) 是驻波，（固有振动模式）
节点数 n+1, 位置 x 0, l , 2l , (n 1)l , l
nn
n
相邻节点之间距离等于半波长
波长= 2l
n
14
本征频率 n
na , v
l
n 2
na 2l
(1)当r1、r2为相异的实根时，方程 有通解y(x) c1er1x c 2 er2x
(2)当r1 r2 r为相同的实根时，通解 y(x) (c1 c 2 x)erx
(3)当r1、2 i时，y(x) ex (c1 cos x c 2 sin x)
7
本方程特征方程r2+λ=0，由上面结论知，方程的解与λ 的不同取值有关，分情况讨论：
0
l
12
则定解问题的最终解为
u( x, t )
n1
( An
cos
nat
l
Bn
sin
nat )sin
l
nx
l
An
2 l
l
(x) sin
nx
dx
0
l
Bn
2
na
l
( x) sin
nx
dx
0
l
13
5、物理意义：
nat
nat nx
un (x,t) ( An cos l
Bn sin
) sin
8
(3) 0
X(x) C1 cos x C2 sin x
X(0) 0
X(l) 0
C1 0 C2 sin l 0
非零解 C2 0
sin l 0
n2 2
l2
n 1,2,3L
则X（x）的一族非零解为
n x
X ( x) C2 sin l
C2是积分常数
上解称为满足边界条件的固有解（特征解），λ称为固
非齐次方程+非齐次边界条件
3
2.1 齐次方程问题 分离变量法思路起源
物理上由乐器发出的声音可以分解为各种不同频率的 单音，每种单音振动时形成正弦曲线，可以表示成
w(x,t) c(t) sin x
特点：含两个变量的函数可以表示为两个分别只含一 个变量的函数之积。
4
定解问题 研究两端固定的弦的自由振动
(1) 0
X ( x) C1e x C2e x
X(0) 0
C1 C2 0
X(l) 0
C1e l C2e l 0
C1 C2 0
此时X（x）=0，只有零解，不合题意；
(2) 0
X( x) C1x C2 C2 0
C1l C2 0
C1 C2 0
同样只有零解，不合题意；
T '' a2T 0
X
''
X
0
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此时边界条件为： X (0) X (l) 0
相应的特征值 X (x) X (x) 0
问题为：
X (0)
X (l) 0
(1) 0
X ( x) C1e x C2e x X (0) C1 C2 0
u(x, t) X(x)T(t)
这是解的分离变量
5
1、分离变量 u(x,t) X(x)T(t)
utt a2uxx 0
代入方程中， XT '' a2 X ''T 0
（求非零解）
分离过程： T ''(t) X ''( x)
a2T(t) X ( x)
x, t 是相互独立的变量
T '' a2T 0