高中数学必修二期末测试题
人教A版高中数学必修二第9章章末检测(含答案)
第九章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)1．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层随机抽样的方法抽取样本．某中学共有学生2 000名，从中抽取了一个样本量为200的样本，其中男生103名，则该中学共有女生为( )A ．1 030名B ．97名C ．950名D ．970名【答案】D 【解析】由题意，知该中学共有女生2 000×200－103200＝970(名)．故选D ．2．(2020年北京期末)艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是( )A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】A 【解析】根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，与7个原始评分相比，不变的中位数．故选A ．3．(2020年河北月考)已知某校高一、高二年级学生人数均为600人，参加社团的高一和高二的人数比为2∶3，现从参加社团的同学中按分层抽样的方式抽取45人，则抽取的高二学生人数为( )A ．9B ．18C ．27D ．36【答案】C 【解析】由分层抽样的性质可得，抽取的高二学生人数为45×32＋3＝27.故选C ．4．(2020年永州月考)在样本频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的13，且中间一组的频数为10，则这个样本量是( )A ．20B ．30C ．40D ．50【答案】C 【解析】所有长方形的面积和为1，因为中间小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的13，所以中间的面积为14，又中间一组的频数为10，所以样本容量为10÷14＝40.故选C ．5．(2019年惠州期末)某地区连续六天的最低气温(单位：℃)为：9,8,7,6,5,7，则该六天最低气温的平均数和方差分别为( )A ．7和53B ．8和83C ．7和1D ．8和23【答案】A 【解析】由题意，六天最低气温的平均数x ＝16×(9＋8＋7＋6＋5＋7)＝7，方差s 2＝16×[(9－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2]＝53.故选A ．6．假设从高一年级全体同学(500人)中随机抽出60人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将500名同学按000,001，…，499进行编号，如果从随机数表第8行第11列的数开始，按三位数连续向右读取，最先抽出的4名同学的号码是(下面摘取了此随机数表第7行和第8行)( )84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 63016 37859 16955 56719 98105 07175 12867 35807 A ．455 068 047 447 B ．169 105 071 286 C ．050 358 074 439 D ．447 176 335 025【答案】B 【解析】由随机数表法的随机抽样的过程可知最先抽出的4名同学的号码为169,105,071,286.7．(2020年阜阳期末)某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为( )图1图2A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A 【解析】由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为250＋450＋100＝800(万元)，其中水费支出250(万元)，∴去年的水费开支占总开支的百分比为250800×20%＝6.25%.故选A ．8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3【答案】D 【解析】A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在C 中也有可能；B 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果方差太大，也有可能存在大于7的数；D 中，因为平均数为2，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不可能为3.故选D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列叙述正确的是( )A ．极差与方差都反映了数据的集中程度B ．方差是没有单位的统计量C ．标准差比较小时，数据比较分散D ．只有两个数据时，极差是标准差的2倍【答案】AD 【解析】由极差与方差的定义可知A 正确；方差是有单位的，其单位是原始数据单位的平方，B 错误；标准差较小时，数据比较集中，C 错误；只有两个数据x 1，x 2时，极差等于|x 2－x 1|，平均数为x 1＋x 22，所以方差s 2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 1＋x 222＝14(x 1－x 2)2，则标准差s 2＝12|x 2－x 1|，D 正确．故选AD ．10．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个样本量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的学生有60人，则下列说法正确的是( )A ．样本中支出在[50,60)元的频率为0.03B ．样本中支出不少于40元的人数有132C ．n 的值为200D ．若该校有2 000名学生，则一定有600人支出在[50,60)元【答案】BC 【解析】A 中，样本中支出在[50,60)元的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A 错误；B 中，样本中支出不少于40元的人数有0.0360.03×60＋60＝132，故B 正确；C 中，n ＝600.3＝200，故C 正确；D 中，若该校有2 000名学生，则可能有600人支出在[50,60)元，故D 错误．故选BC ．11．某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如下柱状图：则下列结论正确的是()A．与2016年相比，2019年一本达线人数有所增加B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍C．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加【答案】AD【解析】依题意，设2016年高考考生人数为x，则2019年高考考生人数为1.5x，由24%·1.5x－28%·x＝8%·x＞0，故选项A正确；由(40%·1.5x－32%·x)÷32%·x ＝0.875，故选项B不正确；由8%·1.5x－8%·x＝4%·x＞0，故选项C不正确；由28%·1.5x －32%·x＝10%·x＞0，故选项D正确．故选AD．12．给出三幅统计图如图所示：A．从折线统计图能看出世界人口的变化情况B．2050年非洲人口将达到大约15亿C ．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D ．从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢【答案】AC 【解析】从折线统计图能看出世界人口的变化情况，故A 正确；从条形统计图中可知2050年非洲人口大约将大于15亿，故B 错误；从扇形统计图中可知2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C 正确；由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D 错误．故选AC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个样本量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．【答案】12 【解析】抽取的男运动员的人数为2148＋36×48＝12. 14．将样本量为100的某个样本数据拆分为10组，若前七组的频率之和为0.79，而剩下的三组的频率依次相差0.05，则剩下的三组中频率最高的一组的频率为________．【答案】0.12 【解析】设剩下的三组中频率最高的一组的频率为x ，则另两组的频率分别为x －0.05，x －0.1.因为频率总和为1，所以0.79＋(x －0.05)＋(x －0.1)＋x ＝1，解得x ＝0.12.15．12,13,25,26,28,31,32,40的25%分位数为________．【答案】19 【解析】因为8×25%＝2,8×80%＝6.4，所以25%分位数为x 2＋x 32＝13＋252＝19.16．下图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校共有学生3 000人，由统计图可得该校共捐款为________元．【答案】37 770 【解析】由扇形统计图可知，该中学高一、高二、高三分别有学生960人、990人、1 050人．由条形统计图知，该中学高一、高二、高三人均捐款分别为15元、13元、10元，所以共捐款15×960＋13×990＋10×1 050＝37 770(元)．四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．为调查某班学生的平均身高，从50名学生中抽取110，应如何抽样？若知道男生、女生的身高显著不同(男生30人，女生20人)，应如何抽样？解：从50名学生中抽取110，即抽取5人，采用简单随机抽样法(抽签法或随机数法)．若知道男生、女生的身高显著不同，则采用分层抽样法，按照男生与女生的人数比为30∶20＝3∶2进行抽样，则男生抽取3人，女生抽取2人．18．(2020年辽宁学业考试)某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)．已知上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．(1)求直方图中x的值；(2)如果上学所需时间在[60,100]的学生可申请在学校住宿，请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿．解：(1)由直方图可得到20x＋0.025×20＋0.006 5×20＋0.003×2×20＝1，解得x＝0.012 5.(2)由直方图可知，新生上学所需时间在[60,100]的频率为0.003×2×20＝0.12，所以800×0.12＝96(名)．所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿．19．某汽车制造厂分别从A，B两种轮胎中各随机抽取了8个进行测试，列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位：1 000 km)：轮胎A96112971081001038698轮胎B10810194105969397106(1)分别计算(2)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的极差、方差；(3)根据以上数据，你认为哪种型号轮胎的性能更加稳定？解：(1)A 轮胎行驶的最远里程的平均数为18×(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98)＝100，中位数为12×(100＋98)＝99.B 轮胎行驶的最远里程的平均数为18×(108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106)＝100，中位数为12×(101＋97)＝99.(2)A 轮胎行驶的最远里程的极差为112－86＝26，方差为18×[(－4)2＋122＋(－3)2＋82＋02＋32＋(－14)2＋(－2)2]＝55.25，B 轮胎行驶的最远里程的极差为108－93＝15，方差为18×[82＋12＋(－6)2＋52＋(－4)2＋(－7)2＋(－3)2＋62]＝29.5，(3)根据以上数据，A 轮胎和B 轮胎的最远行驶里程的平均数相同，但B 轮胎行驶的最远里程的极差和方差相对于A 轮胎较小，所以B 轮胎性能更加稳定．20．某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96,106](单位：厘米)，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．(1)求出x 的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出总样本量N 的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据及(2)中的条件，求出样本中身高位于[98,104)的人数．解：(1)由题意(0.050＋0.100＋0.150＋0.125＋x )×2＝1，解得x ＝0.075. (2)设样本中身高小于100厘米的频率为p 1，则p 1＝(0.050＋0.100)×2＝0.300. 而p 1＝36N ，∴N ＝36p 1＝360.300＝120.(3)样本中身高位于[98,104)的频率p 2＝(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，∴身高位于[98,104)的人数n ＝p 2N ＝0.750×120＝90.21．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)进行统计．请你根据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：组号 分组 频数 频率 1 [50,60) 4 0.08 2 [60,70) 8 0.16 3 [70,80) 10 0.20 4 [80,90) 16 0.32 5 [90,100] 合计—(1)填充频率分布表中的空格；(2)如图，不具体计算频率组距，补全频率分布直方图；(3)估计这900名学生竞赛的平均成绩(结果保留整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．解：(1)40.08＝50，即样本量为50.第5组的频数为50－4－8－10－16＝12，从而第5组的频率为1250＝0.24.又各小组频率之和为1，所以频率分布表中的四个空格应分别填12,0.24,50,1.(2)设第一个小长方形的高为h 1，第二个小长方形的高为h 2，第五个小长方形的高为h 5，则h 1h 2＝48＝12，h 1h 5＝412＝13. 补全的频率分布直方图如图所示．(3)50名学生竞赛的平均成绩为x ＝4×55＋8×65＋10×75＋16×85＋12×9550＝79.8≈80(分)．所以估计这900名学生竞赛的平均成绩约为80分．22．共享单车入驻泉州一周年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放5 000份调查问卷，回收到有效问卷3 125份，现从中随机抽取80份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格：表(一)使用者年龄段25岁以下26岁～35岁36岁～45岁45岁以上人数2040 1010表(二)使用频率 0～6次/月7～14次/月15～22次/月23～31次/月人数510 205表(三)满意度 非常满意(9～10)满意(8～9)一般(7～8)不满意(6～7)人数1510105(1)依据上述表格完成下列三个统计图形：(2)某城区现有常住人口30万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14次的人数．解：(1)(2)由表(一)可知年龄在26岁～35岁之间的有40人，占总抽取人数的12，所以30万人口中年龄在26岁～35岁之间的约有30×12＝15(万人)．由表(二)可知，年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的有10人，占总抽取人数的14，所以年龄在26岁～35岁之间的15万人中，每月使用共享单车在7～14次之间的约有15×14＝154(万人)．。
高中数学选择性必修 第二册期末试卷及答案_湘教版_2024-2025学年
期末试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x + 1的图像中，存在一个点P，使得过点P的切线斜率为0。
则点P的横坐标是：A. 0B. 1C. 2D. 3，则该函数的图像关于点（）2、已知函数f(x)=2x1−xA、(1,0)B、(0,1)C、(0,0)D、(1,1)3、在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y=x的对称点为B，则点B的坐标是（）A.（3，2）B.（2，3）C.（-3，-2）D.（-2，-3）4、设集合(A={x|x2−5x+6=0})，集合(B={2,3,4})，则(A∩B=)（）A、({2,3,4})B、({2,3})C、({3,4})D、({2,4})5、在平面直角坐标系中，点(A(1,3))关于直线(y=x)对称的点(B)的坐标是：A.((3,1))B.((1,−3))C.((−3,1))D.((−1,−3))6、若函数(f(x)=√x−1+√4−x)的定义域为(D)，则(D)的取值范围是：A.(1≤x≤4)B.(1<x<4)C.(x=3)D. 无解7、设函数(f(x)=ln(x−1)+√4−x2)，则(f(x))的定义域为（）。
A.(1<x≤2)B.(1<x≤2)或(x≥−2)C.(x>1)且(−2≤x≤2)D.(x>1)8、已知函数(f(x)=x3−3x2+4)，下列说法正确的是（）A. 函数在((−∞,1))上单调递增，在((1,+∞))上单调递减B. 函数的极小值点为(x=1)，极大值点为(x=2)C. 函数的导函数(f′(x)=3x2−6x)有两个零点(x=0)和(x=2)D. 函数(f(x))在(x=0)处取得最小值二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）))，则下列选项正确的是（）。
1、设函数(f(x)=sin(2x+π3A.(f(x))的最小正周期为(π)])上单调递增B.(f(x))在([0,π3)对称C. 函数(f(x))的图象关于直线(x=π6,0))中心对称D. 函数(f(x))的图象关于点((π3+(x+3)2)，下列选项中正确的有：2、已知函数(f(x)=1x−2A. 函数的定义域为(x≠2)B. 函数在(x=2)处有垂直渐近线C. 函数的图像是一个开口向上的抛物线D. 函数在(x=0)处取得最小值3、下列函数中，哪些函数的图像是关于y轴对称的？A.(f(x)=x2+2x+1)B.(g(x)=x2−4x+4)C.(ℎ(x)=|x|+1))D.(j(x)=1xE.(k(x)=√x)三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）1、设(f(x)=x3+ax2+bx−4)，其中(a,b)是实数。
高中数学选择性必修二 高二上学期数学期末测试卷(A卷 夯实基础)同步单元AB卷(含答案)
班级 姓名 学号 分数高二上学期数学期末测试卷（A 卷·夯实基础）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．过两点()()5,,3,1A y B -的直线的倾斜角是135°，则y 等于（ ） A ．2 B ．2- C ．3 D ．3-【答案】D 【详解】因为斜率tan1351k ︒==-，所以1153y k +==--，得3y =-. 故选：D.2．40y --=，经直线10x y +-=反射，则反射光线所在直线的方程是（ ） A50y ++= B．40x += C．50x += D．0x +=【答案】C 【详解】40y --=，令0x =，解得4y =-， 设()0,4A -，关于直线10x y +-=的对称点为(),B m n ， 则4141022n mm n +⎧=⎪⎪⎨-⎪+-=⎪⎩，解得51m n =⎧⎨=⎩，即()5,1B ，40y --=，令x =1y =-，设)1C-，关于直线10x y +-=的对称点为(),D a b ，则11102b =--=，解得21a b =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,1D ，BD k ==直线BD：)15y x -=-，即50x =。
故选：C3．已知异面直线,a b 的方向向量分别是()()2,1,3,1,3,2m n --==，则,a b 夹角的大小是（ ） A ．56πB ．34π C ．3π D ．6π【答案】C 【详解】异面直线,a b 的方向向量分别是()()2,1,3,1,3,2m n --==∴21132371cos ,1424m n m n m n⨯+⨯-+⨯-⋅-====-， 异面直线,a b 所成角为范围为02πθ<≤，,a b ∴夹角的大小是3π故选：C4．设数列{}n a 的前n 项和S n =n 2，则a 8的值为（ ） A ．15 B ．16C ．49D ．64【答案】A 【详解】878644915a S S =-=-= 故选：A5．已知在等比数列{}n a 中，3544a a a =，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且74b a =，则13S =（ ） A ．26 B ．52 C ．78 D ．104【答案】B 【详解】因为在等比数列{}n a 中，3544a a a =，可得2444a a =，40a ≠，解得44a =，又因为数列{}n b 是等差数列，744b a ==，则()13113711313134522S b b b =⨯+==⨯=.故选：B.6．直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=，M 、N 分别是11A B 、11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与NA 所成的角的余弦值为（ ）A ．BCD ． 【答案】C 【详解】由题意可知1CC ⊥平面ABC ，且90BCA ∠=，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设12BC CA CC ===，则()2,0,0A 、()0,2,0B 、()1,0,2N 、()1,1,2M ，()1,0,2AN =-，()1,1,2BM =-，30cos ,56AN BM AN BM AN BM⋅<>===⨯⋅故BM 与NA 30故选：C.7．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，N (2，2)，则MF MN +的最小值为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．4【答案】A 【详解】因为抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F (1，0)，准线为1x =-， 根据抛物线定义可知MF =1M x +，所以当MN 垂直抛物线准线时，MF MN +最小， 最小值为：13N x +=. 故选：A .8．已知椭圆C ：2222x y a b +=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为34，点P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2=π2，且F 1PF 2内切圆的半径为1，则C 的方程为（ ） A ．22167x y +=1B ．223214x y +=1C ．24x +y 2=1D ．22447x y +=1【答案】A 【详解】易知F 1PF 2中，内切圆半径r =1212-2PF PF F F +=a -c =1，又离心率为34c a =，解得a =4，c =3，所以椭圆C 的方程为22167x y +=1. 故选：A二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，316a =，512a =，则（ ） A ．2d =- B ．124a =C ．2628a a +=D ．n S 取得最大值时，11n =【答案】AC 【详解】解法一：由题可得11216,412a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得120,2,a d =⎧⎨=-⎩故选项A 正确，选项B 错误；易知()()2012222n a n n =+-⨯-=-+，则26181028a a +=+=，选项C 正确.因为1020a =>，110a =，1220a =-<，所以当10n =或11时，n S 取得最大值（技巧：由0d <得数列{}n a 递减，进而判断n S 最大时的临界项） 选项D 错误. 故选：AC解法二：对于A ：易知53212164d a a =-=-=-，所以2d =-，选项A 正确；对于B ：()132162220a a d =-=-⨯-=，选项B 错误； 对于C ：263528a a a a +=+=，选项C 正确；对于D ：易知()()2012222n a n n =+-⨯-=-+，1020a =>，110a =，1220a =-<（技巧：由0d <得数列递减，进而判断n S 最大时的临界项）所以当10n =或11时，n S 取得最大值，所以选项D 错误. 故选：AC10．已知直线:440l kx y k -+-=与圆22:4440M x y x y +--+=，则下列说法中正确的是（ ）A ．直线l 与圆M 一定相交B ．若0k =，则直线l 与圆M 相切C ．当1k =时，直线l 被圆M 截得的弦最长D ．圆心M 到直线l的距离的最大值为【答案】BCD【详解】22:4440M x y x y +--+=，即()()22224x y -+-=，是以()2,2为圆心，以2为半径的圆，A.因为直线:440l kx y k -+-=，直线l 过()4,4，2244444440+-⨯-⨯+>，则()4,4在圆外，所以直线l 与圆M 不一定相交，故A 错误；B.若0k =，则直线:4l y =，直线l 与圆M 相切，故B 正确；C.当1k =时，直线l 的方程为0x y -=，过圆M 的圆心，即直线l 是直径所在直线，故C 正确；D.由圆的性质可知当直线l 与过点()4,4的直径垂直时，圆心M 到直线l 的距离的最大，此时=故D 正确，故选：BCD.11．已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上，1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列说法正确的是（ ） A ．点P 到x 轴的距离为4 B ．12523PF PF += C ．12PF F △为钝角三角形 D ．1260F PF ∠=︒【答案】AC 【详解】由双曲线的方程可得4a =，3b =，则5c =，由12PF F △的面积为20，得112102022P P c y y ⨯⨯=⨯⨯=，解得4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 选项正确； 将4P y =代入双曲线方程可得203P x =，根据双曲线的对称性可设20,43P ⎛⎫⎪⎝⎭，则2133PF =，由双曲线的定义知1228PF PF a -==，则11337833PF =+=， 则12133750333PF PF +=+=，故B 选项错误； 在12PF F △中，12371321033PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则12PF F △为钝角三角形，故C 选项正确；()2222121212121212122100cos 22PF PF PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF -+-+-∠==13376410021891331133713372233-+⨯⨯⨯==-≠⨯⨯⨯， 则1260F PF ∠=︒错误， 故选：AC.12．已知函数()2ln f x x x =，下列说法正确的是（ ）A ．当1x >时，()0f x >；当01x <<时，()0f x <B ．函数()f x的减区间为(，增区间为)+∞C ．函数()f x 的值域1,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1f x x ≥-恒成立 【答案】ACD 【详解】对于选项A ，当01x <<时，ln 0x <；当1x >时，ln 0x >，故选项A 正确； 对于选项B ，2ln 2ln 1fxx x x x x ，令()0f x '>可得2ln 10x ，有x >知函数()f x 的减区间为⎛⎝，增区间为⎫+∞⎪⎭，故选项B 错误；对于选项C ，由上可知()min 11e 2e f x f ===-，x →+∞时，()f x →+∞，故选项C 正确；对于选项D ，()22111ln 10ln 0f x x x x x x x x ≥-⇔-+≥⇔-+≥，令()211ln g x x x x=-+，有()()()22333121212x x x x x g x x x x x '-++--===+，令()0g x '>可得1x >，故函数()g x 的增区间为()1,+∞，减区间为()0,1，可得()()min 10g x g ==，故选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．与直线3250x y -+=的斜率相等，且过点()4,3-的直线方程为_________ 【答案】392y x =+【详解】直线3250x y -+=的斜率为32，故所求直线方程为()3342-=+y x ，即392y x =+.故答案为：392y x =+. 14．数列{}n a 中，11a =，()*12,2nn n a a n N a +=∈+，则5a =___________ 【答案】13【详解】 122nn n a a a +=+，11a =， 则1212223a a a ==+，2322122a a a ==+，3432225a a a ==+，4542123a a a ==+. 故答案为：13.15．若函数()ln f x x x =+在x =1处的切线与直线y =kx 平行，则实数k =___________. 【答案】2 【详解】∵()ln f x x x =+， ∴1()1f x x '=+，1(1)121f '=+=，又函数()ln f x x x =+在x =1处的切线与直线y =kx 平行， ∴2k =. 故答案为：2.16．设5(4P -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，1(2,0)F -是C 的左焦点，Q 是C右支上的动点，则C 的离心率为______，1PQF △面积的取值范围是_______． 【答案】2)+∞ 【详解】双曲线C 的右焦点为2(2,0)F，则13||2PF =，27||2PF ，因点P 在双曲线C 上，则由双曲线定义得2122a PF PF =-=，即1a =，又2c =， 所以双曲线C 的离心率为2ce a==；因直线PF 1的斜率1PF k =ba=1PF 与双曲线C 在第一、三象限的渐近线平行，则这条渐近线与直线1PF 0y -+的距离d ==上的点Q 到直线PF 1距离h d >=，于是得11113222PQF SPF h =⋅⋅>⨯所以1PQF △面积的取值范围是)+∞.故答案为：2；)+∞ 四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．已知圆()22:20C x y mx y m R ++-=∈，其圆心在直线0x y +=上.（1）求m 的值；（2）若过点()1,1的直线l 与C 相切，求l 的方程. 【答案】 （1）2m =（2）20x y +-=或0x y -= 【详解】 （1）圆C 的标准方程为：222(1)124m m x y ⎛⎫++-=+⎪⎝⎭， 所以，圆心为,12m ⎛⎫- ⎪⎝⎭由圆心在直线0x y +=上，得2m =. 所以，圆C 的方程为：22(1)(1) 2.x y ++-=（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()11y k x -=-， 即10,kx y k --+=由于直线l 和圆C解得：1k =±所以，直线方程为：20x y +-=或0x y -=.18．如图，在三棱锥P -ABC 中，△ABC 是以AC 为底的等腰直角三角形，PA =PB =PC =AC =4，O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC .（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M -PA -C 为30°，求直线PC 与平面PAM 所成角的正弦值. 【答案】 （1）证明见解析. （2【详解】 （1）证明：连接BO，AB BC ==O 是AC 的中点，BO AC ∴⊥，且 2BO =，又 2PA PC PB AC ====，,PO AC PO ∴⊥=222PB PO BO =+，则PO OB ⊥，OB AC O =，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PO ∴⊥平面ABC ,（2）解：建立以 O 为坐标原点，,,OB OC OP 分别为,,x y z 轴的空间直角坐标系如图所示，则()0,2,0A -，(0,0,P ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，设(2,2,0)BM BC λλλ==-()01λ≤≤，则()()(2,2,0)2,2,022,22,0AM BM BA λλλλ=-=----=-+，所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为则平面PAC 的法向量为() 1,0,0m =， 设平面MPA 的法向量(,,),n x y z =则(0,2,PA =--20,n PA y ⋅=--= ()()22220n AM x y λλ⋅=-++=，令1z =，则y =(11x λλ+=-，二面角M PA C --为30︒，∴3cos302m n m n︒⋅==⋅， 即=13λ= 或 3λ=( 舍)，设平面MPA的法向量(23,n =，(0,2,PC =-，设PC 与平面PAM 所成的角为θ，则|sin |cos ,|12PC n θ-=<>==+19．已知椭圆与双曲线221169x y -=具有共同的焦点1F 、2F ，点P 在椭圆上，12PF PF ⊥，____________①椭圆过点()，②椭圆的短轴长为10，③（①②③中选择一个） （1）求椭圆的标准方程； （2）求12PF F △的面积． 【答案】（1）条件选择见解析，椭圆方程为2215025x y += （2）1225PF F S=【详解】 （1）解：设椭圆方程()222222210,x y a b c a b a b+=>>=-.因为椭圆与双曲线221169x y -=具有共同的焦点，则225c =.选①：由已知可得a =225b =，椭圆方程为2215025x y +=； 选②：由已知可得5b =，则250a =，椭圆方程为2215025x y +=；选③得c a =，则250a =，椭圆方程为2215025x y +=. （2）解：由椭圆定义知122PF PF a +==， 又12PF PF ⊥，222124100PF PF c ∴+==②，由①可得2212121221002200PF PF PF PF PF PF ++⋅=+⋅=，解得1250PF PF ⋅=， 因此，12121252PF F SPF PF =⋅=. 20．设函数()322f x x x x =--++．（1）求()f x 在2x =-处的切线方程；（2）求()f x 的极大值点与极小值点；（3）求()f x 在区间[]5,0-上的最大值与最小值．【答案】（1）7100x y ++=；（2）极小值点为1x =-，极大值点为13x =； （3）()min 1f x =，()max 97f x =.【详解】（1）由题意得：()2321f x x x '=--+，则()212417f '-=-++=-，又()284224f -=--+=，()f x ∴在2x =-处的切线方程为()472y x -=-+，即7100x y ++=； （2）令()23210f x x x '=--+=，解得：1x =-或13x =， 则()(),,x f x f x '变化情况如下表：()f x ∴的极小值点为1x =-，极大值点为3x =； （3）由（2）知：()f x 在[)5,1--上单调递减，在(]1,0-上单调递增； 又()5125255297f -=--+=，()02f =，()111121f -=--+=， ()()min 11f x f ∴=-=，()()max 597f x f =-=.21．已知椭圆C 的离心率e =()1A ，)2A （1）求椭圆C 的方程；（2）设动直线:l y kx b =+与曲线C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q ，求证：以PQ 为直径的圆过定点()1,0N ．【答案】（1）2212x y +=； （2）证明见解析.【详解】（1）椭圆长轴端点在x 轴上，∴可设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：222a b c c e a a ⎧=+⎪⎪==⎨⎪⎪=⎩，解得：11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=； （2） 由2212x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222124220k x kbx b +++-=，曲线C 与直线l 只有一个公共点，()228120k b ∴=+-=，即2221b k =+，设(),P P P x y ，则()22422212P kb kb k x b b k =-=-=-+， 222221p P k b k y kx b b b b b-∴=+=-+==，21,k P b b ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭； 由2y kx b x =+⎧⎨=⎩得：22x y k b =⎧⎨=+⎩，即()2,2Q k b +； ()1,0N ，211,k NP bb ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,2NQ k b =+， 2210k k b NP NQ b b+∴⋅=--+=，即NP NQ ⊥， ∴以PQ 为直径的圆恒过定点()1,0N .22．已知函数()ln xe f x ax a x x=-+． （1）若a e =，求()f x 的极值点；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）极小值点为1，无极大值点（2）(,]e -∞【详解】（1）解：（1）()f x 定义域为(0,)+∞，222(1)(1)(1)()()x x x x xe e e x e e x x e ex f x e x x x x x -----'=-+=-=， 令(),(0,)x g x e ex x =-∈+∞，则()x g x e e '=-，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()()10g x g ≥=，即0x e ex -≥，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，()f x ∴的极小值点为1，无极大值点；（2）由()0f x ≥得ln (ln )x x e a x x --≥，令ln ,(0,)t x x x =-∈+∞，则t e at ≥，111x t x x-'=-=， 当01x <<时，0t '<，当1x >时，0t '>，所以函数ln ,(0,)t x x x =-∈+∞在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以当1x =时，min 1t =，[1+t ∴∈∞，），te a t∴≤， 令(),[1,)te m t t t =∈+∞，则2(1)()0t e t m t t -'=≥， 所以函数()t e m t t=在[1,)t ∈+∞上递增，所以min ()(1)m t m e ==， 所以a e ≤，所以a 的取值范围为(,]e -∞.。
高中数学选择性必修二 北京市朝阳区高二上学期期末考试数学试题(含答案)
故答案为：①③④
16.把正奇数列按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，则在第n（n∈N*）组里有________个数；第9组中的所有数之和为________.
【答案】①. ②.2465
【解析】
②函数 在 和 分别单调递减，故②错误；
③因为 ，则当 时， ，故 时的瞬时速度是10 m/s，故③正确；
④ ， ，由 解得 ，由 解得 ，
所以当 时， 的图象更“陡峭”，当 时， 的图象更“陡峭”，故④错误.
故选：A.
8.如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK和LM所成角的大小为（）
点 在抛物线上，
所以 ，
则 ，又 ，
所以直线 方程为 ，
联立抛物线方程 得到 ，
解得 或 ，
因为点 在 轴下方，所以 ,
由焦半径公式得： ，
故选：D.
7.下列有四个说法：
①若直线与抛物线相切，则直线与抛物线有且只有一个公共点：
②函数 在定义域上单调递减；
③某质点沿直线运动，位移 （单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式 则 时的瞬时速度是10 m/s；
（II）选①：当直线 斜率不存在时， 的方程为 ，恰好与圆相切，满足题意；
当直线 斜率存在时，设 的方程为 ，即 ，
则圆心到直线 的距离为 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，即 ，
综上，直线 的方程为 或 ；
选②，可得 在圆上，即 为切点，
则切点与圆心连线斜率为 ，则切线斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
故选：B.
10.如图，在三棱锥O-ABC中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB，OC的长分别为a，b，c.M为△ABC内部及其边界上的任意一点，点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的距离分别为a0，b0，c0，则 （）
【必考题】高中必修二数学下期末试题(及答案)
【必考题】高中必修二数学下期末试题(及答案)一、选择题1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =A ．5B ．7C ．9D ．112．如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =，4AD AC ⋅=，则AB BC ⋅=A ．-45B ．13C ．-13D ．-373．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π4．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 25．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．606．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．47．记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1)(3,4)-B ．(1,3)C ．(1,4)-D ．(,1)(4,)-∞-+∞8．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上9．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12-B ．10-C ．10D ．1211．在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．9012．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．7a =，3b =，30B = B ．6b =，52c =，45B = C ．10a =，15b =，120A = D ．6b =，63c =60C =二、填空题13．在直角ABC ∆中，三条边恰好为三个连续的自然数，以三个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在ABC ∆中随机地选取m 个点，其中有n 个点正好在扇形里面，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________．（答案用m ，n 表示）14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________.15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1DD 、DC 上靠近点D 的三等分点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.16．若(2,1)x ∃∈--，使不等式()24210x xm m -++>成立，则实数m 的取值范围为________. 17．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．18．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．19．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高为20．已知()()2,3,4,3A B -，点P 在直线AB 上，且32AP PB =，则点P 的坐标为________ 三、解答题21．某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n 表示购机的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）若n =19,求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5,求n 的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？22．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.23．已知函数()f x =│x +1│–│x –2│. （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围. 24．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．25．设函数2()cos 2sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期． （2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）设,,A B C 为ABC 的三个内角，若1cos 3B =，124C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且C 为锐角，求sin A ．26．ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (1)求sin sin BC；(2)若AD ＝1，DC ＝2，求BD 和AC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 2．D解析：D 【解析】 【分析】先用AB 和AC 表示出2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-， 再根据，12BD DC =用用AB 和AC 表示出AD ，再根据4AD AC ⋅=求出A AB C ⋅的值，最后将A AB C ⋅的值代入2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-，，从而得出答案． 【详解】()2A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-，∵12BD DC =， ∴111B C ?C B 222AD A A AD AD A AD A -=-=-+（）， 整理可得：12AB 33AD AC +＝， 221A A 433AD AC AB C C ∴⋅⋅+=＝∴ A =-12AB C ⋅，∴2=A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-．， 故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．3．C解析：C 【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．4．D解析：D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π12）=cos （2x +π6）=sin （2x +2π3）的图象，即曲线C 2， 故选D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.5．B解析：B 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322S =⨯⨯= ∴三棱锥体积：1115410332V Sh ==⨯⨯=本题正确选项：B 【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.6．B解析：B 【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．7．A解析：A 【解析】 【分析】画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】函数()f x 的图象如图，直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ， 故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<. 故选A. 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.8．A解析：A 【解析】如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ， 故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ， 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A. 点睛：证明点在线上常用方法先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．9．C解析：C 【解析】 【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性. 【详解】对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以AB 与平面MNP 相交.对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选：C 【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.10．B解析：B 【解析】分析：首先设出等差数列{}n a的公差为d，利用等差数列的求和公式，得到公差d所满足的等量关系式，从而求得结果3d=-，之后应用等差数列的通项公式求得51421210a a d=+=-=-，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为d，根据题中的条件可得3243 3(32)224222d d d⨯⨯⨯+⋅=⨯++⨯+⋅，整理解得3d=-，所以51421210a a d=+=-=-，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a与1a d和的关系，从而求得结果.11．A解析：A【解析】【分析】由题意，取AC的中点O，连结1,BO C O，求得1BC O∠是1BC与侧面11ACC A所成的角，在1BC O∆中，即可求解．【详解】由题意，取AC的中点O，连结1,BO C O,因为正三棱柱111ABC A B C-中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，所以1,BO AC BO AA⊥⊥，因为1AC AA A⋂=，所以BO⊥平面11ACC A，所以1BC O∠是1BC与侧面11ACC A所成的角，因为222113131(),(2)()222BO C O=-==+=，所以11332tan32BOBC OOC∠===，所以0130BC O∠=，1BC与侧面11ACC A所成的角030．【点睛】本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．12．D解析：D 【解析】 【分析】根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的ABC ∆解的个数，于此可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，17sin 722a B =⨯=，sin a B b ∴>，此时，ABC ∆无解； 对于B选项，sin 52c B ==，sin c B b c ∴<<，此时，ABC ∆有两解； 对于C 选项，120A =，则A 为最大角，由于a b <，此时，ABC ∆无解； 对于D 选项，60C =，且c b >，此时，ABC ∆有且只有一解.故选D.【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考查推理能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由题意得的三边分别为则由可得所以三角数三边分别为因为所以三个半径为的扇形面积之和为由几何体概型概率计算公式可知故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属于中档题解决解析：12nm【解析】 【分析】 【详解】由题意得ABC ∆的三边分别为,1,2x x x ++ 则由()()22221x x x +=++ 可得3n = ，所以，三角数三边分别为3,4,5，因为A B C π∠+∠+∠= ，所以三个半径为1 的扇形面积之和为211=22ππ⨯⨯ ，由几何体概型概率计算公式可知1122,1342n n m m ππ=∴=⨯⨯，故答案为12nm.【方法点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.14．【解析】【分析】由题意首先求解底面积然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积【详解】由题意可得底面四边形为边长为的正方形其面积顶点到底面四边形的距离为由四棱锥的体积公式可得：【点睛】本题主要考查四棱锥 解析：112【解析】 【分析】由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 【详解】由题意可得，底面四边形EFGH为边长为2的正方形，其面积212EFGH S ==⎝⎭， 顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为12d =， 由四棱锥的体积公式可得：111132212M EFGH V -=⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等 解析：60【解析】 【分析】连接1CD ，可得出1//EF CD ，证明出四边形11A BCD 为平行四边形，可得11//A B CD ，可得出异面直线EF 与11A C 所成角为11BA C ∠或其补角，分析11A BC ∆的形状，即可得出11BA C ∠的大小，即可得出答案.【详解】连接1CD 、1A B 、1BC ，113DE DF DD DC ==，1//EF CD ∴， 在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D AD ，//AD BC ，11//A D BC ∴，所以，四边形11A BCD 为平行四边形，11//A B CD ∴， 所以，异面直线EF 与11A C 所成的角为11BA C ∠. 易知11A BC ∆为等边三角形，1160BA C ∴∠=.故答案为：60. 【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.16．【解析】【分析】令将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题即可求得参数范围【详解】令由可得则问题等价于存在分离参数可得若满足题意则只需令令则容易知则只需整理得解得故答案为：【点睛】本题考查由存在性问题 解析：()4,5-【解析】 【分析】令2x t =，将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题，即可求得参数范围. 【详解】令2xt =，由(2,1)x ∃∈--可得11,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()24210x x m m -++> 则问题等价于存在11,42t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()2210m m t t -++>， 分离参数可得221t m m t +->-若满足题意，则只需221mint m m t +⎛⎫->-⎪⎝⎭， 令()22111t h x t t t +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，令1m t =，()2,4m ∈则()2,2,4y m m m =--∈，容易知41620min y =--=-，则只需220m m ->-，整理得2200m m --<，解得m ∈()4,5-. 故答案为：()4,5-. 【点睛】本题考查由存在性问题求参数值，属中档题.17．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值18．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可【解析】 【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，化简求得1sin 2A =，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos 8bc A =，可以断定A 为锐角，从而求得cos A =，进一步求得bc =，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos A =，从而求得bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===. 【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30、45、60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设塔高为x 则可知a 表示的为塔与山之间的距离可以解得塔高为考点：解三角形的运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用属于中档题 解析：【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据题意，设塔高为x ，则可知00tan 60=,t 2an 30=00200a ax-，a 表示的为塔与山之间的距离，可以解得塔高为．考点：解三角形的运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用，属于中档题．20．【解析】【分析】设点得出向量代入坐标运算即得的坐标得到关于的方程从而可得结果【详解】设点因为点在直线且或即或解得或;即点的坐标是【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题意解析：(8,-15)， 163,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】设点(),P x y ,得出向量33,22AP BP AP BP ==-,代入坐标运算即得P 的坐标，得到关于,x y 的方程，从而可得结果.【详解】 设点(),P x y ,因为点P 在直线,且3||||2AP PB =, 33,22AP BP AP BP ∴==-, 3(2,3)(4,3)2x y x y ∴--=-+或, 3(2,3)(4,3)2x y x y ∴--=--+，即243122639x x y y -=-⎧⎨-=+⎩或243122639x x y y -=-+⎧⎨-=--⎩,解得815x y =⎧⎨=-⎩或16535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩; 即点P 的坐标是(8,-15)，163,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题,意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.三、解答题21．(1)()3800,19,y 5005700,19,x x N x x ≤⎧=∈⎨->⎩;(2)19;(3) 购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 【解析】试题分析：（Ⅰ）分x ≤19及x ＞19，分别求解析式；（Ⅱ）通过频率大小进行比较；（Ⅲ）分别求出n=19，n=20时所需费用的平均数来确定. 试题解析：（Ⅰ）当时，3800y =；当时，3800500(19)5005700y x x =+-=-，所以与的函数解析式为3800,19,{()5005700,19,x y x N x x ≤=∈->.（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故的最小值为19.（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(380070430020480010)4000100⨯⨯+⨯+⨯=. 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(400090450010)4050100⨯⨯+⨯=. 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 【考点】函数解析式、概率与统计【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题. 22．（1）3,2a c ==；（2）2327【解析】试题分析：（1）由2BA BC ⋅=和1cos 3B =，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得22sin .3B =由正弦定理，得42sin sin 9c C B b ==，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27cos 1sin 9C C =-=，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=得，，又1cos 3B =，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=. 解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在ABC ∆中，2212sin 1cos 1()33B B =-=-= 由正弦定理，得22242sin sin 3c C B b ===a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=.于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1724223393927⋅+⋅=. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换. 23．（1）[)1,+∞；（2）5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】（1）由于f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|31211232x x x x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩，＜，，＞，解不等式f （x ）≥1可分﹣1≤x ≤2与x ＞2两类讨论即可解得不等式f （x ）≥1的解集；（2）依题意可得m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ，分x ≤1、﹣1＜x ＜2、x ≥2三类讨论，可求得g （x ）max 54=，从而可得m 的取值范围． 【详解】解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|31211232x x x x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩，＜，，＞，f （x ）≥1， ∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2； 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立， 即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）22231311232x x x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--⎨⎪-++≥⎩，，＜＜，， 当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x 12=-＞1， ∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x 32=∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （32）9942=-+-154=； 当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x 12=＜2， ∴g （x ）≤g （2）＝﹣4+2+3＝1； 综上，g （x ）max 54=， ∴m 的取值范围为（﹣∞，54]． 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．24．（1）11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析；（3）12n n a n -=⋅.【解析】 【分析】（1）根据题中条件所给的数列{}n a 的递推公式()121n n na n a +=+，将其化为()121n n n a a n++=，分别令1n =和2n =，代入上式求得24a =和312a =，再利用nn a b n=，从而求得11b =，22b =，34b =； （2）利用条件可以得到121n na a n n+=+，从而 可以得出12n n b b +=，这样就可以得到数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列； （3）借助等比数列的通项公式求得12n na n-=，从而求得12n n a n -=⋅. 【详解】（1）由条件可得()121n n n a a n++=．将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =． 将2n =代入得，323a a =，所以，312a =． 从而11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n na a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =， 所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列； （3）由（2）可得11122n n nn a b n--==⨯=，所以12n n a n -=⋅． 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列{}n b 的通项公式，借助于{}n b 的通项公式求得数列{}n a 的通项公式，从而求得最后的结果.25．（1）π（2）减区间为ππk π,k π44⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（3【解析】 【分析】()1利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．()2利用正弦函数的单调性，求得函数()f x 的单调递减区间．()3利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，求得sinA 的值．【详解】() 1函数()2π131cos2x 31f x cos 2x sin x cos2x sin2x sin2x 3222-⎛⎫=++=-+=-+ ⎪⎝⎭， 故它的最小正周期为2ππ2=． ()2对于函数()31f x sin2x 2=-+，令ππ2k π2x 2k π22-≤≤+，求得ππk πx k π44-≤≤+， 可得它的减区间为ππk π,k π44⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． ()3ABC 中，若1cosB 3=，222sinB 1cos B 3∴=-=． 若C 311f sinC 224⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，3sinC ∴=，C 为锐角，πC 3∴=． ()ππ22113223sinA sin B C sinBcoscosBsin 3332326+∴=+=+=⋅+⋅=． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，考查了同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．26．（1）12；（2）1 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解.试题解析：（1），1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠， ∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =．由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠. （2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，22DC =， ∴2BD =．设AC x =，则2AB x =，在△ABD 与△ACD 中，由余弦定理可知，2222cos 222AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅22223cos 2x AD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅ ∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，223x -=1x =， 即1AC =．考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．。
【易错题】高中必修二数学下期末试题(含答案)
故选 D． 【点睛】 本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想 象能力．
6．D
解析：D 【解析】
试题分析： AB 2a, AC 2a b , AC AB b ,b AC AB BC ．
由题意知 b
2, a b
a b cos120
1
2
1 2
棱 CC1 的中点，则异面直线 AB1 和 BM 所成的角为( )
A．
B．
C．
D．
2
3
11．已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x 3 2x ，则不等式
f x 0 的解集为（ ）
A．
,
3 2
0,
3 2
B．
,
3 2
3 2
,
C．
3 2
,
3 2
【详解】
因为 b 在 a 上的投影（正射影的数量）为 2 ，
所以| b | cos a, b 2 ，
即
|
b
|
cos
2 a,
b
，而
1
cos
a,
b
0
，
所以| b | 2 ，
因为
a
2b
2
(a
2b)2
2
a
4a b
2
4b
|
a
|2
4
|
a
||
b|
cos
a, b
4
| b|2
=16 4 4 (2) 4 | b |2 48 4 | b |2
16．在四面体 ABCD中， AB=AD 2, BAD 60,BCD 90，二面角 A BD C 的大小为150 ，则四面体 ABCD 外接球的半径为__________．
【压轴题】高中必修二数学下期末试题（含答案）
【压轴题】⾼中必修⼆数学下期末试题（含答案）【压轴题】⾼中必修⼆数学下期末试题(含答案)⼀、选择题1．△ABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2B ．3C ．2D ．32．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5B ．7C ．9D ．113．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满⾜条件A CB ??的集合C 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（） A ．3B ．2C ．1D ．05．某三棱锥的三视图如图所⽰，则该三棱锥的体积为（）A ．20B ．10C ．30D ．606．设正项等差数列的前n 项和为，若，则的最⼩值为 A ．1 B ．C ．D ．7．已知1sin 34πα??-= ，则cos 23πα??+= （）A ．58-B ．58C ．78-D ．788．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ?++>?=?-+≤在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-9．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>11．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12-B ．10-C ．10D ．1212．如图，在△ABC 中, 13AN NC =u u u v u u u v ,P 是BN 上的⼀点,若29AP m AB AC ??→??→??→=+,则实数m 的值为( )A ．B ．C ．19D ．⼆、填空题13．在ABC △中，若223a b bc -= ，sin 23sin C B = ，则A 等于__________． 14．已知函数()3sin(2)cos(2)(||)2 f x x x π=---<的图象关于y 轴对称,则()f x 在区[6π-,5]12π上的最⼤值为__. 15．已知ABC V ，135B o∠=，22,4AB BC ==，求AB AC ?=u u u r u u u r______．16．函数()12x f x =-的定义域是__________． 17．如图，在矩形中，为边的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆⼼，1为半径作圆弧EB 、EC （在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边所围成的平⾯图形绕直线旋转⼀周，则所形成的⼏何体的体积为 .18．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的⽅程为____________．19．若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最⼩值是_____． 20．在△ABC 中，85a b ==，，⾯积为12，则cos 2C =______．三、解答题21．设ABC ?的内⾓A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且4cos ,25B b ==. （1）当π6A =时，求a 的值；（2）当ABC ?的⾯积为3时，求a+c 的值． 22．已知x ，y ，()0,z ∈+∞，3x y z ++=．（1）求111x y z++的最⼩值（2）证明：2223x y z ≤++．23．已知数列{}n a 是等⽐数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 24．已知数列{}n a 满⾜11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等⽐数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．25．以原点为圆⼼，半径为r 的圆O 222:()0O x y r r +=>与直线380x --=相切. （1）直线l 过点(6)-且l 截圆O 所得弦长为43l l 的⽅程；（2）设圆O 与x 轴的正半轴的交点为M ，过点M 作两条斜率分别为12,k k 12,k k 的直线交圆O 于,A B 两点，且123k k ?=-，证明：直线AB 恒过⼀个定点，并求出该定点坐标.26．如图，平⾏四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为BF 与DE 的交点，若AB a =u u u v v ,AD b =u u u v v ，试以a v ，b v 为基底表⽰DE u u u v 、BF u u uv 、CG u u u v ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除⼀、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单⼀,根据余弦定理整理出关于b 的⼀元⼆次⽅程,再通过解⽅程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考⽣切记！2．A解析：A【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=?==，选A. 3．D解析：D 【解析】【分析】【详解】求解⼀元⼆次⽅程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ??，所以根据⼦集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的⼦集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查⼦集的概念，不等式，解⼀元⼆次⽅程.本题在求集合个数时，也可采⽤列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极⾼.4．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表⽰以()0,0为圆⼼，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表⽰直线y x =上所有的点组成的集合，⼜圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22? ??，22??-- ? ???，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较⼤，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满⾜互异性.5．B解析：B 【解析】【分析】根据三视图还原⼏何体，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】由三视图可得⼏何体直观图如下图所⽰：可知三棱锥⾼：4h =；底⾯⾯积：1155322S == ∴三棱锥体积：1115410332V Sh ==??=本题正确选项：B 【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原⼏何体，从⽽准确求解出三棱锥的⾼和底⾯⾯积. 6．D解析：D 【解析】【分析】先利⽤等差数列的求和公式得出，再利⽤等差数列的基本性质得出，再将代数式和相乘，展开后利⽤基本不等式可求出的最⼩值.【详解】由等差数列的前项和公式可得，所以，，由等差数列的基本性质可得，，所以，，当且仅当，即当时，等号成⽴，因此，的最⼩值为，故选：D.【点睛】本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应⽤，考查利⽤基本不等式求最值，解题时要充分利⽤定值条件，并对所求代数式进⾏配凑，考查计算能⼒，属于中等题。
高中数学选择性必修二 北京一零一实验学校高二下学期期末数学试题(含答案)
当 时， ，则 ，而 ，则 ，即 ；
当 时， ，则 ，而 ，则 ，即 ；
∴满足 的 的值是 .
故答案为：
14.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝ －m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】求得 的最小值，以及 的最大值，根据已知条件的等价转化，列出不等式，则问题得解.
【详解】当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
当x∈[1，2]时，g(x)min＝g（2）＝ －m，
对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)min，
【答案】
【解析】
【分析】分别求出集合A，B，再求两集合的交集
【详解】解：由 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ，解得 ，所以 ,
所以 ，
故答案为：
12.写出“ ”的一个充分不必要条件_____．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】先由不等式 求出解集，在解集内的任何数或范围，都可以是“ ”的一个充分不必要条件.
（2）设函数 为“ 函数”，且存在 ，使 ，求证：
（3）试写出一个“ 函数”，满足 ，且使集合 中元素最少（只需写出你的结论）
【答案】（1） 是“ 函数”， 不是“ 函数”；（2）证明见解析；（3） (答案不唯一).
【解析】
【分析】（1）利用“ 函数”定义，结合 与 解析式，判断 上的符号，利用作差法、函数单调性比较对应函数 的大小，进而确定是否为“ 函数”；
A.16B.25C.9D.36
【答案】B
高中数学必修二：各章章末检测(含解析)
章末检测一、选择题1.如图所示的长方体，将其左侧面作为上底面，右侧面作为下底面，水平放置，所得的几何体是( ) A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥组合体D．无法确定1 题图2 题图2.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不．可．能．为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是( ) A．①②B．②③C．①③D．①②3．如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN则四边形D1MBN 在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是( )4.如图所示的是水平放置的三角形直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′离C′比D′离B′近，又A′D′∥y′轴，那么原△ABC 的AB、AD、AC 三条线段中( )A.最长的是AB，最短的是ACB.最长的是AC，最短的是ABC.最长的是AB，最短的是ADD.最长的是AD，最短的是AC4 题图5 题图5．具有如图所示直观图的平面图形ABCD 是( ) A．等腰梯形B．直角梯形C．任意四边形D．平行四边形6.如图是一个几何体的三视图，则在此几何体中，直角三角形的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A ．6B ．9C ．12D ．188. 平面α截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面α的距离为 2，则此球的体积为() B ．4 3πC ．4 6πD ．6 3π9. 如图所示，则这个几何体的体积等于()A ．4B ．6C ．8D ．1210. 将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示，A ，B ，C 分别是△GHI 三边的中点)得到几何体如图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图为选项图中的()11. 圆锥的表面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A ．120°B ．150°C ．180°D ．240°12. 已知三棱锥 S －ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，△ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC ＝2，则此棱锥的体积为()A. 6πA.26二、填空题B.36 C.23 D.2213.一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱14.已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于cm3.15.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是．16.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的1，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是．4三、解答题17.某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；(2)求该几何体的体积(结果保留π)．18.如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是边长为2 的正三角形，俯视图如图．(1)在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图(不写作法)；(2)求这个几何体的体积．19.如图所示，在四边形ABCD 中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2 2，AD＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．20.如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．试求：(1)AD 的长；(2)容器的容积．＝ 答案1．A 2.B 3.D 4．C 5．B 6．D 7.B 8.B 9．A 10．A 11．C 12．A 13．①②③⑤ 14．1 15.24π 16.1－ 1 4 2π17.解 由三视图可知：该几何体的下半部分是棱长为 2 m 的正方体，上半部分是半径为 1 m 的半球．(1) 几何体的表面积为 S 1× 24π×12＋6×22－π×12＝24＋π(m 2)．(2)几何体的体积为 V ＝23＋1×4×π×13＝8＋2π(m 3)．2 3 318.解 (1)直观图如图．(2) 这个几何体是一个四棱锥． 它的底面边长为 2，高为 3，所以体积 V ＝1×22× 3＝4 3.3 319.解 S 表面＝S 圆台底面＋S 圆台侧面＋S 圆锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 2＝(4 2＋60)π.V ＝V 圆台－V 圆锥 ＝1π(r 2＋r r ＋r 2)h －12 ′1 12 2 3πr 1h3 ＝1π(25＋10＋4)×4－1π×4×2 3 3 148 π. 320．解 (1)设圆台上、下底面半径分别为 r 、R ，AD ＝x ，则 OD ＝72－x ，由题意得2πR ＝60·π×72 180 72－x ＝3R即 AD 应取 36 cm.R ＝12，∴ .x ＝36 (2)∵2πr ＝π·OD ＝π·36，3 3 ∴r ＝6 cm ，圆台的高 h ＝ x 2－(R －r )2＝ 362－(12－6)2＝6 35. ∴V ＝1 2＋Rr ＋r 2)＝1π·6 35·(122＋12×6＋62)＝504 35π(cm 3)．πh (R 3 3＝章末检测一、选择题1．下列推理错误的是( ) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈l，l⊂α⇒A∈α2．长方体ABCD－A1B1C1D1 中，异面直线AB，A1D1 所成的角等于( ) A．30°B．45°C．60°D．90°3．下列命题正确的是( )A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4.在空间四边形ABCD 的边AB，BC，CD，DA 上分别取E、F、G、H 四点，如果EF，GH 交于一点P，则( )A．P 一定在直线BD 上B．P 一定在直线AC 上C．P 一定在直线AC 或BD 上D．P 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上5.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．② 和④ 6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β7.如图(1)所示，在正方形SG1G2G3 中，E，F 分别是G1G2 及G2G3 的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3 三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG 中必有( )A．SG⊥△EFG 所在平面B．SD⊥△EFG 所在平面C．GF⊥△SEF 所在平面D．GD⊥△SEF 所在平面8.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1 中，若E 是A1C1 的中点，则直线CE 垂直于( )A．AC B．BD C．A1D D．A1D18 题图9 题图9.如图所示，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是( ) A．90°B．60°C．45°D．30°10.如图，ABCD－A1B1C1D1 为正方体，下面结论错误的是( )A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD 与CB1 所成的角为60°10 题图11 题图11.如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1 与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )A. 63B.2 65C. 155D. 10512.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，CC1＝2 2，E 为CC1 的中点，则直线AC1与平面BED 的距离为( )A．2二、填空题D．113.设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB 与CD 交于点S，且点S 位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝.14.下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则B. 3C. 2a 平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α.其中正确命题的序号是．15.如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1 中，当底面四边形A1B1C1D1 满足条件时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．15 题图16 题图16.如图所示，已知矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC 边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是．三、解答题17.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别为AB、A1D1 的中点，判断MN 与平面A1BC1 的位置关系，为什么？18.ABCD 与ABEF 是两个全等正方形，AM＝FN，其中M∈AC，N∈BF.求证：MN∥平面BCE.19.如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA⊥底面ABCD，E 是PC 的中点．已知AB＝2，AD＝2 2，PA＝2.求：(1)三角形PCD 的面积；(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小．20.如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E 是PC 的中点．(1)求证：PA∥面BDE；(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；(3)若二面角E－BD－C 为30°，求四棱锥P－ABCD 的体积．21.如图，四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA⊥底面ABCDAC＝2 2，PA＝2，E 是PC 上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．答案1．C 2.D 3．C 4．B 5．D 6．D 7．A 8．B 9.A 10．D 11．D 12．D 13．914．④15．B1D1⊥A1C1(答案不唯一)16．a>617.解直线MN∥平面A1BC1，M 为AB 的中点，证明如下：∵MD/∈平面A1BC1，ND/∈平面A1BC1.∴MN⊄平面A1BC1.如图，取A1C1 的中点O1，连接NO1、BO1.∵NO1 綊1D1C1，MB 綊1D1C1，2 2∴NO1 綊MB.∴四边形NO1BM 为平行四边形．∴MN∥BO1.又∵BO1⊂平面A1BC1，∴MN∥平面A1BC1.18.证明如图所示，连接AN，延长交BE 的延长线于P，连接CP.∵BE∥AF，∴FN＝AN，NB NP由AC＝BF，AM＝FN 得MC＝NB.∴FN＝AM. NB MC∴AM＝AN，MC NP∴MN∥PC，又PC⊂平面BCE.AC ∴MN ∥平面 BCE .19. 解 (1)因为 PA ⊥底面 ABCD ，所以 PA ⊥CD .又 AD ⊥CD ，所以 CD ⊥平面 PAD ，从而 CD ⊥PD . 因 为 PD ＝ 22＋(2 2)2＝2 3，CD ＝2，所以三角形 PCD 的面积为1×2×2 3＝2 3.2(2)如图，取 PB 中点 F ，连接 EF 、AF ，则 EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与 AE 所成的角．在△AEF 中，由 EF ＝ 2，AF ＝ 2，AE ＝2 知△AEF 是等腰直角三角形， 所以∠AEF ＝45°.因此，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 45°. 20．(1)证明 连接 OE ，如图所示．∵O 、E 分别为 AC 、PC 的中点，∴OE ∥P A. ∵OE ⊂面 BDE ，PA ⊄面 BDE ， ∴PA ∥面 BDE .(2) 证明 ∵PO ⊥面 ABCD ，∴PO ⊥BD .在正方形 ABCD 中，BD ⊥AC ， 又∵PO ∩AC ＝O ， ∴BD ⊥面 PAC . 又∵BD ⊂面 BDE ， ∴面 PAC ⊥面 BDE .(3) 解 取 OC 中点 F ，连接 EF .∵E 为 PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO . 又∵PO ⊥面 ABCD ，∴EF ⊥面 ABCD . ∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD .∴∠EOF 为二面角 E －BD －C 的平面角，∴∠EOF ＝30°.在 Rt △OEF 中，OF ＝1OC ＝1 ＝ 2a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝ 6a ，2 4 4 12 ∴OP ＝2EF ＝ 6a .62 3 ∴V P1 6 6－ABCD＝ ×a × ＝ . 361821．(1)证明 因为底面 ABCD 为菱形， 所以 BD ⊥AC .又 PA ⊥底面 ABCD ，所以 PC ⊥BD . 如图，设 AC ∩BD ＝F ，连接 EF .因为 AC ＝2 2，PA ＝2，PE ＝2EC ，故 PC ＝2 3，EC ＝2 3，FC ＝ 2，3从而PC＝ 6，FC AC＝ 6. EC因为PC ＝AC，∠FCE ＝∠PCA ，FC EC所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠PAC ＝90°.由此知 PC ⊥EF . 因为 PC 与平面 BED 内两条相交直线 BD ，EF 都垂直， 所以 PC ⊥平面 BED .(2)解 在平面 PAB 内过点 A 作 AG ⊥PB ，G 为垂足． 因为二面角 A －PB －C 为 90°， 所以平面 PAB ⊥平面 PBC . 又平面 PAB ∩平面 PBC ＝PB ， 故 AG ⊥平面 PBC ，AG ⊥BC .因为 BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PA ，AG 都垂直， 故 BC ⊥平面 PAB ，于是 BC ⊥AB ， 所以底面 ABCD 为正方形，AD ＝2， PD ＝ PA 2＋AD 2＝2 2. 设 D 到平面 PBC 的距离为 d .因为 AD ∥BC ，且 AD ⊄平面 PBC ，BC ⊂平面 PBC ，故 AD ∥平面 PBC ，A 、D 两点到平面 PBC 的距离相等，即 d ＝AG ＝ 2. 设 PD 与平面 PBC 所成的角为α，则 sin α＝ d ＝1.PD 2 所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°.章末检测一、选择题1．若直线过点(1,2)，(4,2＋ 3)，则此直线的倾斜角是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．如果直线 ax ＋2y ＋2＝0 与直线 3x －y －2＝0 平行，则系数 a 为 ( )A ．－3B ．－6C ．－3 2 3．若经过点(3，a )、(－2,0)的直线与经过点(3，－4) 1D.2 3 a 的值为( )且斜率为 的直线垂直，则 2A.5 2B.2 5 C ．10 D ．－104．过点(1,0)且与直线 x －2y －2＝0 平行的直线方程是 ( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝05．实数 x ，y 满足方程 x ＋y －4＝0，则 x 2＋y 2 的最小值为 A ．4 B ．6 C ．8 ()D ．126．点 M (1,2)与直线 l ：2x －4y ＋3＝0 的位置关系是 () A ．M ∈l B ．M ∉l C ．重合 D ．不确定7．直线 mx ＋ny －1＝0 同时过第一、三、四象限的条件是()A ．mn >0B ．mn <0C ．m >0，n <0D ．m <0，n <08. 若点 A (－2，－3)，B (－3，－2)，直线 l 过点 P (1,1)且与线段 AB 相交，则 l 的斜率 k 的取值范围是() A ．k ≤3或 k ≥4B ．k ≤－4或 k ≥－34 3 C.3≤k ≤4 3 4 D ．－4≤k ≤－34 33 49.已知直线 l 1：ax ＋4y －2＝0 与直线 l 2：2x －5y ＋b ＝0 互相垂直，垂足为(1，c )，则 a ＋b ＋c 的值为 ()A ．－4B ．20C ．0D ．2410．过点 P (0,1)且和 A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是() A ．y ＝1B ．2x ＋y －1＝0C ．y ＝1 或 2x ＋y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0 或 2x ＋y ＋1＝011. 直线 mx ＋ny ＋3＝0 在 y 轴上的截距为－3，而且它的倾斜角是直线 3x －y ＝3 3倾斜角的 2 倍，则 ()A ．m ＝－ 3，n ＝1B ．m ＝－ 3，n ＝－3C ．m ＝ 3，n ＝－3D ．m ＝ 3，n ＝10，7 12. 过点A 3 与B (7,0)的直线 l 1 与过点(2,1)，(3，k ＋1)的直线 l 2 和两坐标轴围成的四边 形内接于一个圆，则实数 k 等于 ()A ．－3B ．3C ．－6D ．6二、填空题13．若 O (0,0)，A (4，－1)两点到直线 ax ＋a 2y ＋6＝0 的距离相等，则实数 a ＝.14. 甲船在某港口的东 50 km ，北 30 km 处，乙船在同一港口的东 14 km ，南 18 km 处，那么甲、乙两船的距离是 ．15. 已知直线 l 与直线 y ＝1，x －y －7＝0 分别相交于 P 、Q 两点，线段 PQ 的中点坐标为(1， －1)，那么直线 l 的斜率为．16. 已知实数 x ，y 满足 y ＝－2x ＋8，当 2≤x ≤3 时，则y的最大值为．x三、解答题17. 已知点 M 是直线 l ： 3x －y ＋3＝0 与 x 轴的交点，将直线 l 绕点 M 旋转 30°，求所得到的直线 l ′的方程．18. 求直线 l 1：2x ＋y －4＝0 关于直线 l ：3x ＋4y －1＝0 对称的直线 l 2 的方程．19. 在△ABC 中，已知 A (5，－2)、B (7,3)，且 AC 边的中点 M 在 y 轴上，BC 边的中点 N 在x 轴上，求：(1) 顶点 C 的坐标； (2) 直线 MN 的方程．20. 如图，已知△ABC 中 A (－8,2)，AB 边上的中线 CE 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上的中线 BD 所在直线的方程为 2x －5y ＋8＝0， 求直线 BC 的方程．21. 光线沿直线 l 1：x －2y ＋5＝0 射入，遇直线 l ：3x －2y ＋7＝0 后反射，求反射光线所在的直线方程．22. 某房地产公司要在荒地 ABCDE (如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到 1 m 2)．－5＝0 答案1．A 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B 7．C 8．C 9．A 10．C 11．D 12.B 13．－2 或 4 或 6 14．60 km15．－23 16．217．解 在 3x －y ＋3＝0 中，令 y ＝0，得 x ＝－ 3，即 M (－ 3，0)．∵直线 l 的斜率 k ＝ 3，∴其倾斜角θ＝60°.若直线 l 绕点 M 逆时针方向旋转 30°，则直线 l ′的倾斜角为 60°＋30° ＝90°，此时斜率不存在，故其方程为 x ＝－ 3.若直线 l 绕点 M 顺时针方向旋转 30°，则直线 l ′的倾斜角为 60°－30°＝30°，此时斜率为 tan 30°＝ 3，故其方程为 y ＝ 3(x ＋ 3)，3 3 即 x － 3y ＋ 3＝0.综上所述，所求直线方程为 x ＋ 3＝0 或 x － 3y ＋ 3＝0.18．解 设直线 l 2 上的动点 P (x ，y )，直线 l 1 上的点 Q (x 0,4－2x 0)，且 P 、Q 两点关于直线 l ：3x ＋4y －1＝0 对称，则有|3x ＋4y －1| |3x 0＋4(4－2x 0)－1|＝ ， 5 5 y －(4－2x 0)＝4.x －x 03 消去 x 0，得 2x ＋11y ＋16＝0 或 2x ＋y －4＝0(舍)． ∴直线 l 2 的方程为 2x ＋11y ＋16＝0.5＋x 0，y 0－219．解 (1)设 C (x 0，y 0)，则 AC 中点 M 2 2 ，7＋x 0 y 0＋3，BC 中点 N 2 2 .∵M 在 y 轴上，∴5＋x 0＝0，x 0＝－5.2 ∵N 在 x 轴上，∴y 0＋3＝0，y 0＝－3，即 C (－5，－3)．2 (2)∵M 0，－52 ，N (1,0)．∴直线 MN x y 的方程为 ＋ 15＝1. － 2 即 5x －2y －5＝0.x 0－8y 0＋2 ，20. 解 设 B (x 0，y 0)，则 AB 中点 E 的坐标为 2 2 ，由条件可得：2x 0－5y 0＋8＝0x 0－8＋2·y 0＋2 ， 2 2205y 0＋8＝0 得 ， x 0＋2y 0－14＝0x 2 x 0＝6 y 0＝4，即 B (6,4)，同理可求得 C 点的坐标为(5,0)．故所求直线 BC 的方程为y －0＝x －5，即 4x －y －20＝0.4－0 6－521. 解 设直线 x －2y ＋5＝0 上任意一点 P (x ，y )关于直线 l 的对称点为 P ′(x ，y )，则y 0－y＝－2，30 0x ＋x 0，y ＋y 0x 0－x又 PP ′的中点 Q 2 2 在l 上， ∴3 x ＋x 0 y ＋y 0× －2× 2 2 ＋7＝0，y 0－y ＝－2，x 0－x3 由 3×x ＋x 0－(y ＋y )＋7＝0.2 可得 P 点的坐标为x 0＝－5x ＋12y －42，y 0＝12x ＋5y ＋28，13 13代入方程 x －2y ＋5＝0 中，化简得 29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为 29x －2y ＋33＝0.22. 解 在线段 AB 上任取一点 P ，分别向 CD 、DE 作垂线划出一块长方形土地，以 BC ，EA的交点为原点，以 BC ，EA 所在的直线为 x 轴，y 轴，建立直角坐标系，则 AB 的方程为 x ＋ y＝1，30 20 x ，20－2x设 P 3 ，则长方形的面积20－2xS ＝(100－x ) 80－ 3 (0≤x ≤30)．化简得 S ＝－2x 2＋20＋6 000(0≤x ≤30)．3 3 当 x ＝5，y 50＝ 时，S 最大，其最大值为 6 017 m .3章末检测一、选择题1.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0 表示的图形是( )A．以(a，b)为圆心的圆B．以(－a，－b)为圆心的圆C．点(a，b)D．点(－a，－b)2．点P(m,3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2 的位置关系为( ) A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．与m 的值有关3.空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和B(x，－1,6)的距离为86，则x 的值为( )A．2 B．－8C．2 或－8 D．8 或－24.若直线x－y＋1＝0 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公共点，则实数a 的取值范围是( )A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)5.设A、B 是直线3x＋4y＋2＝0 与圆x2＋y2＋4y＝0 的两个交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A．4x－3y－2＝0 B．4x－3y－6＝0C．3x＋4y＋6＝0 D．3x＋4y＋8＝06．圆x2＋y2－4x＝0 过点P(1，3)的切线方程为( ) A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝07.对任意的实数k，直线y＝kx＋1 与圆x2＋y2＝2 的位置关系一定是( )A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心8.已知圆O：x2＋y2＝5 和点A(1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A．5 B．10 C.252D.2549．将直线2x－y＋λ＝0 沿x 轴向左平移1 个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0 相切，则实数λ的值为( )A．－3 或7 B．－2 或8 C．0 或10 D．1 或1110．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l 是过点P(3,0)的直线，则( ) A．l 与C 相交B．l 与C 相切C．l 与C 相离D．以上三个选项均有可能11．若直线mx＋2ny－4＝0(m、n∈R，n≠m)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0 的周长，则mn 的取值范围是( )A．(0,1) B．(0，－1)C．(－∞，1) D．(－∞，－1)12．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25 的切线l，直线m：ax－3y＝0 与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( )A．4 B．2 C.85D.125二、填空题13.与直线2x＋3y－6＝0 关于点(1，－1)对称的直线方程为．14.过点P(－2,0)作直线l 交圆x2＋y2＝1 于A、B 两点，则|PA|·|PB|＝.15.若垂直于直线2x＋y＝0，且与圆x2＋y2＝5 相切的切线方程为ax＋2y＋c＝0，则ac 的值为．16.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三、解答题17.自点A(－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0 相切，求光线l 所在直线的方程．18.已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0 与直线x＋2y－3＝0 相交于P，Q 两点，O 为原点，若OP⊥OQ，求实数m 的值．19．已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m∈R)．(1)求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上；(2)与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；(3)求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．20.如图，已知圆O：x2＋y2＝1 和定点A(2,1)，由圆O 外一点P(a，b向圆O 引切线PQ，切点为Q，且有|PQ|＝|PA|.(1)求a、b 间关系；(2)求|PQ|的最小值；(3)以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．1＋k 2答案章末检测1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．D 7．C 8．D 9．A 10．A 11．C 12．A 13．2x ＋3y ＋8＝0 14．3 15．±5 16.4 317. 解 如图所示，已知圆 C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0 关于 x 轴对称的圆为 C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心 C 1 的坐标为(2，－2)，半径为 1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆 C 1 相切．设l 的方程为 y －3＝k (x ＋3)，即 kx －y ＋3＋3k ＝0. 则|5k ＋5|＝1，即 12k 2＋25k ＋12＝0.∴k 1＝－4，k 2＝－3.3 4则 l 的方程为 4x ＋3y ＋3＝0 或 3x ＋4y －3＝0.18. 解 设P ，Q 两点坐标为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，由 OP ⊥OQ 可得 x 1x 2＋y 1y 2＝0， x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0， 由x ＋2y －3＝0， 可得 5y 2－20y ＋12＋m ＝0.①所以 y 1y 2＝12＋m，y 1＋y 2＝4.5 又 x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2)＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝9－24＋4(12＋m )，5所以 x 1x 2＋y 1y 2＝9－24＋4(12＋m )＋12＋m ＝0，5 5 解得 m ＝3.将 m ＝3 代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0，可知 m ＝3 满足题意，即 3 为所求 m 的值．19．(1)证明 配方得：(x －3m )2＋[y －(m －1)]2＝25，设圆心为(x ，y )，x ＝3m 则 ， y ＝m －1消去 m 得 x －3y －3＝0，则圆心恒在直线 l ：x －3y －3＝0 上．10 22＋12( (2) 解 设与 l 平行的直线是 l 1：x －3y ＋b ＝0，则圆心到直线 l 1 的距离为 d ＝|3m －3(m －1)＋b | |3＋b |∵圆的半径为 r ＝5，∴当 d <r ，即－5 10－3<b <5 10－3 时，直线与圆相交； 当 d ＝r ，即 b ＝±5 10－3 时，直线与圆相切；当 d >r ，即 b <－5 10－3 或 b >5 10－3 时，直线与圆相离．(3) 证明 对于任一条平行于 l 且与圆相交的直线 l 1：x －3y ＋b ＝0，由于圆心到直线 l 1 的距离 d |3＋b |弦长＝2 r 2－d 2且 r 和 d 均为常量．∴任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等． 20．解 (1)连接 OQ 、OP ，则△OQP 为直角三角形，又|PQ |＝|PA |，所以|OP |2＝|OQ |2＋|PQ |2＝1＋|PA |2，所以 a 2＋b 2＝1＋(a －2)2＋(b －1)2，故 2a ＋b －3＝0.(2)由|PQ |2＝|OP |2－1＝a 2＋b 2－1＝a 2＋9－12a ＋4a 2－1＝5a 2－ 12a ＋8＝5(a －1.2)2＋0.8，得|PQ |min ＝2 5.5 (3)以 P 为圆心的圆与圆 O 有公共点，半径最小时为与圆 O 相切的情形，而这些半径的最小值为圆 O 到直线 l 的距离减去圆 O 的半径，圆心 P 为过原点且与 l 垂直的直线 l ′与 l 的交点 P 0，所以 r ＝ 3 －1＝3 5－1，5 又 l ′：x －2y ＝0，联立 l ：2x ＋y －3＝0 得 P 0(6，3)．5 5 所以所求圆的方程为(x －6)2＋(y －3)2＝ 3 5－1)2.5 5 510 10＝ .＝ ，。
2020-2021天津汇森中学高中必修二数学下期末试题(含答案)
2020-2021天津汇森中学高中必修二数学下期末试题(含答案)一、选择题1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =A ．5B ．7C ．9D ．112．如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =u u u v u u u v ，4AD AC ⋅=u u u v u u u v，则AB BC ⋅=u u u v u u u vA ．-45B ．13C ．-13D ．-373．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥4．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．53B ．103C ．56D ．1166．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -4）=f （x ），且在区间[0，2]上f （x ）=x ，若关于x 的方程f （x ）=log a |x |有六个不同的根，则a 的范围为（ ） A ．()6,10B ．()6,22C ．()2,22D ．（2，4）7．已知集合 ，则A ．B ．C ．D ．8．C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b r 满足2a AB =u u u r r ，C 2a b A =+u u u r r r ，则下列结论正确的是（ ）A ．1b =rB ．a b ⊥r rC ．1a b ⋅=r rD ．()4C a b +⊥B u u u r rr9．若,αβ均为锐角，25sin α=()3sin 5αβ+=，则cos β=A ．25B ．2525C ．25或2525D ．2525-10．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 211．在ABC V 中，已知,2,60a x b B ===o，如果ABC V 有两组解，则x 的取值范围是( )A ．432⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，B ．4323⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．432⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D ．432,⎛⎤⎥ ⎝⎦12．已知函数21(1)()2(1)a x x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-二、填空题13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 14．已知a 0>，b 0>，且111a b +=，则b3a 2b a++的最小值等于______． 15．若(2,1)x ∃∈--，使不等式()24210x xm m -++>成立，则实数m 的取值范围为________. 16．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．17．设，则________18．若a 10=12，a m =22，则m =______． 19．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________．20．如图，某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为________．三、解答题21．解关于x 的不等式2(1)10()ax a x a R -++>∈.22．已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且该函数图象上的最低点的纵坐标为3-． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间及对称轴方程． 23．已知圆O ：x 2+y 2=2，直线．l ：y=kx-2． （1）若直线l 与圆O 相切，求k 的值；（2）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB 为锐角时，求k 的取值范围；（3）若1k 2=，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点为C ，D ，探究：直线CD 是否过定点．24．已知函数()sin()(0,0)3f x A x A πωω=+>>的部分图象如图所示.（1）求A 和ω的值；（2）求函数()y f x =在[0,]π的单调增区间；（3）若函数()()1g x f x =+在区间(,)a b 上恰有10个零点，求b a -的最大值.25．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点．（1）求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证:1C F ∥平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -体积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 2．D解析：D 【解析】 【分析】先用AB u u u v 和AC uuu v表示出2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，再根据，12BD DC =u u u v u u u v 用用AB u u u v 和AC uuu v 表示出AD u u u v，再根据4AD AC ⋅=u u u v u u u v 求出A AB C ⋅u u u v u u u v 的值，最后将A AB C ⋅u u u v u u u v 的值代入2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，，从而得出答案．【详解】()2 A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，∵12BD DC =u u u v u u u v ，∴111B C ?C B 222AD A A AD AD A AD A -=-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v（），整理可得：12 AB 33AD AC +u u u v u u u v u u u v＝， 221A A 433AD AC AB C C ∴⋅⋅+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ＝∴ A =-12AB C ⋅u u u v u u u v ， ∴2 =A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ．，故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．3．B解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.4．D解析：D 【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．解析：A 【解析】 【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ， 依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.6．A解析：A 【解析】由()4f x f x -=（）得：4T =，当010]x ∈（，时，函数的图象如图：()()()26102f f f ===，再由关于x 的方程()log a f x x =有六个不同的根，则关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，可得log 62 log 102a a<⎧⎨>⎩，解得610a ∈（，），故选A.点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出()f x 的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于a 的不等式，解得即可.解析：D 【解析】 试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D.【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.8．D解析：D 【解析】试题分析：2,2AB a AC a b ==+u u u r u u u r r Q rr ,AC AB b ∴=+u u u r u u u r r ,b AC AB BC ∴=-=u u u r u u u r u u u r r ．由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭or r r r r ．()()2422a b BC AB BC BC AB BC BC∴+⋅=+⋅=⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r 212cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭o u u u r u u u r ．()4a b BC ∴+⊥u u u r r r ．故D 正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．9．B解析：B 【解析】 【分析】利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之． 【详解】∵α为锐角，252sin α= s ，∴α＞45°且5cos α= ， ∵()3sin 5αβ+=，且13225＜ ，2παβπ∴+＜＜，∴45cosαβ+=-（） ， 则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα453252555=-+= 故选B. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．10．D解析：D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π12）=cos （2x +π6）=sin （2x +2π3）的图象，即曲线C 2， 故选D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.11．A解析：A 【解析】 【分析】已知,,a b B ，若ABC V 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得2x <<故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC V 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 12．C 解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a af x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．二、填空题13．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni解析：18 【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．14．11【解析】分析：构造基本不等式模型化简整理应用基本不等式即可得出答案详解：当且仅当时取等号的最小值等于11故答案为11点睛：本题考查基本不等式的性质与应用同时考查了整体思想与转化思想的运用解析：11 【解析】分析：构造基本不等式模型1132()(32)b ba b a b a a b a++=+++，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案. 详解：Q111a b+=， ∴1132()(32)53()b b b a a b a b a a b a a b++=+++=++ Q 0a >，0b >，∴0b a >，0ab>， ∴2b aa b+≥，当且仅当2a b ==时取等号. 325611ba b a++≥+=.∴32ba b a++的最小值等于11. 故答案为11.点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用.15．【解析】【分析】令将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题即可求得参数范围【详解】令由可得则问题等价于存在分离参数可得若满足题意则只需令令则容易知则只需整理得解得故答案为：【点睛】本题考查由存在性问题 解析：()4,5-【解析】 【分析】令2x t =，将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题，即可求得参数范围. 【详解】令2x t =，由(2,1)x ∃∈--可得11,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()24210x x m m -++> 则问题等价于存在11,42t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()2210m m t t -++>， 分离参数可得221t m m t +->-若满足题意，则只需221mint m m t +⎛⎫->- ⎪⎝⎭，令()22111t h x t t t +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，令1m t =，()2,4m ∈则()2,2,4y m m m =--∈，容易知41620min y =--=-，则只需220m m ->-，整理得2200m m --<， 解得m ∈()4,5-. 故答案为：()4,5-. 【点睛】本题考查由存在性问题求参数值，属中档题.16．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴Q设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值17．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1 【解析】 【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】， ，所以，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．18．5【解析】解析：5 【解析】10521,52a a m ==== 19．【解析】【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象 解析：30【解析】 【分析】先找出线面角，运用余弦定理进行求解 【详解】连接1AB 交1A B 于点D ，取11B C 中点E ，连接DE ，则1DE AC P ，连接1A E1A DE ∴∠为异面直线1A B 与1AC 所成角在111Rt AC B n 中，111AC =，1111122C E C B ==12A E ∴=,同理可得1A D =DE =2221cos 10A DE +-∠==, ∴异面直线1A B 与1AC【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题．20．【解析】【分析】由三视图知几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2得到圆锥的高利用圆锥体积公式得到结果【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2∴圆锥的高是∴几何体的体积是解析：6【解析】 【分析】由三视图知几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，得到圆锥的高，利用圆锥体积公式得到结果． 【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，=∴几何体的体积是211132π⨯⨯⨯=，故答案为6【点睛】本题考查由三视图还原几何图形，考查圆锥的体积公式，属于基础题.三、解答题21．a ＜0时，不等式的解集是（1a，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）； 1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1a，+∞）；a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1a）∪（1，+∞）．【解析】 【分析】讨论a 与0的大小，将不等式进行因式分解，然后讨论两根的大小，即可求出不等式的解集． 【详解】当0a =时，原不等式可化为10x -+>，所以原不等式的解集为{|1}x x <. 当0a ≠时，判别式()()22141a a a ∆=+-=-.（1）当1a =时，判别式0∆=，原不等式可化为2210x x -+>， 即()210x ->，所以原不等式的解集为{|1}x x ≠. （2）当0a <时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，此时11a<，所以原不等式的解集为1{|1}x x a <<.（3）当01a <<时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，此时11a >，所以原不等式的解集为1{|1}x x x a或. （4）当1a >时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，此时11a<， 所以原不等式的解集为1{|1}x xx a或. 综上，a ＜0时，不等式的解集是（1a，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）； 1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1a，+∞）； a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1a）∪（1，+∞）． 【点睛】本题主要考查了含有字母系数的不等式求解问题，解题的关键是确定讨论的标准，属于中档题．22．（1）()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）增区间是()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，对称轴为()122k x k ππ=+∈Z 【解析】 【分析】（1）由周期求得ω，再由函数图象上的最低点的纵坐标为﹣3求得A ，则函数解析式可求；（2）直接利用复合函数的单调性求函数f （x ）的单调递增区间，再由2x 32k πππ+=+求解x 可得函数f （x ）的对称轴方程．【详解】（1）因为()f x 的最小正周期为π 因为，0>ω，2T ππω==，∴22πωπ==．又函数()f x 图象上的最低点纵坐标为3-，且0A > ∴3A = ∴()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）由222,232k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ，可得5,1212k x k k ππππ-≤≤+∈Z 可得()f x 单调递增区间()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 由232x k πππ+=+，得()122k x k ππ=+∈Z ． 所以函数()f x 的对称轴方程为()122k x k ππ=+∈Z ． 【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查y ＝A sin （ωx +φ）型函数的性质，是基础题．23．（1）k=±1；（2）（1-）∪（13）直线CD 过定点（112-，）． 【解析】 【分析】（1）由直线l 与圆O 相切，得圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径，由此能求出k ．（2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将直线l ：y=kx-2代入x 2+y 2=2，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k 的取值范围．（3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上，设P （t ，122t -），其方程为221202x tx y t y ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭，C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上，求出直线CD ：（x+y 2）t-2y-2=0，联立方程组能求出直线CD 过定点（1,12-）． 【详解】解：（1）∵圆O ：x 2+y 2=2，直线l ：y=kx-2．直线l 与圆O 相切， ∴圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径， 即=，解得k=±1．（2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将直线l ：y=kx-2代入x 2+y 2=2，整理，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0， ∴1224k x x 1k +=+，1222x x 1k=+， △=（-4k ）2-8（1+k 2）＞0，即k 2＞1， 当∠AOB 为锐角时，OA OB ⋅u u u r u u u r=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1-2）（kx 2-2）=()()212121kx x2k x x 4+-++=2262k 1k -+＞0， 解得k 2＜3，又k 2＞1，∴k 1-＜或1＜k． 故k 的取值范围为（1-）∪（1（3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， 设P （t ，1t 22-），其方程为x （x-t ）+y （y 1t 22-+）=0， ∴221x tx y t 2y 02⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭，又C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上， 两圆作差得l CD ：tx+1t 2y 202⎛⎫--=⎪⎝⎭，即（x+y 2）t-2y-2=0，由y 0{?2220x y +=+=，得1{?21x y ==-， ∴直线CD 过定点（112-，）． 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 24．（1）2A =，2ω=;（2）[0,]12π和7[,]12ππ;（3）173π. 【解析】【试题分析】（1）直接依据图像中所提供的数据信息可得2243124TA πππω==-=，，进而求出2ω=；（2）依据正弦函数的单调区间解不等式222232k x k πππππ-≤+≤+求出单调增区间51212x k ππππ-≤≤+，（k Z ∈），然后求出函数()y f x =在[]0,π的单调增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）先求出函数()2sin 213f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭中的512x k ππ=+或34x k ππ=+（k Z ∈），进而借助周期性求出b a -的最大值为217533T ππ+=。
高中数学必修二 北京市丰台区 — 学年度 高一下学期期末练习数学试题(含答案)
【答案】
【解析】
【分析】
先求解出分层抽样的抽样比，然后根据每一层入样的个体数等于该层个体数乘以抽样比，由此可计算出结果 .
【详解】因为分层抽样的抽样比为 ，
9.如图所示，在复平面内，复数 ， 所对应的点分别为A，B，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 并结合复数的几何意义得到 的表示.
【详解】因为 ， 与 对应， 与 对应，
所以 ，
故选：C.
【点睛】本题考查复数的几何意义的简单运用，难度较易.复数 和复平面内的点 一一对应，同时复数 和平面向量 也一一对应.
丰台区2019~2020学年度第二学期期末练习
高一数学
注意事项：
1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码．
2．本次考试所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据球与正方体位置关系，分析出球 半径，由此球的体积可求.
【详解】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的 ，
所以球的半径为 ，所以球的体积为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查根据正方体与球的相切关系求球的体积，难度较易.当球内切于正方体时，球的半径为正方体棱长的 ；当球外接于正方体时，球的半径为正方体棱长的 .
【压轴题】高中必修二数学下期末试题带答案
【压轴题】高中必修二数学下期末试题带答案一、选择题1．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3 D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3 2．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m3．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则(1)(2)f +f (3)(2020)f f +++=L （ ）A ．50B ．2C ．0D ．50-4．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 25．已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是 A ．11()()22ab>B ．ln ln a b >C ．11a b> D ．11ln ln a b> 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．607．设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称8．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2018年天津卷文）设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为 A ．6B ．19C ．21D ．4510．若tan()24πα+=，则sin cos sin cos αααα-=+（ ）A ．12B ．2C ．2-D ．12-11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UB ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>二、填空题13．已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移()0m m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为________. 14．奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 剟时，()21x f x =-，则()2log 11f =______.15．对于函数()f x ，()g x ，设(){}0m x f x ∈=，(){}0n x g x ∈=，若存在m ，n 使得1m n -<，则称()f x 与()g x 互为“近邻函数”.已知函数()()13log 2exf x x -=+-与()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是______.（e 是自然对数的底数）16．关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．17．已知点()M a b ，在直线3415x y +＝_______． 18．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________．19．在△ABC 中，85a b ==，，面积为12，则cos 2C =______．20．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＋1，则当x<0时，f(x)＝________.三、解答题21．某市为了考核甲，乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲，乙两部门评分的中位数； （2）分别估计该市的市民对甲，乙两部门的评分高于90的概率； （3）根据茎叶图分析该市的市民对甲，乙两部门的评价．22．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围.23．从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如下： 甲 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6 乙10986879788(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差； (2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛．24．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；25．如图所示，一座小岛A 距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一城镇B .一年青人从小岛A 出发，先驾驶小船到海岸线上的某点C 处，再沿海岸线步行到城镇B .若PAC θ∠=，假设该年青人驾驶小船的平均速度为2/km h ，步行速度为4/km h .（1）试将该年青人从小岛A 到城镇B 的时间t 表示成角θ的函数； （2）该年青人欲使从小岛A 到城镇B 的时间t 最小，请你告诉他角θ的值. 26．已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差2．B解析：B 【解析】 【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D . 【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确；//l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.3．C解析：C 【解析】 【分析】利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，()32f =-，()40f =，问题得解.【详解】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数， 所以()()f x f x -=-且()00f = 又(1)(1)f x =f +x -所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦ 所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦ 所以函数()f x 的周期为4，在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=- 在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-= 所以(1)(2)f +f ()()()()2020(3)(2020)12344f f f f f f ⎡⎤+++=⨯+++⎣⎦L 50500=⨯=故选C 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．4．D解析：D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π12）=cos （2x +π6）=sin （2x +2π3）的图象，即曲线C 2， 故选D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.5．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项. 【详解】依题意01a b <<<，由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为定义域上的减函数，故11()()22a b >，故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数，故ln ln 0a b <<，则11ln ln a b>，所以B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于01a b <<<，故11a b>，所以C 选项不等式成立.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322S =⨯⨯= ∴三棱锥体积：1115410332V Sh ==⨯⨯=本题正确选项：B 【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.7．D解析：D 【解析】()sin(2)cos(2)2)22442f x x x x x πππ=+++=+=, 由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.8．D解析：D 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，可得出结论. 【详解】函数()lg f x x x =的定义域为{}0x x ≠，定义域关于原点对称，()()lg lg f x x x x x f x -=--=-=-，函数()y f x =为奇函数，排除A 、C 选项；当01x <<时，lg 0x <，此时()lg 0f x x x =<，排除B 选项. 故选：D. 【点睛】本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.9．C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：51x y x y +=⎧⎨-+=⎩，可得点A 的坐标为：()2,3A ，据此可知目标函数的最大值为：max 35325321z x y =+=⨯+⨯=.本题选择C 选项.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.10．D解析：D 【解析】 由tan()24πα+=有tan 112,tan 1tan 3ααα+==-，所以11sin cos tan 1131sin cos tan 1213αααααα---===-+++，选D.点睛：本题主要考查两角和的正切公式以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题。
高中数学必修二期末试卷及答案
一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．在直角坐标系中，已知A(－1，2)，B(3，0)，那么线段AB中点的坐标为中点的坐标为(()．A．(2，2)B．(1，1)C．(－2，－2)D．(－1，－1) 2．右面三视图所表示的几何体是．右面三视图所表示的几何体是(()．A．三棱锥．三棱锥B．四棱锥．四棱锥C．五棱锥．五棱锥D．六棱锥．六棱锥3．如果直线x＋2y－1＝0和y＝kx互相平行，则实数k的值为的值为(()．A．2 B．21C．－2 D．－214．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为(()．A．1 B．2 C．3 D．4 5．下面图形中是正方体展开图的是．下面图形中是正方体展开图的是(()．6．圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的圆心坐标是的圆心坐标是(()．A．(－2，4) B．(2，－4) C．(－1，2) D．(1，2)7．直线y＝2x＋1关于y轴对称的直线方程为轴对称的直线方程为(()．A．y＝－2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－1 D．y＝－x－1 8．已知两条相交直线a，b，a∥平面 a，则b与a 的位置关系是的位置关系是(()．A．bÌ平面a B．b⊥平面aC．b∥平面a D．b与平面a相交，或b∥平面a9．在空间中，a，b是不重合的直线，a，b是不重合的平面，则下列条件中可推出是不重合的平面，则下列条件中可推出a∥b的是的是(()．A．aÌa，bÌb，a∥b B．a∥a，bÌbC．a⊥a，b⊥a D．a⊥a，bÌa10．圆x2＋y2＝1和圆x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系是的位置关系是(()．正视图正视图 侧视图侧视图俯视图俯视图(第2题)11．如图，正方体ABCD —A'B'C'D'中，直线D'A 与DB 所成的角可以表示为所成的角可以表示为(( )． A ．∠D'DB B ．∠AD' C' C ．∠ADBD ．∠DBC'12． 圆(x －1)2＋(y －1)2＝2被x 轴截得的弦长等于轴截得的弦长等于(( )． A ． 1 B ．23C ． 2 D ． 3 13．如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是中点，则下列叙述正确的是(( )．A ．CC 1与B 1E 是异面直线是异面直线 B ．AC ⊥平面A 1B 1BAC ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E14．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 4 cm cm ，高为12 12 cm cm ．现要为100个这种相同规格的笔筒涂色个这种相同规格的笔筒涂色((笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计要涂色，笔筒厚度忽略不计))． 如果每0.5 kg 涂料可以涂1 m 2，那么为这批笔筒涂色约需涂料．，那么为这批笔筒涂色约需涂料．A ．1.23 kg B ．1.76 kg C ．2.46 kg D ．3.52 kg 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．分．把答案填在题中横线上． 15．坐标原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为的距离为 ．16．以点A (2，0)为圆心，且经过点B (－1，1)的圆的方程是 ．17．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1——ABCD 的体积与长方体的体积之比为_______________．18．在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_______________________________________．三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．已知直线l 经过点经过点((0，－2)，其倾斜角是60°． (1)求直线l 的方程；的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积．与两坐标轴围成三角形的面积． 20．如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ， AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点．的中点．(1)求证：DE ∥平面P AC ；CBAD A ¢ B ¢C ¢D ¢(第11题)A 1 B 1 C 1 ABEC(第13题)ABC DD1 C 1 B 1 A 1 (第17题)ACPE(2)求证：AB ⊥PB ；21．已知半径为5的圆C 的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．相切． (1)求圆C 的方程；的方程；(2)设直线ax －y ＋5＝0与圆C 相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；的取值范围；(3) 在(2)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．存在，请说明理由．22．为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)且圆心C 在直线L:x-y+1=0上，求圆心为C 的圆的标准方程 23.知圆22:68210C x y x y +--+=和直线:430l kx y k --+=．⑴ 证明：不论证明：不论k 取何值，直线l 和圆C 总相交；总相交；⑵ 当当k 取何值时，圆C 被直线l 截得的弦长最短？并求最短的弦的长度截得的弦长最短？并求最短的弦的长度24知圆C 同时满足下列三个条件：①与y 轴相切;②在直线y =x 上截得弦长为27;③圆心在直线x －3y =0上. 求圆C 的方程. 25，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE 的中点，求证：(1) FD ∥平面ABC; (2) AF ⊥平面EDB.26．图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是CB 、CD 、CC 1的中点，的中点， （1） 求证：平面A B 1D 1∥平面EFG; （2） 求证：平面AA 1C ⊥面EFG.F EDCBAM FGE C1D1A1B1DC ABPD 1B 1D B。
高中数学必修二期末考试试卷(三)(含答案解析)
高中数学必修二期末考试试卷（三）（含答案解析）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.直线l 经过原点和(1，－1)，则l 的倾斜角是( ) A.45° B.－45° C.135° D.45°和135° 答案 C解析 ∵直线l 经过坐标原点和点(1，－1)，∴直线l 的斜率k ＝－11＝－1，∴直线l 的倾斜角α＝135°，故选C.2.已知过点M (－2，a )，N (a,4)的直线的斜率为－12，则|MN |等于( )A.10B.180C.6 3D.6 5考点 两点间的距离公式 题点 求两点间的距离 答案 D 解析 k MN ＝a －4－2－a＝－12，解得a ＝10，即M (－2,10)，N (10,4)，所以|MN |＝(－2－10)2＋(10－4)2＝65，故选D.3.设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A.k ≥34或k ≤－4B.－4≤k ≤34C.－34≤k ≤4D.以上都不对考点 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 题点 倾斜角和斜率关系的其他应用 答案 A解析 建立如图所示的直角坐标系.由图可得k ≥k PB 或k ≤k P A .∵k PB ＝34，k P A ＝－4，∴k ≥34或k ≤－4.4.若光线从点P (－3,3)射到y 轴上，经y 轴反射后经过点Q (－1，－5)，则光线从点P 到点Q 走过的路程为( ) A.10 B.5＋17 C.4 5D.217考点 对称问题的求法 题点 光路可逆问题 答案 C解析 Q (－1，－5)关于y 轴的对称点为Q 1(1，－5)，易知光线从点P 到点Q 走过的路程为|PQ 1|＝42＋(－8)2＝4 5.5.到直线3x －4y －1＝0的距离为2的直线方程是( ) A.3x －4y －11＝0B.3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0C.3x －4y ＋9＝0D.3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝0 答案 B解析 直线3x －4y －11＝0与3x －4y ＋9＝0到直线3x －4y －1＝0的距离均为2， 又因为直线3x －4y ＋11＝0到直线3x －4y －1＝0的距离为125，故不能选择A ，C ，D ，所以答案为B.6.过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A.－32 B.－23 C.25 D.2考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 答案 A解析 由两点式y －19－1＝x ＋13＋1，得y ＝2x ＋3，令y ＝0，得x ＝－32，即为在x 轴上的截距.7.若直线mx ＋ny ＋2＝0平行于直线x －2y ＋5＝0，且在y 轴上的截距为1，则m ，n 的值分别为( ) A.1和2 B.－1和2 C.1和－2D.－1和－2 考点 直线的一般式方程与直线的平行关系 题点 根据平行求参数的值答案 C解析 由已知得直线mx ＋ny ＋2＝0过点(0,1)，则n ＝－2，又因为两直线平行，所以－m n ＝12，解得m ＝1.8.若直线(2m －3)x －(m －2)y ＋m ＋1＝0恒过某个点P ，则点P 的坐标为( ) A.(3,5) B.(－3,5) C.(－3，－5) D.(3，－5)答案 C解析 方程(2m －3)x －(m －2)y ＋m ＋1＝0可整理得m (2x －y ＋1)－(3x －2y －1)＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，3x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5.故P (－3，－5).9.若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(－2,4)D.(4，－2)考点 对称问题的求法 题点 直线关于点的对称问题 答案 B解析 ∵l 1：y ＝k (x －4)过定点M (4,0)， 而点M 关于点(2,1)的对称点为N (0,2)， 故直线l 2过定点(0,2).10.直线y ＝ax ＋1a的图象可能是( )考点 直线的斜截式方程 题点 直线斜截式方程的应用 答案 B解析 根据斜截式方程知，斜率与直线在y 轴上的纵截距同正负.11.若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A.－1 B.1 C.12 D.－12考点 直线的一般式方程与直线的垂直关系 题点 根据垂直求参数的值 答案 B解析 由两直线垂直，得12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1，解得m ＝1. 12.已知直线x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且两者之间的距离是5，则m ＋n 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.2考点 两条平行直线间的距离公式及应用 题点 利用两条平行直线间的距离求参数的值 答案 B解析 由题意知，所给两条直线平行，∴n ＝－2. 由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|m ＋3|12＋(－2)2＝|m ＋3|5＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，∴m ＋n ＝0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.过点(－2，－3)且在x 轴，y 轴上的截距相等的直线方程为____________. 考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程 答案 x ＋y ＋5＝0或3x －2y ＝0解析 当直线过原点时，所求直线的方程为3x －2y ＝0；当直线不过原点时，所求直线的方程为x ＋y ＋5＝0.14.过两直线x －3y ＋1＝0和3x ＋y －3＝0的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________.答案 x ＝12或x －3y ＋1＝0解析 易求得两直线交点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，当斜率不存在时，显然直线x ＝12满足条件.当斜率存在时，设过该点的直线方程为y －32＝k ⎝⎛⎭⎫x －12， 化为一般式得2kx －2y ＋3－k ＝0， 因为直线与原点的最短距离为12，所以|3－k |4＋4k 2＝12，解得k ＝33，所以所求直线的方程为x －3y ＋1＝0.15.已知直线x －2y －2k ＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，则实数k 的取值范围是________________. 答案 [－1,0)∪(0,1]解析 令x ＝0，得y ＝－k ，令y ＝0，得x ＝2k ， ∴三角形的面积S ＝12|xy |＝k 2.又S ≤1，即k 2≤1.∴－1≤k ≤1.又当k ＝0时，直线过原点，与两坐标轴构不成三角形，故应舍去. ∴实数k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1].16.已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________. 考点 中点坐标公式 题点 求过中点的直线方程 答案 －23解析 设P (x,1)，则Q (2－x ，－3)，将点Q 的坐标代入x －y －7＝0，得2－x ＋3－7＝0. ∴x ＝－2，∴P (－2,1)，∴k l ＝－23.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知点M 是直线l ：3x －y ＋3＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，求所得直线l ′的方程. 考点 直线的一般式方程题点 求直线的一般式方程及各种方程的互化 解 在3x －y ＋3＝0中，令y ＝0，得x ＝－3， 即M (－3，0).∵直线l 的斜率k ＝3，∴其倾斜角θ＝60°. 若直线l 绕点M 逆时针方向旋转30°， 则直线l ′的倾斜角为60°＋30°＝90°， 此时斜率不存在，故其方程为x ＝－ 3.若直线l 绕点M 顺时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan 30°＝33， 故其方程为y ＝33(x ＋3)，即x －3y ＋3＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0.18.(12分)已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角的大小是60°. (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积.解 (1)由直线的点斜式方程得直线l 的方程为y ＋2＝tan 60°·x ，即3x －y －2＝0. (2)设直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为A ，B ， 令y ＝0得x ＝233；令x ＝0得y ＝－2.所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12×233×2＝233，故所求三角形的面积为233.19.(12分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程. 解 (1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0， 因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3， 即l 2：2x －y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.直线l 1与l 2的交点坐标为(2,1). (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x .当l 3不过原点时，设l 3的方程为x a ＋y2a ＝1(a ≠0)，又直线l 3经过l 1与l 2的交点， 所以2a ＋12a ＝1，得a ＝52，l 3的方程为2x ＋y －5＝0.综上，l 3的方程为x －2y ＝0或2x ＋y －5＝0.20.(12分)已知点A (5,1)关于x 轴的对称点为B (x 1，y 1)，关于原点的对称点为C (x 2，y 2). (1)求△ABC 中过AB ，BC 边上中点的直线方程； (2)求△ABC 的面积. 考点 中点坐标公式 题点 与中位线有关的问题解 (1)∵点A (5,1)关于x 轴的对称点为B (x 1，y 1)，∴B (5，－1)， 又∵点A (5,1)关于原点的对称点为C (x 2，y 2)， ∴C (－5，－1)，∴AB 的中点坐标是(5,0)，BC 的中点坐标是(0，－1).过(5,0)，(0，－1)的直线方程是y －0－1－0＝x －50－5， 整理得x －5y －5＝0.(2)易知|AB |＝|－1－1|＝2，|BC |＝|－5－5|＝10，AB ⊥BC ， ∴△ABC 的面积S ＝12|AB |·|BC |＝12×2×10＝10.21.(12分)已知直线l 1：y ＝－k (x －a )和直线l 2在x 轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线l 1过点P (－3,3).如果点Q (2,2)到直线l 2的距离为1，求l 2的方程. 考点 直线的一般式方程题点 求直线的一般式方程及各种方程的互化 解 由题意，可设直线l 2的方程为y ＝k (x －a )， 即kx －y －ak ＝0，∵点Q (2,2)到直线l 2的距离为1，∴|2k －2－ak |k 2＋1＝1，①又∵直线l 1的方程为y ＝－k (x －a )， 且直线l 1过点P (－3,3)，∴ak ＝3－3k .② 由①②得|5k －5|k 2＋1＝1，两边平方整理得12k 2－25k ＋12＝0，解得k ＝43或k ＝34.∴当k ＝43时，代入②得a ＝－34，此时直线l 2的方程为4x －3y ＋3＝0；当k ＝34时，代入②得a ＝1，此时直线l 2的方程为3x －4y －3＝0.综上所述，直线l 2的方程为4x －3y ＋3＝0或3x －4y －3＝0.22.(12分)已知直线l ：y ＝4x 和点P (6,4)，点A 为第一象限内的点且在直线l 上，直线P A 交x 轴的正半轴于点B ，(1)当OP ⊥AB 时，求AB 所在直线的方程；(2)求△OAB 面积的最小值，并求当△OAB 面积取最小值时点B 的坐标. 考点 点到直线的距离题点 与点到直线的距离有关的最值问题解 (1)∵点P (6,4)，∴k OP ＝23.又∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－32.∵AB 过点P (6,4)，∴直线AB 的方程为y －4＝－32(x －6)，化为一般式可得3x ＋2y －26＝0.(2)设点A (a,4a )，a >0，点B 的坐标为(b,0)，b >0，当直线AB 的斜率不存在时，a ＝b ＝6，此时△OAB 的面积S ＝12×6×24＝72.当直线AB 的斜率存在时，有4a －4a －6＝0－4b －6，解得b ＝5aa －1， 故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫5a a －1，0，故△OAB 的面积S ＝12·5a a －1·4a ＝10a 2a －1，即10a 2－Sa ＋S ＝0.①由题意可得方程10a 2－Sa ＋S ＝0有解， 故判别式Δ＝S 2－40S ≥0，∴S ≥40，故S 的最小值为40，此时①为a 2－4a ＋4＝0，解得a ＝2. 综上可得，△OAB 面积的最小值为40， 当△OAB 面积取最小值时，点B 的坐标为(10,0).。
高中数学必修二期末测习题二及答案
有德教育高中数学必修二期末测试题二一、选择题。
1．倾斜角为135，在y轴上的截距为1的直线方程是〔A．x y10 B ．x y10 C ．x y10D．2．原点在直线l上的射影是P(－2，1)，那么直线l的方程是〔A．x2y 0B．x2y4 0C．2x y50D．2xy33．如果直线l是平面的斜线，那么在平面内()A．不存在与l平行的直线B．不存在与l垂直的直C．与l垂直的直线只有一条D．与l平行的直线有无4．过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面〔A．只有一个B．至多有两个C．不一定有D．有无数个5．直线ax3y90与直线x3yb0关于原点对称，那么a,b的A．a=1，b=9B．a=－1，b=9C．a=1，b=－9D．a=－1，b=－96．直线y kx b上两点P、Q的横坐标分别为x1,x2，那么|PQ|为A．122．12x1k B x kx1x2Dx1x2C．2．17．直线l通过点(1，3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为有德教育A ．100cm B．208cm C．500cm D．33 33310．在体积为15的斜三棱柱ABC－A1B1C1中，S是C1C上的一点，S－ABC的体积为3，那么三棱锥S－A1B1C1的体积为〔〕A．1B．3C．2D．3211．点A(2,3)、B(3,2)直线l过点P(1,1)，且与线段AB相交，那么直线l的斜率的取值k范围是〔〕A．k3或k4B．k3或k1444C．4k3D．3k44412．过点〔1，2〕，且与原点距离最大的直线方程是〔〕A．x2y50B．2xy40C．x3y70二、填空题。
13．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是14．过点(－6，4)，且与直线x2y30垂直的直线方程是15．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，BC1与平面BB1D1D所成是．16．两点A(1,2)，B(2,1)，直线x2ym0与线段AB相那么m的取值范围是．17．如图，△ABC为正三角形，且直线BC的倾斜角是45°，那么有德教育20．正三棱台的上、下底边长为3和6．〔Ⅰ〕假设侧面与底面所成的角是60°,求此三棱台的体积；〔Ⅱ〕假设侧棱与底面所成的角是60°,求此三棱台的侧面积；21．在△ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为x2y10，为y 0，假设点B的坐标为〔1，2〕，求点A和点C的坐标．．22. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为棱AB的中点．〔Ⅰ〕AC1//平面B1MC；〔Ⅱ〕求证：平面D1B1C⊥平面B1MC．有德教育22．如图，射线OA、OB分别与x轴成45角和30角，过点P(1,交于A、B．〔Ⅰ〕当AB的中点为P时，求直线AB的方程；〔Ⅱ〕当AB的中点在直线y1x上时，求直线AB的方程．2必修2复习训练题二参考答案题号12345678答案D C A C D A A B 13．xy50，3x2y014．2xy16015．30°16．[4,5]17．105°；165°1819．x y 7 0和3x y 22 0．有德教育解得 a 5，b 6，即C的坐标为 (5,6)．22．〔Ⅰ〕MO//AC1；〔Ⅱ〕MO∥AC1，AC1⊥平面D1B1C，MO⊥平面D1B1C，平面D1B1C⊥23．解：〔Ⅰ〕由题意得，OA的方程为y x，OB的方程为y3B(3b,b)。
高中数学选择性必修二 高二数学上学期期末测试卷02()(无答案)
2021-2022学年上学期期末卷02高二数学(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅰ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教2019选择性必修第一册、选择性必修第二册第一章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．直线3450x y ++=与圆2210x y +=相交与A ，B 两点，则AB 的长等于（ ）． A ．3 B ．4 C ．6 D ．1 2．已知{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，若向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()3,2,1，则它在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（ ）． A ．15,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．51,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．151,,22⎛⎫⎪⎝⎭ D ．51,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭3．若方程22121x y m m -=++表示的曲线为C ，则（ ）A ．21m -<<-是C 为椭圆的充要条件B ．21m -<<-是C 为椭圆的充分条件 C ．0m >是C 为双曲线的充分不必要条件D ．0m >是C 为双曲线的必要不充分条 4．圆22:68240C x y x y ++-+=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ）A ．()()22431x y -++= B ．()()224349x y -+-= C ．()()22431x y ++-= D ．()()224349x y +++= 5．在数列{n a }中，1a =2，11n n n a a a +=-，2022a =（ ）A ．2B ．1C ．12D ．－16．直线:l y x m =-+与曲线x =m 的取值范围是（ ）．A．2,⎡-⎣ B．(2⎤--⎦ C．(2⎤-⎦ D．2,⎡⎣7．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，直线AC 与1BC 之间的距离是（ ）ABC ．12D ．138．已知点F 为抛物线C ：24y x =的焦点，点()1,0F '-，若点Р为抛物线C 上的动点，当PF PF'取得最大值时，点P 恰好在以F ，F '为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12 BC1 D1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC 和CD 的中点，则（ ）A ．1A D 与11B D 是异面直线B ．1A D 与EF 所成角的大小为45︒C ．1A F 与平面1B EB 所成角的余弦值为13D ．二面角11C D B B --10．圆221:20x y x O +-=和圆222:280O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ） A ．公共弦AB 所在直线方程为20x y -= B ．线段AB 中垂线方程为220x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB1 11．等差数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和为n S .现有下列命题，其中是真命题的有（ ）A ．若n S 有最大值，则数列{}n a 的公差小于0B ．若6130a a +=，则使0n S >的最大的n 为18C ．若90a >，9100a a +<，则{}n S 中9S 最大D ．若90a >，9100a a +<，则数列{}n a 中的最小项是第9项12．双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段AB 长度为2a ，动点M 满足2MA MB a ⋅=，那么M 的轨迹称为双纽线.已知曲线1C 为双纽线，下列选项判断正确的是（ ） A ．曲线C 过点()0,0B．曲线C上的点的纵坐标的取值范围是⎡⎣C ．曲线C 关于x 轴对称D ．P 为曲线C 上的动点，,A B 的坐标为()0,1和()0,1-，则PAB △面积的最大值为2第Ⅰ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线1:230l ax y +-=与()2:3140l x a y +-+=，若12l l ⊥，则实数a 的值为______．14．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且105113S S =，则105a a =______． 15．已知()()1,1,0,1,0,2ab ==-，且ka b +与2a b -的夹角为钝角，则实数k 的取值范围为_____． 16．已知点P 为抛物线C ：2y x 上的动点，过点P 作圆M ：22(2)1x y +-=的一条切线，切点为A ，则PA PM⋅的最小值为____________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知直线1:260l x y -+=和2:10l x y-+=的交点为P ．（1）若直线l 经过点P 且与直线343:50x y l --=平行，求直线l 的方程；（2）若直线m 经过点P 且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m 的方程．18.（本小题满分12分）问题：平面直角坐标系xOy 中，圆C 过点A （6，0），且___________. （在以下三个条件中任选一个，补充在横线上.）①圆心C 在直线:2780l x y -+=上，圆C 过点B （1，5）；②圆C 过点(1,5)B 和(5,1)D -；③圆C 过直线:3580l x y +-=和圆226160x y y ++-=的交点. （1）求圆C 的标准方程；（2）求过点A 的圆C 的切线方程.19.（本小题满分12分）已知在数列{}n a 中，11a =-，且()13232,n n a a n n n +-=-+≥∈N .（1）求2a ，3a ，并证明数列{}n a n -是等比数列；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求12n a a a ++⋅⋅⋅+的值.20.（本小题满分12分）如图1，在四边形ABCD 中，//,222AD BC AD AB BC CD ===，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起至A BE'的位置，使得二面角A BE C '--的大小为120︒（如图2），M ，N 分别是,'A D BC 的中点． （1）证明：MN ∥平面A BE '．（2）求二面角A BD C '--的余弦值．21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足2112312222n n a a a a n -+++⋅⋅⋅+=，21log n n n a b a +=-，*N n ∈. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设112(2)n n n n n c b b +++=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：14n T <.22.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，动点Р与定点F (2，0)的距离和它到定直线l ：32x =P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）设过点A0)两条互相垂直的直线分别与曲线E 交于点M ，N (异于点A )，求证：直线MN 过定点.。
高中数学必修二 期末考测试(提升)(含答案)
期末考测试(提升)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)1．(2021·浙江)如图，正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A ．2+B ．8C ．6D ．2+【答案】B【解析】由题意O B ''OABC 中，1OA BC ==，OB =OB OA ⊥，所以3OC AB ==， 所以四边形的周长为：2(13)8⨯+=． 故选：B ．2．(2021·全国· 专题练习 )复数21i-(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B【解析】化简可得21z i =-()()()21111i i i i +==+-+，∴21i-的共轭复数1z i =-，故选：B ． 3．(2021·黑龙江·哈尔滨三中高一月考)如图，向量AB a =，AC b =，CD c =，则向量BD 可以表示为( )A ．a b c +-B ．a b c -+C ．b a c -+D ．b a c --【答案】C【解析】依题意BD AD AB AC CD AB =-=+-，即BD b a c =-+，故选：C.4．(2021·全国·专题练习)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，始与岸齐，问水深、葭长各几何？”意思是说：“有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面．问水有多深？芦苇多长？”该题所求的水深为( ) A ．12尺 B ．10尺 C ．9尺 D ．14尺【答案】A【解析】设水深为x 尺，依题意得()22215x x +-=，解得12x =．因此，水深为12尺.故选：A.5．(2021·内蒙古·集宁一中)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，cC =A ．π12 B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解析】sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC ，∵sinB+sinA(sinC ﹣cosC)=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC ≠0，∴cosA=﹣sinA ，∴tanA=﹣1， ∵π2＜A ＜π，∴A= 3π4，由正弦定理可得c sin sin aC A=，∵a=2，sinC=sin c A a=12=22 ， ∵a ＞c ，∴C=π6，故选B ．6．(2021·浙江·高一期末)设非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则 A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．a b >【答案】A【解析】由a b a b +=-平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即0a b ⋅=，则a b ⊥，故选A.7．(2021·上海市金山中学高一期末)设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,3A a π==则2b 2c bc ++的取值范围为( ) A ．(1，9] B ．(3，9] C ．(5，9] D ．(7，9]【答案】D 【解析】因为,3A a π==由正弦定理可得22sin sin sin 3ab c AB B π===⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则有22sin ,2sin 3b B c B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 由ABC 的内角,,A B C 为锐角，可得0,220,32B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，512sin 2124sin 2462666266B B B B πππππππ⎛⎫⎛⎫∴<<⇒<-<⇒<-≤⇒<-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由余弦定理可得222222cos 3,a b c bc A b c bc =+-⇒=+- 因此有2223b c bc bc ++=+ 28sin sin 33B B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2cos 4sin 3BB B =++ 22cos 25B B =-+(]54sin 27,96B π⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭故选：D.8．(2021·北京·清华附中 )如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -满足12AB AA =，点E 在线段1DD 上移动，F 点在线段1BB 上移动，并且满足1DE FB =.则下列结论中正确的是( )A ．直线1AC 与直线EF 可能异面B ．直线EF 与直线AC 所成角随着E 点位置的变化而变化 C ．三角形AEF 可能是钝角三角形D ．四棱锥A CEF -的体积保持不变 【答案】D【解析】如图所示，连接有关线段.设M ,N 为AC ,A 1C 1的中点，即为上下底面的中心，MN 的中点为O ,则AC 1的中点也是O ,又∵DE =B 1F ,由对称性可得O 也是EF 的中点，所以AC 1与EF 交于点O ,故不是异面直线，故A 错误；由正四棱柱的性质结合线面垂直的判定定理易得AC ⊥平面11BB D D ， 因为EF ⊂平面11BB D D ，∴,AC EF ⊥故B 错误； 设AB a ,则12AA a =,设1,02DE B F x x a ==<<, 易得()22222222,254,AE a x AF a a x a ax x =+=+-=-+ ()22222222684,EF a a x a ax x =+-=-+因为()222242220,AE AF EF ax x x a x +-=-=->EAF ∴∠为锐角；因为()22222224220,AE EF AF a ax x a x +-=-+=->AEF ∴∠为锐角，因为2222210124,AF EF AE a ax x +-=-+ 当3x 2a =时取得最小值为2222101890,a a a a -+=> AFE ∴∠为锐角，故△AEF 为锐角三角形，故C 错误； 三棱锥A -EFC 也可以看做F -AOC 和E -AOC 的组合体， 由于△AOB 是固定的，E ,F 到平面AOC 的距离是不变的 (∵易知BB 1，DD 1平行与平面ACC 1A 1)，故体积不变， 故D 正确. 故选：D.二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9．(2021·湖南·临澧县第一中学高一期末)设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是( )A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122- C ．实数12a =-是z z =(z 为z 的共轭复数)的充要条件D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为2 【答案】ACD【解析】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确 故选：ACD10．(2021·江苏南京·高一期末)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =3c =，3A C π+=，则下列结论正确的是( )A ．cos C =B ．sin B =C ．3a =D ．ABCS=【答案】AD【解析】3A C π+=，故2B C =，根据正弦定理：sin sin b cB C=，即32sin cos C C C =⨯，sin 0C ≠，故cos C =，sin C =sin sin 22sin cos 3B C C C ===2222cos c a b ab C =+-，化简得到2430a a -+=，解得3a =或1a =，若3a =，故4A C π==，故2B π=，不满足，故1a =.11sin 122ABC S ab C ==⨯⨯△故选：AD .11．(2021·安徽黄山·高一期末)在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”．过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是( ) 甲地：总体平均数3x ≤，且中位数为0； 乙地：总体平均数为2，且标准差2s ≤； 丙地：总体平均数3x ≤，且极差2≤c ； 丁地：众数为1，且极差4c ≤． A ．甲地 B ．乙地C ．丙地D ．丁地【答案】CD【解析】甲地：满足总体平均数3x ≤，且中位数为0，举例7天的新增疑似病例为0，0，0，0，5，6，7，则不符合该标志；乙地：若7天新增疑似病例为1，1，1，1，2，2，6，满足平均数为2，标准差2s =，但不符合该标志；丙地：由极差2≤c 可知，若新增疑似病例最多超过5人，比如6人，那么最小值不低于4人， 那么总体平均数3x ≤就不正确，故每天新增疑似病例低于5人，故丙地符合该标志； 丁地：因为众数为1，且极差4c ≤，所以新增疑似病例的最大值5≤，所以丁地符合该标志. 故选：CD12．(2021·河北易县中学高一月考)已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则以下四个命题正确的有( ) A ．当5,7,60a b A ===︒时，满足条件的三角形共有1个B．若sin :sin :sin 3:5:7A B C =则这个三角形的最大角是120 C ．若222a b c +>，则ABC 为锐角三角形 D ．若4Cπ，22a c bc -=，则ABC 为等腰直角三角形【答案】BD【解析】对于Ａ，7sin 2sin 15b AB a===>，无解，故A 错误； 对于B,根据已知条件，由正弦定理得：::3:5:7a b c =,不妨令3a =,则5,7b c ==,最大角C 的余弦值为：222925491cos 2302a b c C ab +-+-===-,∴120C =︒，故B 正确；对于C ，由条件，结合余弦定理只能得到cos 0C >,即角C 为锐角，无法保证其它角也为锐角，故C 错误；对于D,2222 cos cos 2224a b c b bc b c C ab ab a π+-++=====,得到b c+=, 又()2222,,a c bc a bc c c b c -=∴=+=+=a∴=,sin 1,42A C A ππ∴===∴=,ABC ∴为等腰直角三角形，故D 正确.故选：BD.三、填空题(每题5分，4题共20分)13．(2021·甘肃省会宁县第一中学高一期末)2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x (单位：十万只)，若这组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为1.44，且21x ，22x ，23x ，24x ，25x 的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩__________十万只.【答案】1.6【解析】依题意，得22212520x x x +++=.设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数为x ， 根据方差的计算公式有()()()2221251 1.445x x x x x x ⎡⎤-+-++-=⎢⎥⎣⎦.()()2222125125257.2x x x x x x x x ∴+++-++++=，即22201057.2x x -+=， 1.6x ∴=.故答案为：1.614．(2021·江苏省海头高级中学高二月考)设复数z 满足341z i --=，则z 的最大值是_______. 【答案】6【解析】设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22341,(3)(4)1x yi i x y +--=∴-+-=，所以复数对应的点的轨迹为(3,4)为圆心半径为1的圆，所以z 1516=+=.故答案为615．(2021·全国·高一单元测试)口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A =“取出的两球同色”，B =“取出的2球中至少有一个黄球”，C =“取出的2球至少有一个白球”，D “取出的两球不同色”，E =“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________. ①A 与D 为对立事件；②B 与C 是互斥事件；③C 与E 是对立事件：④()1P C E =；⑤()()P B P C =.【答案】①④【解析】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球， 事件A = “取出的两球同色”， B = “取出的2球中至少有一个黄球”，C = “取出的2球至少有一个白球”，D “取出的两球不同色”，E = “取出的2球中至多有一个白球”，①，由对立事件定义得A 与D 为对立事件，故①正确；②，B 与C 有可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件，故②错误； ③，C 与E 有可能同时发生，不是对立事件，故③错误； ④，P (C)631=155=-，P (E)1415=，8()15P CE =，从而()P C E P =(C)P +(E)()1P CE -=，故④正确； ⑤，C B ≠，从而P (B)P ≠(C)，故⑤错误． 故答案为：①④．16．(2021·江苏省如皋中学高一月考)已知三棱锥O ABC -中，,,A B C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，120ABC ︒∠=，且三棱锥O ABC -O 的表面积为________.【答案】52π【解析】ABC 的面积122sin12032ABCS=⨯⨯= 设球心O 到平面ABC 的距离为h ，则1133O ABC ABCV Sh -===3h =， 在ABC 中，由余弦定理2222cos1208412AC AB BC AB BC =+-⋅=+=，∴=AC 设ABC 的外接圆半径为r ，由正弦定理 则2sin120ACr =，解得2r，设球的半径为R ，则22213R r h =+=， 所以球O 的表面积为2452S R ππ==. 故答案为：52π四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)17．(2021·山西·长治市潞城区第一中学校高一月考)已知复数z 使得2z i R +∈，2zR i∈-，其中i 是虚数单位.(1)求复数z 的共轭复数z ；(2)若复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)42i +；(2)()2,2-.【解析】(1)设(),z x yi x y R =+∈，则()22z i x y i +=++ ∵2z i R +∈∴2y =- 又22242255z x i x x i R i i -+-==+∈--，∴4x =综上，有42z i =-∴42z i =+ (2)∵m 为实数，且()()()()2224212482z mi m i m m m i +=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦∴由题意得()21240820m m m ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩，解得22m -<<故，实数m 的取值范围是()2,2-18．(2021·江西省靖安中学)某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75)，第二组[75，85)，第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.(1)根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值)；(2)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.【答案】(1)频率为：0.08；平均分为102；(2)25.【解析】(1)由频率分布直方图得第七组的频率为：()10.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004100.08-++++++⨯=.用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为： 700.04800.12900.161000.31100.21200.06x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1300.081400.04102+⨯+⨯=.(2)样本成绩属于第六组的有0.00610503⨯⨯=人，设为,,A B C ，样本成绩属于第八组的有0.00410502⨯⨯=人，设为,a b ，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件有： AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10个他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数AB ，AC ，BC ，ab 共 4个 ∴他们的分差的绝对值小于10分的概率42105p ==. 19．(2021·河南·辉县市第一高级中学高一月考)已知三棱柱111ABC A B C -(如图所示)，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧棱1CC ⊥底面ABC ，14CC =，E 为11B C 的中点.(1)若G 为11A B 的中点，求证：1C G ⊥平面11A B BA ；(2)证明：1//AC 平面1A EB ；(3)求三棱锥1A EBA -的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；【解析】(1)连接1C G ，由1CC ⊥底面ABC ，且11//CC BB ，可得1BB ⊥底面111A B C ， 又由1C G ⊂底面111A B C ，所以11C G B B ⊥，又因为G 为正111A B C △边11A B 的中点，所以111C G A B ⊥，因为1111A B BB B =，且111,A B BB ⊂平面11A B BA ，所以1C G ⊥平面11A B BA .(2)连接1B A 交1A B 与G ，则O 为1A B 的中点，连接EO ，则1//EO AC .因为EO ⊂平面1EA B ，1AC ⊄平面1EA B ，所以1//AC 平面1EA B .(2)因为11A A BE E ABA V V --=，11142ABA S AB AA =⨯⨯=△.取1GB 的中点F ，连接EF ，则1//EF C G ，可得EF ⊥平面11A B BA ，即EF 为三棱锥1E ABA -的高，112EF C G ===，三棱锥1A EBA -的体积11111433A A BE E ABA ABA V V S EF --==⨯=⨯=△20．(2021·重庆第二外国语学校高一月考)已知1e ，2e 是平面内两个不共线的非零向量，122AB e e =+，12e e BE λ=-+，122EC e e =-+，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若()12,1e =，()22,2e =-，求BC 的坐标；(3)已知()3,5D ，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．【答案】(1)32λ=-(2)(7,2)--(3)()10,7. 【解析】(1)()()()12121221AE AB BE e e e e e e λλ=+=++-+=++．因为A ，E ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AE k EC =，即()()121212e e k e e λ++=-+，得()1212(1)k e k e λ+=--．因为1e ，2e 是平面内两个不共线的非零向量， 所以12010k k λ+=⎧⎨--=⎩解得12k =-，32λ=-． (2)()()()121212136,31,17222,32B e BE EC e C e e e e ++=--=-+=--=--=---． (3)因为A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以AD BC =．设(),A x y ，则()3,5AD x y =--，因为()7,2BC =--，所以3752x x -=-⎧⎨-=-⎩解得107x y =⎧⎨=⎩ 即点A 的坐标为()10,7．21．(2021·安徽师大附属外国语学校高一月考)在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin2sin .a B b A =(1)若3,a b ==c ；(2)求cos cos a C c A b-的取值范围. 【答案】(1)2c =；(2)()1,1-.【解析】(1)由sin 2sin a B b A =，得sin sin2sin sin A B B A =，得2sin sin cos sin sin A B A B A =，得1cos 2B =， 在ABC ，3B π∴=， 由余弦定理2222cos b c a ac B =+-， 得27923cos 3c c π=+-⨯，即2320c c -+=，解得1c =或2c =.当1c =时，22220,cos 0b c a A +-=-<< 即A 为钝角(舍)，故2c =符合.(2)由(1)得3B π=， 所以23C A π=-，cos cos sin cos cos sin 22sin 3a C c A A C A C A b B π--⎛⎫∴===- ⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，62A ππ∴<<，22333A πππ∴-<-<，2sin 23A π⎛⎫-< ⎪⎝⎭， cos cos 11a C c A b-∴-<<，故cos cos a C c A b-的取值范围是()1,1-. 22．(2021·全国·高一课时练习)如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PAD △为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD E F ，、分别是AD CD 、的中点.(1)证明：BD PF ⊥；(2)若M 是棱PB 上一点，三棱锥M PAD -与三棱锥P DEF -的体积相等，求M 点的位置.【答案】(1)证明见解析；(2)M 点在PB 上靠近P 点的四等分点处.【解析】(1)连接AC PA PD =，且E 是AD 的中点，PE AD ⊥∴.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD PE =⊂，平面PAD .PE ∴⊥平面ABCD BD ⊂，平面ABCD BD PE ∴⊥，. 又ABCD 为菱形，且E F 、分别为棱AD CD 、的中点，//EF AC ∴.BD AC BD EF ⊥∴⊥，，又BD PE PE EF E BD ⊥⋂=∴⊥，，平面PEF ；PF ∴⊂平面PEF BD PF ∴⊥，. (2)如图，连接MA MD 、， 设PM MBλ=，则1PM PB λλ=+， 11M PAD B PAD P ABD V V V λλλλ---∴==++， 14DEF DAC S S =△△，则1144P DEF P ACD P ABD V V V ---==，又M PAD P DEF V V --=. 114λλ∴=+. 解得13λ=，即M 点在PB 上靠近P 点的四等分点处.。
(完整)人教版高中数学必修二期末测试题一及答案(20200814125816)
高中数学必修二期末测试题一1、下图(1)所示的圆锥的俯视图为2、直线l ：-、3x y 3 0的倾斜角D 、 150 o3、边长为a 正四面体的表面积是D 、 、，3a 2。
4、对于直线l:3x y 6 0的截距，下列说法正确的是距是6；C 、在x 轴上的截距是3；D 、在y 轴上的截、选择题(本大题共2道小题，每小题5分，共60分。
)A 、30；；60：； 120 ；B 、込 a 3 ；12C 、刍；4A 、在y 轴上的截距是6；B 、在x 轴上的截距是35、已知a// ,b ，则直线a与直线b的位置关系是（）A、平行；B、相交或异面；C、异面；D、平行或异面。
6、已知两条直线|「x 2ay 1 0,l2：x 4y 0，且W，则满足条件a的值为（）1 1A、；B、；C、2 ；2 2D、2。
7、在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB, BC, CD, DA的中点。
若AC BD a，且AC与BD所成的角为60：，贝卩四边形EFGH的面积为（）3 2 3 2 3 2A、 a ；B、 a ；C、 a ；8 4 2D、■-/3a。
8已知圆C:x2 y2 2x 6y 0 ,则圆心P及半径r分别为（）A、圆心P 1,3，半径r 10 ；B、圆心P 1,3 ,半径r ；C、圆心P 1, 3，半径r 10 ;D、圆心P 1, 3 ,半径r J0。
9、下列叙述中错误的是（）A、若P 口且口l，则PI ；B、三点A,B,C确定一个平面；C、若直线ap|b A，则直线a与b能够确定一个平面;D、若 A I,B I 且 A ,B ，贝卩I 。
10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是( )A、两条平行直线；B、一点和一条直线;C、两条相交直线；D、两个点。
11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为4、5,且它的8个顶3、点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )C 、125A、25 ；B、50 ；；D、都不对。
高中数学选择性必修二 期末模块检测(基础卷)(含答案)
选择性必修第二册 期末模块检测试卷 基础A 卷解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟一、单选题1．已知等比数列{}n a 中，1212a a +=，3134a a -=，则4=a （ ）A ．18- B ．18C ．4-D ．4【答案】A 【分析】根据题意，将条件表示为1,a q 的形式，计算出1,a q ，再计算4a 即可. 【详解】∵等比数列{}n a 中，1212a a +=，3134a a -=，∴112111234a a q a a q ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得111,2a q ==-， ∴341311128a a q ⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭= ．故选：A.2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3a =5，则5S =（ ） A ．5B ．25C ．35D ．50【答案】B 【分析】根据等差中项及等差数列求和公式即可求解. 【详解】由题意可知，{}n a 为等差数列，所以15355()5252525222a a a S +⨯⨯⨯==== 故选：B3．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】D 【分析】设该女子第一天织布x 尺，根据题意，求得531x =尺，结合等比数列的求和公式，列出方程，即可求解. 【详解】设该女子第一天织布x 尺，则5天共织布5(12)512x -=-，解得531x =尺，在情境模拟下，设需要n天织布总尺数达到165尺，则有5(12)3116512n -=-，整理得21024n=，解得10n =.故选：D ． 4．观察下列式子:213122+<，221151233++<，222111712344+++<，…，则可归纳出()2221111231n +++⋅⋅⋅++小于（ ）A ．1n n + B ．211n n -+ C ．211n n ++ D ．21nn + 【答案】C 【分析】根据已知式子分子和分母的规律归纳出结论. 【详解】由已知式子可知所猜测分式的分母为1n +，分子第1n +个正奇数，即21n ，()2221112112311n n n ++++⋅⋅⋅+<++∴. 故选：C.5．设曲线1e x y ax -=-在点1x =处的切线方程为2y x =，则a =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【分析】利用12x y ='=可求得答案. 【详解】1e x y a -'=-，∵112x y a ==-='，则3a =．故选：D6．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且713n n S n T n-=，则55a b =（ ） A ．3415B ．2310C ．317D ．6227【答案】D 【分析】利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】由713n n S n T n-=， ()()19551991955199927916229239272a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯-======++⨯. 故选：D7．已知函数()331xf x x e =++，其导函数为()f x '，则()()()()2020202020212021f f f f ''+-+--的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】求得可得()'f x 的解析式，求出()f x '-解析式，可得()f x '为偶函数，即可求出()()20212021f f ''--的值，再求()()3f x f x +-=，即可求得()()20202020f f +-的值，即可求得答案. 【详解】()()22331xxe f x x e-'=++，()()()2222333()311xxxxe ef x x x ee----'-=+-=+++，所以()f x '为偶函数，所以()()202120210f f ''--=，因为()()33333331111x x x x x e f x f x x x e e e e -+-=++-=+=++++，所以()()202020203f f +-=，所以()()()()20202020202120213f f f f ''+-+--=． 故选：C ．8．已知函数()()()22210,0x ax x x f x e ax e x ⎧-+<⎪=⎨-+-≥⎪⎩有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),e +∞ B ．()2e ,+∞C ．()20,eD ．()0,e【答案】B 【分析】分离变量，利用导函数应用得到函数在0x <无零点，则0x >有两个零点，利用函数最值得到参数范围 【详解】当0x =时，()201e f =--，∴0x =不是函数()f x 的零点.当0x <时，由()0f x =，得221x a x -=，设()221x h x x -=，()()3210x h x x-'=<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，且()0h x <.所以0x <时无零点当0x >时，()0f x =等价于2x e e a x +=，令()2x e e g x x +=，()22x x xe e e g x x --'=，得()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，()2min (2)g x g e ==，()2g x e ≥.因为()f x 有2个零点，所以2a e >. 故选：B. 【点睛】分离变量法，利用导数求函数的单调性，极值是解题关键.二、多选题9．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a >B ．6S 最大C ．130S >D ．110S >【答案】ABD 【分析】转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确； 所以6S 最大，故B 正确；所以()113137131302a a S a+⨯==<，故C 错误；所以()111116111102a a S a+⨯==>，故D 正确.故选：ABD.10．已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）A ．()()()f a f e f d >>B ．函数()f x 在[],a b 上递增，在[],b d 上递减C ．函数()f x 的极值点为c ，eD ．函数()f x 的极大值为f b 【答案】ABD 【分析】对A ，B 由导数与函数单调性的关系，即可判断()f a ，()f b ，()f c 的大小以及()f x 的单调性，对C ，D 由极值的定义即可判断. 【详解】解：由题图知可，当(),x c ∈-∞时，()0f x '>，当(),x c e ∈时，()0f x '<，当(),x e ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在(),c -∞上递增， 在(),c e 上递减，在(),e +∞上递增， 对A ，()()f d f e >，故A 错误；对B ，函数()f x )在[],a b 上递增，在[],b c 上递增，在[],c d 上递减，故B 错误；对C ，函数()f x 的极值点为c ，e ，故C 正确； 对D ，函数()f x 的极大值为()f c ，故D 错误. 故选：ABD.11．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第六天只走了5里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 【答案】BCD 【分析】设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q = 的等比数列，由6S 求出1a ，然后求出相应的项，判断各选项． 【详解】解：根据题意此人每天行走的路程成等比数列， 设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列． 所以611611()(1)23781112a a q S q ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦===--，解得1192a =．选项A ：55611192()62a a q ==⨯=，故A 错误，选项B ：由1192a =，则61378192186S a -=-=，又1921866-=，故B 正确．选项C ：211192962a a q ==⨯=，而6194.54S =，9694.5 1.5-=，故C 正确．选项D ：2123111(1)192(1)33624a a a a q q ++=++=⨯++=， 则后3天走的路程为37833642-=， 而且336428÷=，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的应用，解题关键是引入等比数列{}n a ，n a 表示第n 天行走的路程，根据前6项的和求出首项1a ，然后可得通项公式，从而判断出结论．12．已知数列{}n a 的前n 项和为2n 33S n n =-，则下列说法正确的是（ ）A ．342n a n =-B ．16S 为n S 的最小值C ．1216272a a a +++=D ．1230450a a a +++=【答案】AC 【分析】利用和与项的关系，分1n =和2n ≥分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到121617193300()a a a S a a a +++=+----16302S S =-可计算后否定D.【详解】1133132a S ==-=,()()()2213333113422n n n a S S n n n n n n -=-=---+-=-≥,对于1n =也成立，所以342n a n =-，故A 正确；当17n <时，0n a >,当n=17时n a 0=,当17n >时，n a 0<,n S ∴只有最大值，没有最小值，故B 错误；因为当17n <时，0n a >,∴21216163316161716272a a a S +++==⨯-=⨯=，故C 正确； 121617193300()a a a S a a a +++=+----2163022272(333030S S =-=⨯-⨯-）54490454=-=，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.和与项的关系()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩,若数列{}n a 的前 k 项为正值，往后都是小于等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-，若数列{}n a 的前 k 项为负值，往后都是大于或等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-+.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前n 项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前n 项和只有最小值，没有最大值.三、填空题13．已知()2()21f x x xf =+'，则()1f '等于__________.（用数字作答）【答案】-2【分析】求出()f x 的导函数，代入1x =即可求解.【详解】()2()21f x x xf =+'，()()221f x x f ''∴=+，()()12121f f ''∴=⨯+，解得()12f '=-.故答案为：2-.14．()f x 对任意x ∈R 都有()()112f x f x +-=.数列{}n a 满足：()120n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11n f f n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则n a =__________. 【答案】14n + 【分析】采用倒序相加法即可求得结果.【详解】由题意得：()()1012f f +=，1112n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2212n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……， ()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()12110n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 122n n a +∴=，解得：14n n a +=.故答案为：14n +. 【点睛】本题考查利用倒序相加法求和的问题，属于基础题.15．已知32()263f x x x =-+，对任意的2][2x ∈-，都有()f x a ≤，则a 的取值范围为_______. 【答案】[3)+∞，【分析】利用导数研究函数的单调性，进而求得在给定区间上的最大值，根据不等式恒成立的意义即得实数a 的取值范围.【详解】由2()6120f x x x '=-=得0x =或2x =，在区间[-2,0)上()'0f x >,()f x 单调递增；在(0,2)内时()()'0,f x f x <单调递减. 又(2)37f -=-，(0)3f =，(2)5f =-，∴max ()3f x =，又()f x a ≤对于任意的x ∈[-2,2]恒成立，∴3a ≥，即a 的取值范围是[)3,+∞故答案为：[)3,+∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的在闭区间上的最值进而求不等式恒成立中的参数范围，属基础题，关键在于利用导数研究函数的单调性，求得在给定区间上的最大值.16．古代埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都可写成若干个单分数和的形式．例如2115315=+，可这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分2成5份，每人得115，这样每人分得11315+．形如)*2(3,21n n N n ∈-的分数的分解：2115315=+，2117428=+，2119545=+，按此规律，则221n =-________()*3,n n N ∈． 【答案】2112n n n+- 【分析】 根据21123133(231)=+⨯-⨯⨯-,21124144(241)=+⨯-⨯⨯-，21125155(251)=+⨯-⨯⨯-，…进行归纳推理. 【详解】 由题意得，2115315=+，即21123133(231)=+⨯-⨯⨯-， 2117428=+，即21124144(241)=+⨯-⨯⨯-， 2119545=+，即21125155(251)=+⨯-⨯⨯-， 由此归纳出)*211(3,21(21)n n N n n n n =+∈⨯--． 经验证112112(21)(21)21n n n n n n n -++==---，结论成立， ∴2211212n n n n=+--． 故答案为：2112n n n +-. 【点睛】方法点睛：由数列的前n 项归纳通项公式时，首先要分析项的结构，然后再探究结构中的各部分与项的序号n 间的函数关系，进而求得通项公式．四、解答题17．已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足()241n n S a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式.（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）21n n T n =+. 【分析】（1）由=1n 可得11a =，再由2n ≥时，()21141n n S a --=+与条件作差可得12n n a a --=，从而利用等差数列求通项公式即可； （2）由n b 1(21)(21)n n =-+利用裂项相消求和即可. 【详解】（1）∵()241n n S a =+，∴()21141a a =+，解得11a =，当2n ≥时，由()241n n S a =+①可得， ()21141n n S a --=+②，①－②：()()1120n n n n a a a a --+--=，∵0n a >，∴10n n a a -+≠，∴120n n a a ---=，即∴12n n a a --=，∴{}n a 是以11a =为首项，以2d =为公差的等差数列，∴1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-综上所述，结论是：21n a n =-.（2）由（1）可得11n n n b a a +=1(21)(21)n n =-+11122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭∴2n a n T b b b =+++111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 综上所述，21n n T n =+. 18．在①133a a b +=，②254b S b +=-，③194a a +=-这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中.若问题中的m 存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，设前n 项和为n T ，若 ， ，且1422,5b T T ==.是否存在大于2的正整数m ，使得134,,m S S S 成等比数列？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）【答案】答案见解析.【分析】由等比数列的条件，求得2q ，可得等比数列的通项公式．然后分别选取条件①②，条件①③，条件②③，列出关于等差数列首项与公差的方程组，求得首项与公差，得到等差数列的通项公式及前n 项和，再由14S ，3S ，m S 成等比数列列式求解m 值即可．【详解】解：设{}n a 的 公差为d ，{}n b 的公比为(0)q q >，由题意知1q ≠，所以421142(1)(1)5511b q b q T T q q--===--， 整理得215q +=，因为0q >，所以2q ，所以2n n b =.（1）当选取的条件为①②时，有1358416a a S +=⎧⎨+=-⎩，所以1122824a d a d +=⎧⎨+=-⎩， 解得1128a d =⎧⎨=-⎩. 所以2820,416n n a n S n n =-+=-+.所以21312,12,416m S S S m m ===-+，若134,,m S S S 成等比数列，则2314m S S S =，所以241630m m -+=，解得2m = 因为m 为正整数，所以不符合题意，此时m 不存在.（2）当选取的条件为①③时，有131984a a a a +=⎧⎨+=-⎩，所以11228284a d a d +=⎧⎨+=-⎩， 解得162a d =⎧⎨=-⎩. 所以228,7n n a n S n n =-+=-+.所以2136,12,7m S S S m m ===-+，若134,,m S S S 成等比数列，则2314m S S S =，所以2760m m -+=，解得6m =或1m =（舍去）此时存在正整数6m =满足题意.（3）当选取的条件为②③时，有1954416a a S +=-⎧⎨+=-⎩，所以1128424a d a d +=-⎧⎨+=-⎩， 解得161a d =-⎧⎨=⎩. 所以2137,2n n n n a n S -=-=. 所以213136,15,2m m m S S S -=-=-=， 若134,,m S S S 成等比数列，则2314m S S S =，即22524m S =-，所以2452750m m -+=，解得132m =， 因为m 为正整数，所以不符合题意，此时m 不存在.【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．19．已知数列{}n a 中，11a =，()*13n n n a a n N a +=∈+ （1）证明：数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列 （2）若数列{}n b 满足()312n n n n n b a -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和nT . 【答案】（1）证明见解析 ；（2）1242n n n T -+=-. 【分析】（1）由()*13n n n a a n N a +=∈+可得11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，然后可得答案； （2）由（1）可算出231n n a =-，12n n n b -=，然后用错位相减法可算出答案. 【详解】 （1）证明：由()*13n n n a a n N a +=∈+，知11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭又111322a +=，∴112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，3为公比的等比数列 （2）解：由（1）知111333222n n n a -+=⨯=，∴231n n a =-，12n n n b -= 0122111111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 211111112(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减得012111111222222222n n n nT n n -+=++++-⨯=- ∴1242n n n T -+=- 20．已知函数()()x x f x a a R e=-∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若方程()f x ＝0有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的单调递增区间是(,1)-∞，单调递减区间是(1,)+∞.（2）10a e <<【分析】（1）首先求出函数的导函数，再解不等式即可得到函数的单调区间；（2）由()0x x f x a e =-=得x x a e =， 将此方程的根看作函数x x y e=与y a =的图象交点的横坐标，结合（1）中相关性质得到函数的图象，数形结合即可得到参数的取值范围；【详解】解：（1）∵()()x x f x a a R e=-∈ 所以21()()x x x x e xe x f x e e--'== ∴当1x <时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<；即()f x 的单调递增区间是(,1)-∞，单调递减区间是(1,)+∞.（2）由()0x x f x a e =-=得xx a e =， 将此方程的根看作函数x x y e =与y a =的图象交点的横坐标， 由（1）知函数x x y e =在1x =时有极大值1e，作出其大致图象，∴实数a 的取值范围是10a e<<. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，属于基础题.21．设函数()21x f x e ax x =---，a R ∈. （1）0a =时，求()f x 的最小值.（2）若()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）0；（2）1(,]2-∞.【分析】（1）当0a =时，求导可得()1xf x e '=-，令()0f x '=，解得0x =，分别讨论(),0x ∈-∞和()0,∞+时，()'f x 的正负，即可得()f x 的单调性，即可求得答案；（2）求导可得()21x f x e ax '=--，设()21(0)x h x e ax x =--≥，分别讨论12a ≤和12a >时()h x '的正负，可得()h x 的单调性，进而可得()f x 的单调性，综合分析，即可得答案.【详解】（1）当0a =时，()1x f x e x =--，则()1xf x e '=-， 令()0f x '=，解得0x =，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，所以()f x 在(),0-∞单调递减函数；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+单调递增函数；所以()()min 00f x f ==.（2）()21x f x e ax x =---，则()21xf x e ax '=--， 设()21(0)xh x e ax x =--≥，则()2x h x e a '=-， 当12a ≤时，()0h x '≥，所以()h x 在[)0,+∞上为增函数， 又(0)0h =，所以()(0)0h x h ≥=，即()0f x '≥，所以()f x 在在[)0,+∞上为增函数，又(0)0f =，所以()(0)0f x f ≥=，满足题意； 当12a >时，令()0h x '=，解得ln2x a =， 当(0,ln 2)x a ∈时，()0h x '<，所以()h x 在(0,ln 2)a 为减函数，所以当[0,ln 2)x a ∈时，()(0)0h x h ≤=，即()0f x '≤，所以()f x 在[0,ln 2)x a ∈为减函数，又(0)0f =所以()(0)0f x f ，不满足题意，综上：a 的取值范围是1(,]2-∞【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求解函数单调性，极（最）值的方法，若处理恒成立问题时，需满足min ()0f x ≥，若处理存在性问题时，需满足max ()0f x ≥，需仔细审题，进行求解，属中档题. 22．已知2()2ln f x x x a x =-+.（1）若函数()f x 在2x =处取得极值，求实数a 的值；（2）若()()g x f x ax =-，求函数()g x 的单调递增区间；（3）若2a =，存在正实数12,x x ，使得()()1212f x f x x x +=+成立，求12x x +的取值范围.【答案】（1）4-；（2）答案见解析；（3）32⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭. 【分析】（1）由题意结合极值的概念可得(2)0f '=，解得4a =-后，验证即可得解；（2）求导得(1)(2)()(0)x x a g x x x--'=>，按照0a ≤、02a <<、2a =、2a >分类讨论，求得()0g x '>的解集即可得解；（3）转化条件得()()()212121212322ln x x x x x x x x +-+=-，令12t x x =，()22ln (0)t t t t ϕ=->，求导确定()t ϕ的单调性和值域即可得解.【详解】（1）222()22(0)a x x a f x x x x x-+-+'==>， ∵函数()f x 在2x =处取得极值，∴84(2)0a f x -+'==，解得4a =-， 当4a =-时，()2222(1)(2)()x x x x f x x x'--+-==. ∴当02x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；∴当4a =-时，函数()f x 在2x =处取得极小值；（2）2()()(2)ln g x f x ax x a x a x =-=-++， ∴22(2)(1)(2)()2(2)(0)a x a x a x x a g x x a x x x x-++--'=-++==>， 令()0f x '=，则1x =或2a x =， ①当0a ≤时，令()0g x '>可得1x >，∴函数()g x 的单调递增区间为(1,)+∞；②当02a <<时，令()0g x '>可得02a x <<或1x >， ∴函数()g x 的单调递增区间为0,,(1,)2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； ③当2a =时，()0g x '≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，∴函数()g x 的单调递增区间为(0,)+∞；④当2a >时，令()0g x '>可得01x <<或2a x >，∴函数()g x 的单调递增区间为(0,1),,2a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （3）2a =，∴2()22ln f x x x x =-+，()()1212f x f x x x +=+，∴()()221212121222ln x x x x x x x x +-++=+，整理可得()()()212121212322ln x x x x x x x x +-+=-，令12t x x =，()22ln (0)t t t t ϕ=->， 12(1)()21t tt tϕ-⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，令()0t ϕ'=，解得1t =， 当01t <<时，()0t ϕ'<，()t ϕ单调递减；当1t >时，()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增； ∴当1t =时，()t ϕ取得极小值即最小值为()12ϕ=，∴()()2121232x x x x +-+≥即()()21212320x x x x +-+-≥，解得1232x x +≤（舍去）或1232x x +≥，∴12x x +的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力、逻辑推理能力、分类讨论思想，属于中档题.。
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考试时间：90分钟 试卷满分：100分
一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．在直角坐标系中，已知A (－1，2)，B (3，0)，那么线段AB 中点的坐标为( )． A ．(2，2)
B ．(1，1)
C ．(－2，－2)
D ．(－1，－1)
2．右面三视图所表示的几何体是( )． A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．五棱锥 D ．六棱锥
3．如果直线x ＋2y －1＝0和y ＝kx 互相平行，则实数k 的值为( )． A ．2
B ．2
1
C ．－2
D ．－2
1
4．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为( )． A ．1
B ． 2
C ． 3
D ．4
5．下面图形中是正方体展开图的是( )．
A B C D
(第5题)
6．圆x 2＋y 2－2x －4y －4＝0的圆心坐标是( )． A ．(－2，4)
B ．(2，－4)
C ．(－1，2)
D ．(1，2)
7．直线y ＝2x ＋1关于y 轴对称的直线方程为( )． A ．y ＝－2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －1
D ．y ＝－x －1 8．已知两条相交直线a ，b ，a ∥平面，则b 与 的位置关系是( )．
A ．b ⊂平面
B ．b ⊥平面
C ．b ∥平面
D ．b 与平面相交，或b ∥平面
．在空间中，a ，b 是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列条件中可推出
正视侧视
俯视
(第2题)
a ∥
b 的是( )． A ．a ⊂
，b ⊂
，∥
B ．a ∥，b ⊂
C ．a ⊥，b ⊥
D ．a ⊥，b ⊂
10． 圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0的位置关系是( )． A ．外切
B ．内切
C ．外离
D ．内含
11．如图，正方体ABCD —A'B'C'D'中，直线D'A 与DB 所成的角可以表示为( )．
A ．∠D'D
B B ．∠AD' C'
C ．∠ADB
D ．∠DBC'
12． 圆(x －1)2＋(y －1)2＝2被x 轴截得的弦长等于( )． A ． 1
B ．
2
3 C ． 2 D ． 3
13．如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( )．
A ．CC 1与
B 1E 是异面直线 B ．A
C ⊥平面A 1B 1BA
C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1
D ．A 1C 1∥平面AB 1E
14．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 cm ，高为12 cm ．现要为100个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计)． 如果每 kg 涂料可以涂1 m 2，那么为这批笔筒涂色约需涂料．
A ． kg
B ． kg
C ． kg
D ． kg
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 15．坐标原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为 ． 16．以点A (2，0)为圆心，且经过点B (－1，1)的圆的方程是 ．
17．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1——ABCD 的体积与长方体的体积之比为_______________．
C
B
A
D A ' B '
C '
D ' (第11题)
A 1
B 1
C 1
A
B
E
C
(第13题)
A
B
C D
D 1
C 1
B 1
A 1
(第17题)
18．在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_______________________________________．
三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角是60°． (1)求直线l 的方程；
(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积．
20．如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ， AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点．
(1)求证：DE ∥平面PAC ； (2)求证：AB ⊥PB ；
(3)若PC ＝BC ，求二面角P —AB —C 的大小．
21．已知半径为5的圆C 的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．
(1)求圆C 的方程；
A
C
P
B
D
E
(第20题)
(2)设直线ax －y ＋5＝0与圆C 相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；
(3) 在(2)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB 若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题 1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．D
7．A
8．D
9．C
10．A
11．D
12．C
13．C
14．D
二、填空题15．
5
12
． 16．(x －2)2＋y 2＝10． 17．1:3． 18．到四个面的距离之和为定值．
三、解答题19．解：(1)因为直线l 的倾斜角的大小为60°,故其斜率为tan 60°＝3，又直线l 经过点(0，－2)，所以其方程为3x －y －2＝0．
(2)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是
3
2，－2，所以直线l 与两坐标轴
围成三角形的面积S ＝21·3
2·2＝332．
20．(1)证明：因为D ，E 分别是AB ，PB 的中点， 所以DE ∥PA ．
因为PA ⊂平面PAC ，且DE ⊄平面PAC ， 所以DE ∥平面PAC ．
(2)因为PC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ， 所以AB ⊥PC ．又因为AB ⊥BC ，且PC ∩BC ＝C ．
A
C
P
B
D
E
(第20题)
所以AB ⊥平面PBC ． 又因为PB ⊂平面PBC ，
所以AB ⊥PB ． (3)由(2)知，PB ⊥AB ，BC ⊥AB ，
所以，∠PBC 为二面角P —AB —C 的平面角． 因为PC ＝BC ，∠PCB ＝90°， 所以∠PBC ＝45°，
所以二面角P —AB —C 的大小为45°． 21．解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈Z)．
由于圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且半径为5，所以，5
294-m ＝5，
即|4m －29|＝25． 因为m 为整数，故m ＝1．
故所求的圆的方程是(x －1)2＋y 2＝25．
(2)直线ax －y ＋5＝0即y ＝ax ＋5．代入圆的方程，消去y 整理，得 (a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0．
由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点，故△＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)＞0， 即12a 2－5a ＞0，解得a ＜0，或a ＞
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5． 所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(
12
5
，＋∞)． (3)设符合条件的实数a 存在，由(2)得a ≠0，则直线l 的斜率为－
a 1，l 的方程为y ＝－a
1(x ＋2)＋4， 即x ＋ay ＋2－4a ＝0．由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1，0)必在l 上．所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝
43．由于43∈(12
5
，＋∞)，故存在实数a ＝43，使得过点 P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ．
￥。