0_1背包问题的多种解法

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一、 问题描述

0/1背包问题:

现有n 种物品,对1<=i<=n ,已知第i 种物品的重量为正整数W i ,价值为正整数V i ,背包能承受的最大载重量为正整数W ,现要求找出这n 种物品的一个子集,使得子集中物品的总重量不超过W 且总价值尽量大。(注意:这里对每种物品或者全取或者一点都不取,不允许只取一部分)

二、 算法分析

根据问题描述,可以将其转化为如下的约束条件和目标函数:

)

2(max )1()1}(1,0{11

∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤n

i i i i

n

i i i x v n i x W

x w 于是,问题就归结为寻找一个满足约束条件(1),并使目标函数式(2)达到最大的解向量),......,,,(321n x x x x X =。

首先说明一下0-1背包问题拥有最优解。

假设),......,,,(321n x x x x 是所给的问题的一个最优解,则),......,,(32n x x x 是下面问题的

一个最优解:∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤n

i i i i

n

i i i x v n i x x w W x w 221

1max )

2}(1,0{。如果不是的话,设),......,,(32n y y y 是这

个问题的一个最优解,则

∑∑==>n i n

i i

i i

i x

v y v 2

2

,且∑=≤+

n

i i

i W y

w x w 2

11。因此,

∑∑∑====+>+n

i i i n i n i i i i i x v x v x v y v x v 1

2

2

1111,

这说明),........,,,(321n y y y x 是所给的0-1背包问题比),........,,,(321n x x x x 更优的解,从而与假设矛盾。

穷举法:

用穷举法解决0-1背包问题,需要考虑给定n 个物品集合的所有子集,找出所有可能的子集(总重量不超过背包重量的子集),计算每个子集的总重量,然后在他们中找到价值最大的子集。由于程序过于简单,在这里就不再给出,用实例说明求解过程。下面给出了4个物品和一个容量为10的背包,下图就是用穷举法求解0-1背包问题的过程。

背包

物品1

物品2

物品3物品4

(a ) 四个物品和一个容量为10的背包

(b )用回溯法求解0-1背包问题的过程

递归法:

在利用递归法解决0-1背包问题时,我们可以先从第n 个物品看起。每次的递归调用都会判断两种情况:

(1) 背包可以放下第n 个物品,则x[n]=1,并继续递归调用物品重量为W-w[n],

物品数目为n-1的递归函数,并返回此递归函数值与v[n]的和作为背包问题的最优解;

(2) 背包放不下第n 个物品,则x[n]=0,并继续递归调用背包容量为W ,物品数

目为n-1的递归函数,并返回此递归函数值最为背包问题的最优解。

递归调用的终结条件是背包的容量为0或物品的数量为0.此时就得到了0-1背包问题的最优解。

用递归法解0-1背包问题可以归结为下函数:

⎧+---=][])[,1(),1(),(n v n w m n KnapSack m n KnapSack m n KnapSack n n

选择了物品没有选择物品

第一个式子表示选择物品n 后得到价值][])[,1(n v n w m n KnapSack +--比不选择物品n 情况下得到的价值),1(m n KnapSack -小,所以最终还是不选择物品n;第二个式子刚好相反,选择物品n 后的价值][])[,1(n v n w m n KnapSack +--不小于不选择物品n 情况下得到了价值),1(m n KnapSack -,所以最终选择物品n 。

在递归调用的过程中可以顺便求出所选择的物品。下面是标记物品被选情况的数组x[n]求解的具体函数表示:

⎨⎧=10

][n x ][])[,1(),(),1(),(n v n w m n KnapSack m n KnapSack m n KnapSack m n KnapSack +--=-=

在函数中,递归调用的主体函数为KnapSack ,m 表示背包的容量,n 表示物品的数量,x[n]表示是否选择了第n 个物品(1—选,0—不选)。每个物品的重量和价值信息分别存放在数组w[n]和v[n]中。具体的代码见《递归法》文件夹。

贪心法:

0-1背包问题与背包问题类似,所不同的是在选择物品)1(n i i ≤≤装入背包时,可以选择一部分,而不一定要全部装入背包。这两类问题都具有最优子结构性质,相当相似。但是背包问题可以用贪心法求解,而0-1背包问题却不能用贪心法求解。贪心法之所以得不到最优解,是由于物品不允许分割,因此,无法保证最终能将背包装满,部分闲置的背包容量使背包单位重量的价值降低了。事实上,在考虑0-1背包问题时,应比较选择物品和不选择物品所导致的方案,然后做出最优解。由此导出了许多相互重叠的子问题,所以,0-1背包问题可以用动态规划法得到最优解。在这里就不再用贪心法解0-1背包问题了。

动态规划法分析:

0-1背包问题可以看作是寻找一个序列),........,,,(321n x x x x ,对任一个变量i x 的判断是决定i x =1还是i x =0.在判断完1-i x 之后,已经确定了),........,,,(1321-i x x x x ,在判断i x 时,会有两种情况:

(1) 背包容量不足以装入物品i ,则i x =0,背包的价值不增加; (2) 背包的容量可以装下物品i ,则i x =1,背包的价值增加i v 。

这两种情况下背包的总价值的最大者应该是对i x 判断后的价值。令),(j i C 表示在前i )1(n i ≤≤个物品中能够装入容量为j )1(W j ≤≤的背包的物品的总价值,则可以得到如

下的动态规划函数:

)

2(}),1(),,1(max{

),1(),()

1(0),0()0,(⎩⎨⎧>+---<-===i i i i

w j v w j i C j i C w j j i C j i C j C i C 式(1)说明:把前面i 个物品装入容量为0的背包和把0个物品装入容量为j 的背包,

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