高阶统计量的定义和性质

第1章 高阶统计量的定义与性质

§1.1 准备知识

1.随机变量的特征函数

若随机变量x 的分布函数为)(x F ，则称

⎰⎰∞

∞

-∞

∞

-===Φdx x f e x dF e

e

E x j x

j x

j )()(][)(ωωωω

为x 的特征函数。其中)(x f 为概率密度函数。

离散情况：}{,

][)(k k k k

x j x j x x p p p e e E k ====Φ∑ωωω

* 特征函数)(ωΦ是概率密度)(x f 的付里叶变换。

例：设x ~),(2σa N ，则特征函数为

dx e e x j a x ⎰

∞

∞

---=Φωσσ

πω2

2

2/)

(21)(

令σ2/)(a x z -=，则

dz e a

j z j z

⎰

∞

∞

-++-=

Φωσωπ

ω22

1

)(

根据公式：A

B A

C Cx

Bx Ax

e

A

dx e 2

2

2--

∞

∞

--±-=

⎰π

，则

2

22

1

)(σωωω-=Φa j e

若0=a ，则222

1

)(σωω-=Φe

。

2.多维随机变量的特征函数

设随机变量n x x x ,,,21 联合概率分布函数为),,,(21n x x x F ，则联合特征函数为

)

,,,(][),,,(21)()(2122112211n x x x j x x x j n x x x dF e e E n n n n ⎰⎰

∞

∞-+++∞∞

-+++==Φωωωωωωωωω

令T n x x x ],,,[21 =x ,T n ],,,[21ωωω =ω，则

⎰=ΦdX f e T

j )()(x ωx ω 矩阵形式 或 n n x j

n dx dx x x f e

k

n

k k ,,),,(),,,(11211

⎰⎰

∞

∞-∞

∞

-∑=Φ=ωωωω 标量形式

其中，),,,()(21n x x x f f =x 为联合概率密度函数。

例：设n 维高斯随机变量为

T n x x x ],,,[21 =x ,T n a a a ],,,[21 =a

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n c c c c c c

2

1

11211c )])([(],cov[k k i i k i ik a x a x E x x c --== x 的概率密度为

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧---=

)()(21exp )2(1)(2/12/a x c a x c

x T n P π x 的特征函数为

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-=Φc ωωωa ωT T j 21ex p )( 矩阵形式

其中，T n ],,,[21ωωω =ω,

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-=Φ∑∑∑

===n i n

j j i ij n

i i i n C a j 111

2121exp ),,,(ωωωωωω 标量形式 3.随机变量的第二特征函数

定义：特征函数的对数为第二特征函数为 )(ln )(ωωΦ=ψ

(1)单变量高斯随机过程的第二特征函数 222

2

1

ln )(2

2σωωωσωω-==ψ-a j e a j

(2)多变量情形

j n i i n

ji ij i n

i i n C a j ωωωωωω∑∑∑===-=ψ111

2121),,,(

§1.2 高阶矩与高阶累积量的定义

1.单个随机变量情形 （1） 高阶矩定义

随机变量x 的k 阶矩定义为

⎰∞

∞-==dx x p x x E m k k k )(][

显然10=m ，][1x E m ==η。随机变量x 的k 阶中心矩定义为

⎰∞

∞

--=-=dx x p x x E k k

k )()(])[(ηημ (1)

由式(1)可见，10=μ,01=μ,22σμ=。

若),,2,1(n k m k =存在，则x 的特征函数)(ωΦ可按泰勒级数展开，即

)()(!

1)(1n k n

k k

O j k m ωωω++=Φ∑

= (2) 并且k m 与)(ωΦ的k 阶导数之间的关系为

n k j d d j m k

k k

k k

k ≤Φ-=Φ-==),0()()()(0

ωωω

（2）高阶累积量定义

x 的第二特征函数)(ωψ按泰勒级数展开，有

)()(!

)(ln )(1n k n

k k

O j k c ωωωω+=Φ=ψ∑

= (3) 并且k c 与)(ωψ的k 阶导数之间的关系为

n k j d d j d d j

c k

k k

k k k k k

k ≤ψ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Φ===),0()()(1)(ln 10

0ωωωωωω

k c 称为随机变量x 的k 阶累积量，实际上由1)0(=Φ及)(ωΦ的连续性，存在0 δ，使δ

ω 时，0)(≠Φω，故第二特征函数)(ln )(ωωΦ=ψ对δω 有意义且单值（只考虑对数函数的主值），)(ln ωΦ的前n 阶导数在0=ω处存在，故k c 也存在。

(3)二者关系

下面推导k c 与k m 之间的关系。形式地在式(2)与式(3)中令∞→n ，并利用

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=+=Φ∑∑∞=∞

=k k k k

k k j k c j k m )(!exp )(!1)(11ωωω

+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑∑∑∞=∞=∞

=n

k k k k k k k k k j k c n j k c j k c )(!!1)(!!21)(!11211ωωω

比较上式中各),2,1()( =k j k ω同幂项系数，可得k 阶累积量与k 阶矩的关系如下： η===][11x E m c

22222122]])[[(])[(][μ=-=-=-=x E x E x E x E m m c

33323312133]])[[(])[(2)][(][3][23μ=-=+-=+-=x E x E x E x E x E x E m m m m c

4441221312

244]])[[(61243μ=-≠-+--=x E x E m m m m m m m c

若0][==ηx E ，则 011==m c ][222x E m c ==

][333x E m c == 2242

244])[(3][3x E x E m m c -=-=

由上可见，当随机变量x 的均值为零时，其前三阶累积量与前三阶矩相同，而四阶累积

量与相应的高阶矩不相同。

2.多个随机变量情形 (1)高阶矩

给定n 维随机变量),,,(21n x x x ，其联合特征函数为