高中数学1.3.1函数的单调性教案新人教版必修1

1.3.1 (1)函数的单调性(教学设计)

教学目标

(一) 知识与技能目标

学生通过经历观察、归纳、总结、证明等数学活动能够：

1、 理解增函数、减函数的概念及函 数单调性的定义

2、 会根据函数的图像判断函数的单调性

3、 能根据单调性的定义证明函数在某一

区间上是增函数还是减函数

(二) 过程目标

1、 培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力

2、 学生利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养

(三) 情感、态度和价值观

1、 通过本节课的教学，启发学 生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯

2、 通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难 的意志，建立学习数学的自信心

教学重点：函数单调性的定义及单调性判断和证明

一、复习回顾，新课引入

1、 函数与映射的定义。

2、 函数的常用表示方法

3、 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

①随x 的增大，y 的值有什么变化？②能否看出函数的最大(小)值？③函数图象是否具有某种对称性？

4、作出下列函数的图象：

2

(1) y =x ； (2)y=x ・；

二、师生互动，新课讲解： 观察函数y=x 与y=x 2的图象，当x 逐渐增大时，y 的变化情

况如何？ 可观察到的图象特征：

(1) 函数f(x) x 的图象由左至右是上升的；

(2) 函数f (x) x 2的图象在y 轴左侧是下降的，在 y 轴右侧是上升的；也就 是图象在

区间(，0］上，随着x 的增大，相应的f (x)随着减小，在区间(0,)上， 随着x 的增大，相

应的f(x)也随着增大.

归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同 一函数在不

同区间上的变化趋势也不同•函数图象的这种变化规律就是函数性质的 反映.

1 •如何用函数解析式 f (x) x 2描述“随着x 的增大，相应的f (x)随着减小”，

随着增大”？ 在区间(0,)上任取X 1,X 2,函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关 系呢？ 对于函数f (x) x 2，经过师生讨论得出：在区间(0,)上，任取两个X 1,X 2，当X 1 X 2时，有f(X 1)

f(X 2).这 时，我们就说函数f (x) x 2在区间(0,)上是增函数.

课堂练习

请你仿照刚才的描述，说明函数 f(x) X 2在区间(，0］上是减函数.

2 •增函数和减函数的定义 设函数f(x)的定义域为I :

(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 x 1,x 2，当x 1 x 2时，都有f (x 1)

f (x 2)，那么 就说函数f (x)在区间D 上是增函数(increasin

g function

).区间D 叫做函数的增区间。 (2)请你仿照增函数的定义给出函数 f(x)在区间D 上是减函数的定义.

如果对于定义域|内某个区间D 上的任意两个自变量的值 x i ,X 2，当x i X 2时，都有f (x i ) f (X 2)，那么就说

函数f (x)在区间D 上是减函数(decreasing function

).区间D 叫做函数的减区间。

“随着x 的增大，相应的

3. 对定义要点分析

问：(1)你能分析一下增函数定义的要点吗？

(2)你能分析一下减函数定义的要点吗？

引导学生分析增(减)函数定义的数学表述，体会定义中“区间D上的任意两个自变量都有…”的含义.

例题选讲：

例1:(课本P29例1)图2-10是定义在闭区间［-5 , 5］上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出x=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数.

解：函数y=f(x)的单调区间有［-5 , -2) , ［-2 , 1) , ［1 , 3) , ［3 , 5］，其中y=f(x)在区间［-5 , -2) , ［1 , 3)上是

减函数，在区间［-2 , 1) , ［3 , 5］上是增函数.

变式训练1:如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时内的气温变化图 (24时与0

时气温相同为32 C),观察这张气温变化图：

气■温F

北京翼运会與林匹克公园场馆

自动气象站某日逐时气温演变團

问：该图形是否为函数图象？定义域是什么？问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢？

例2 证明函数f(x)=3x+2 在R上是增函数.

证明：设X1, X2是R上的任意两个实数，且X1V X2，贝y

f(x i)-f(x 2)=(3X I+2)-(3X 2+2)

=3(x i-x 2).

由X i V X2，得X i-X 2< 0,

于是f(x i)-f(x 2) < 0,

即f(x 1) < f(x 2).

所以，f(x)= 3x+ 2 在R上是增函数.

想一想：函数f(x)=-3x+2 在R上是增函数还是减函数？试画出f(x)的图象，判断你的结论是否正确. 归纳：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①任取X i, X2€ D,且X i

②作差f(x 1) - f(x 2)；

◎变形(通常是因式分解和配方)；

C4定号(即判断差f(x 1) - f(x 2)的正负)；