不等关系与不等式以及基本不等式

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第1讲不等关系与不等式

【2013年高考会这样考】

结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用．

【复习指导】

不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题．

基础梳理

1．不等式的定义

在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号＞、＜、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等

式．

2．比较两个实数的大小

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b .另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a

b ＜1⇔a ＜b . 3．不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞

c ⇔a ＞c ；

(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞n

b (n ∈N ，n ≥2)．

一个技巧

作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方． 一种方法

待定系数法：求代数式的围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的围． 两条常用性质 (1)倒数性质：

①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1

b ；

②a＜0＜b⇒1

a＜

1

b；

③a＞b＞0,0＜c＜d⇒a

c＞

b

d；

④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1

b＜

1

x＜

1

a.

(2)若a＞b＞0，m＞0，则

①真分数的性质：

b a＜b＋m

a＋m

；

b

a＞

b－m

a－m

(b－m＞0)；

②假分数的性质：

a b＞a＋m

b＋m

；

a

b＜

a－m

b－m

(b－m＞0)．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)给出下列命题：①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞|b|⇒a2＞b2；③a ＞b⇒a3＞b3；④|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的命题是()．

A．①②B．②③

C．③④D．①④

2．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是()．

A．v＜40 km/h B．v＞40 km/h

C．v≠40 km/h D．v≤40 km/h

3．(2012·质检)已知a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的()．

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是()．

A．ad＞bc B．ac＞bd

C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d

5.

1

2－1

与3＋1的大小关系为________．

考向一 比较大小

【例1】►已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．

【训练1】 已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )． A.a

b ＞1 B ．a 2＞b 2

C ．lg(a －b )＞0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12b

考向二 不等式的性质

【例2】►(2012·模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋b

c ＜0；(3)a －c ＞b －

d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【训练2】 已知三个不等式：①ab ＞0；②bc ＞ad ；③c a ＞d

b .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

考向三 不等式性质的应用

【例3】►已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值围． 【训练3】 若α，β满足⎩

⎨⎧

－1≤α＋β≤1，

1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值围．

考向四 利用不等式的性质证明简单不等式

【例4】►设a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1

c －a

＞0.

【训练4】 若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e (a －c )2＞e

(b －d )2

.

难点突破15——数式大小比较问题

数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式，涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知识，而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识，容丰富多彩．命题的方式主要是选择题、填空题，考查不等式性质、函数性质的应用． 一、作差法