椭圆型偏微分方程

得到
n v v ∫ ∑ u dx1 dxn = ∫ ∫ u ∑ cos(n, xi )dS . ∫ i=1 xi xi Γ i =1 xi n
(1.2)
(1.2)可改写成为
∫ ∫ u n vd + ∫ ∫
∑ uxi vxi d = ∫ ∫ u
i =1 Γ
n
v dS . n
上任一点的外法线方向实际上是从该点沿着半径指向球心P0 的方向, 所以在Γ ε 上有
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1 1 1 1 ( )= ( )= 2 = 2, n r r r r ε
从而得到在Γε 上的积分为
1 1 u ∫∫Γε u n ( r ) r n dS 1 1 u = 2 ∫∫ udS ∫∫ dS Γε ε ε Γε n u = 4π u 4πε ( ) , n
(1.3)
4
若将(1.3)中的u 和 v互相对换,又得
u ∫∫ vnud+ ∫∫ ∑ vxi uxi d = ∫∫Γ v n dS. i =1
n
(1.4)
我们把(1.3)与(1.4)都称作第一 第一Green公式 公式. 第一 公式 若将(1.3)与(1.4)相减,则得
v u ∫∫ (u△n v v△n u)d = ∫∫Γ u n v n dS,
∫∫
Γ
dS = 0.
性质 6.2 设 u(x, y, z)是有界区域 内的调和函数,且在闭区域
=+Γ 上有连续的一阶偏导数,则在 内的任一点P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处有
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u ( P0 ) =
1 4π
∫∫ r n u n ( r ) dS .
Γ
1 u
1
(1.13)
(1.1)
其中 cos(n, xi ) 表示曲面Γ的外单位法向n与 x 轴的方向余弦, dS i 是 Γ 上的面积元素.
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Green公式的推导： 设函数 u ( x1 , x2 , , xn ) 和 v ( x1 , x 2 , , x n ) 在内有连续的二阶 偏导数. 在公式(1.1)中令
Pi = u v , i = 1, 2 , , n , xi
△3 u ∫∫∫ r d,
(1.9)
是边界曲面 Γ 的外单位法向, dS是曲面 Γ 上的面积单元,d 是体积单元.
( x x0 ) 2 + ( y y0 ) 2 + ( z z0 ) 2 , n
其中 r =
证 以P0为中心ε 为半径作球 Kε 使 Kε ,Γε 表示该球的球面, 于是在区域
Kε上,函数
u 和v
=
1 r 都满足第二Green公式的条件,
代入公式(1.5)得
∫∫∫
1 因为 r
1 1 1 1 u u 3 ( ) 3u d = ∫∫ u ( ) dS , Kε Γ+Γε r r . n r r n
(1.10)
在区域 Kε 内是调和函数,
1 △3 ( ) = 0另外边界 Γε 所以有 r
Γ 散度定理： 设 散度定理： 是 n 维空间中以足够光滑的曲面 所围成的
有界连通区域, n 是曲面的外单位法向. 若函数 P ( x1, x2 ,, xn ) i (i = 1, 2, , n) 在闭区域 = + Γ 上连续, 在 内有一阶的连续偏 导数, 则
n Pi ∫ ∫ ∑ xi dx1 dxn = ∫ ∫Γ ∑ Pi cos(n, xi )dS , i =1 i =1 n
u≡M.
因此,在整个球 K R 上,有
u ( x, y , z ) ≡ M .
下面证明对 内的所有点,都有 u ≡ M . 为此在 内任取一点
u n
u n
u → u ( P0 )
, ε( )
u n
→ 0, Kε →
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于是由上式即得
u ( P0 ) = 1 4π 1 1 1 u u ( ) dS ∫∫Γ r n n r 4π 1 ∫∫∫ r △3 ud .
定理证毕. 今后, 我们将公式(1.9)称为三维空间中的基本积分公式 基本积分公式. 基本积分公式 定理 6.2 设函数 u ( x, y )在有界区域 内二阶连续可微， 在
Γ 上达到, 那么它必在 内的某一点 P0 ( x0 , y0 , z0 )达到, 记 u ( P0 ) = M ,
当然 M 也是u 在上的最大值.
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以 P 为心 R为半径作球 K R 使K R完全包含于内, 记 KR 的球面为
0来自百度文库
S R ,可以证明,在S R 上有
u ≡ M.
事实上,若函数 u 在S R上某一点的值小于 M , 则由连续性知, 在球面 S R 上必可找到此 点的一个充分小的邻域, 在此邻域内有
其中u 和 可写成
u n
分别是函数u和 u 在 球面Γε上的平均值.于是(1.10) n
1 u 1 1 u △3 ud = ∫∫ u ( ) dS + 4π u ε ( ) . Γ r n n r r n
∫∫∫
Kε
因为u及 在上连续，所以( ) 关于ε 一致有界, 且当 ε → 0时,有
调和函数. 调和函数 则称 u 在区域 内是调和函数
(1.6)
如果 n u ≥ 0( ≤ 0) 则称u 在区域 内是下调和 上调和 函数 , 下调和(上调和 函数. 下调和 上调和)函数 如果是无界区域,则除上面的要求外,还应要求当点P( x , x ,, x ) 趋于无穷远时, 函数u 一致趋于零.即对于任意小的正数ε ,存在正数
二维Laplace方程的基本解 定理 6.1 设函数 u ( x, y, z )在有界区域 内二阶连续可微, 在
= + Γ 上连续且有连续的一阶偏导数,
则当点 P ( x , y , z ) ∈ 时, 有
0 0 0 0
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u( P0 ) =
1 4π
1 1 1 u u ( ) dS ∫∫Γ r n n r 4π
= + Γ上连续且有连续的一阶偏导数，则当点 P0 ( x0 , y0 ) ∈ 时有
u ( P0 ) = 1 2π 1 u 1 1 ln u ln dl ∫Γ r n n r 2π 1 ln △2 udσ , ∫∫ r
(1.11)
其中d l表示 Γ上的线元素,dσ 是 上的面积元素. 1.3. 调和函数的基本性质 性质 6.1 设 u ( x, y, z )是有界区域 内的调和函数, 且在 = + Γ 上有连续的一阶偏导数,则
证 利用基本积分公式(1.9)即得. 类似地,对于二维空间的情形,我们可以利用(1.11)得到
u ( P0 ) = 1 2π 1 1 u ln u (ln ) dl , ∫Γ r n n r
(1.14)
其中Γ是平面上有界区域 的边界. 平均值定理) 性质 6.3 (平均值定理 设 u(x, y, z)是区域 内的调和函数, 平均值定理
《偏微分方程教程》 第六章 椭圆型方程
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§1
【知识点提示】
调和函数
Green公式，基本解，调和函数，调和函数的基本性质。 【重、难点提示】 重 难点提示 利用Green公式导出基本积分公式，进而研究调和函数的 基本性质。 教学目的】 【教学目的 教学目的 掌握调和函数的定义和性质。
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Green公式 1.1. Green公式
P (x0, y0, z0 ) 是 内的任一点以, P0 为心 R 为半径作球 K R只要球 K R 0
连同其边界 Γ 包含在 内,则有公式
R
u ( P0 ) =
1 4π R 2
∫∫
ΓR
udS .
(1.15)
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证 将公式(1.13)应用于球面 Γ R 上,得到
u ( P0 ) = 1 4π 1 1 u u ( ) dS , ∫∫ΓR r n n r
这里 r = R ,故由性质6.1知上式右端第一项的积分值为零, 又因为 在球面上的外法线方向与半径的方向一致,于是
1 1 1 ( ) |ΓR = ( ) |ΓR = 2 , R n r r r
所以有
u ( P0 ) = 1 4π R 2
∫∫
ΓR
udS .
我们把调和函数的这一性质称为平均值定理 公式(1.15) 平均值定理, 平均值定理
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∫∫
Γ
u dS = 0. n
(1.12)
证 利用第二Green公式,在(1.5)中取 v = 1 ,取 u为所给的调和 函数, 就可得到(1.12).由此性质可得出, Laplace方程的第二边 值问题
△3 u = 0, ( x, y, z ) ∈ , u n |Γ = .
有解的必要条件是函数 满足
(1.5)
我们把(1.5)称为第二 第二Green公式 公式. 第二 公式 1.2. 调和函数与基本解
n u( x1, x2 ,, xn ) ,如果它在 n 维空间R 的有 定义 6.1 对于函数
界区域内有直到二阶的连续偏导数,且在 内满足Laplace方程：
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n u = u x1x1 + u x2 x2 + + u xn xn = 0,
(1.7)
由(1.7)可以看出,方程(1.6)的球对称解是满足以 r为自变量的 常微分方程
1 u (r 2 ) = 0, 2 r r r
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其通解可写为
u =
c1 + c2, r
这里c1 , c 2是任意常数. 从而推得
所以函数u =
1 r
是一个球对称特解,
1 1 = r (x x0)2 +(y y0)2 +(z z0)2
1 2 n
A ,使当点P与坐标原点的距离r > A 时, 总有
| u ( P ) |< ε .
按照这个定义,有时我们把Laplace方程(1.6)也称作调和方程 调和方程. 调和方程 调和方程的基本解 我们仅考虑三维空间和二维空间的情形.
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首先我们考虑三维的情形. 用( x, y, z )表示三维空间中的点( x1 , x2 , x3 )改写三维空间的调和方程 为球坐标形式. 设球坐标变换为
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称为平均值公式 即调和函数在球心处的值等于它在球面上的 平均值公式, 平均值公式 平均值. 注1 对区域 内的下调和(上调和)函数u, 我们有
u ( P0 ) ≤ 1 4π R 2 1 udS , u ( P0 ) ≥ ∫∫ΓR 4π R 2 udS . ∫∫ΓR
(1.17)
强极值原理) 性质 6.4 (强极值原理 假设不恒为常数的函数 u ( x, y, z ), 强极值原理 在有界区域 内调和且在 = + Γ上连续, 则它在 上的最大 值和最小值只能在 的边界 Γ 上达到. 证 用反证法. 假设调和函数 u ( x, y, z )在 上的最大值不在
u<M
, 于是在 S R 上成立不等式
1 1 udS < MdS = M , 2 ∫∫S 2 ∫∫S R R 4π R 4π R
但由平均值公式(1.15),有
1 udS = u(P ) = M, 0 2 ∫∫S 4π R R
这就发生了矛盾. 所以在球面 S R 上,必须有 u ≡ M
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同理可证, 在任一以 P0 为心, ρ ( ρ ≤ R )为半径的球面 S 上, 也有
0 0 0
函数 且无穷次可微. 其次, 考虑二维Laplace方程 2u = u xx + u yy = 0 在极坐标变换
x = x0 + rcosθ , y = y0 + rsinθ
下它可化为
1 u 1 2u △2 u = (r ) + 2 2 = 0. r r r r θ
ln 1 r
(1.8)
在任一不包含点 P0 ( x0 , y0 , z0 )的区域内是调和的, 它在点 P0 处有奇性. 称函数
1 1 = r (x x0)2 +(y y0)2 +(z z0)2
为三维Laplace方程(1.6)的基本解 基本解
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注 基本解在 ( x, y, z ) ≠ ( x , y , z ) 时关于( x, y, z ) 或( x0 , y0 , z0 ) 都是调和
x x 0 = r sin θ cos , y y 0 = r sin θ sin , z z = r cos θ . 0
则(1.6)(取 n = 3)可化为
1 2 u 1 u 1 2u △ u = 2 (r ) + 2 (sinθ ) + 2 2 = 0. 3 2 r r r r sinθ θ θ r sin θ