高中数学 第一章 计数原理 12 排列 121 排列与排列数公式

派方法 ?
其中,属于排列问题的有
. (只填序号)
答案:①③⑤
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2.我们把从 n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有排列的个数 , 叫作从n个不同元素中取出 m个元素的排列数 ,记作A????.
A???? = ??(??? 1)(??? 2) … (??? ?? + 1). 规定A0?? = 1.
§2 排 列
第1课时 排列与排列数公式
1.通过实例正确理解排列的概念 . 2.能利用计数原理推导排列数公式 ,掌握排列数公式 ,能用排列数 公式进行计算与证明 ,解决简单的实际问题 .
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1.一般地,从n个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素,按照一定顺序 排成一列,叫作从n个不同的元素中任意取出 m个元素的一个排列 . 我们把有关求 排列的个数 的问题叫作排列问题 .
[( ??-1)-(??-1)]!
(??-1)! (??-??)!
(??-1)!
题型一
题型二
题型三
反思注意:(1)排列数公式 A????=n·(n-1)·…·(n-m+1)中最后一项为
(n-m+1),而不是 (n-m);
(2)排列数与阶乘的对应关系为
A????=n!,A????
=
??! .
(??-??)!
题型一
题型二
题型三
【变式训练 2】 求解下列问题:
(1)计算
2A85+7A A88 -A95
4 8
;
(2)解方程: A42??+1 = 140A3??.
解:(1)
2A85+7A84 A88 -A95
=
2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 8×7×6×5×4×3×2-×9×1 8×7×6×5
8 ×7 ×6 ×5 ×(8 + 7)
= 8 ×7 ×6 ×5 ×(24-9) = 1.
2??+ 1 ≥ 4,
(2)根据原方程,x 应满足 ??≥ 3,
??∈N+,
解得 x≥3,x∈N+.
题型一
题型二
题型三
根据排列数公式 ,原方程化为 (2x+1)·2x·(2x-1)·(2x-2)=140x·(x-
题型一
题型二
题型三
反思判断一个具体问题是否为排列问题 ,就看取出元素后排列是有 序的还是无序的 ,而检验它是否有序的依据就是变换元素的 “位 置”这( 里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定 ),看其结果是 否有变化 ,有变化就是排列问题 ,无变化就不是排列问题 .
题型一
题型二
题Leabharlann Baidu三
【变式训练 1】 判断下列问题是否为排列问题 :
题型一
题型二
题型三
题型二
有关排列数的计算
【例 2】 计算下列各题:(1)A215;(2)A66;(3)A????--A11??·??--A11????--????. 分析利用排列数公式及阶乘概念解题.
解(1)A215 =15×14=210.
(2)A66=6!=6×5×4×3×2×1=720.
(3)原式= (??-1)! ·(n-m)!· 1 = (??-1)! ·(n-m)!· 1 =1.
乘表示排 列数A????为: A????
=
??! .
(??-??)!
【做一做 3】 计算:(1)A316 ;(2)A88;(3)A46.
解(1)A316 =16×15×14=3 360. (2)A88=8!=40 320. (3)A46=6×5×4×3=360.
题型一
题型二
题型三
题型一
排列的概念
【例1】 下列问题是排列问题吗 ? (1)从1,2,3,4四个数字中 ,任选两个做加法 ,其结果有多少种不同的 可能? (2)从1,2,3,4四个数字中 ,任选两个做除法有多少种不同的可能 ? (3)会场有50个座位,要求选出 3个座位有多少种方法 ?若选出3个 座位安排3位客人入座 ,又有多少种方法 ? 分析:根据排列的定义判断 . 解:(1)不是,(2)是;(3)第一问不是 ,第二问是 .理由是:由于加法运算 满足交换律 ,所以选出的两个元素做加法求结果时 ,与两个元素的 位置无关 ,但列除法算式时 ,两个元素谁作除数 ,谁作被除数不一样 , 此时与位置有关 .“入座”问题同“排队”与, 顺序有关 ,故选3个座位安 排3位客人入座是排列问题 .
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【做一做 1】 给出下列问题 :
①有10个车站,共需准备多少种车票 ?
②有10个车站,共有多少种不同的票价 ?
③平面内有 10个点,共可作出多少条不同的有向线段 ?
④有10位同学,假期中约定每两人之间通电话一次 ,共需通电话多
少次?
⑤从10名学生中任选 2名分别参加数学和物理竞赛 ,有多少种选
+
??2 ??2
=
1?
题型一
题型二
题型三
解:(1)是.选出的2人,担任正、副班长任意 ,与顺序有关 ,所以是排 列问题 .
(2)是.对数值与底数和真数的取值的不同有关系 ,与顺序有关 . (3)不是.焦点在x轴上的椭圆 ,方程中的 a,b必有a>b,a,b的大小一 定,选出的两数较大的只能作 a,较小的只能作 b,与顺序无关 ,所以不 是排列问题 .
(1)某班共有50名同学,现要投票选举正、副班长各一人 ,共有多
少种可能的选举结果 ?
(2)从2,3,5,7,9 五个数字中任取两个数分别作为对数的底数和真
数,有多少个不同的对数值 ?
(3)从集合M={x|1≤x≤9,x∈N}中任取相异的两个元素作为 a,b,
可以得到多少个焦点在
x
轴上的椭圆
??2 ??2
说明:(1)排列的定义包括三个方面 :
①要排列的对象 ,两两不相同 ; ②取出元素 ; ③按一定的顺序排列 (所谓“按照一定顺序排成一列 ”应该理解成
将m个元素放在 m个不同的位置上 ).
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(2)两个排列相同的条件 :
①元素完全相同 ; ②元素的排列顺序也相同 .
(3)判断一个具体问题是否为排列问题应着重判断取出的元素对 顺序有没有要求 ,而检验它对顺序有无要求的主要依据是变换元素 的位置,看其结果是否有变化 ,有变化就是有序 ,无变化就是无序 .
【做一做 2】 设m∈N+,且m<15,则(15-m)·(16-m)·…·(20-m)可记
为( )
A. A615-??
B. A1250--????
C. A620-??
D. A520-??
答案:C
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3.我们把 n·(n-1)·(n-2)·…·2·1记作 n!,读作 :n的阶乘 ,规定 0!=1,利用阶