级数练习题答案(10)

10级级数练习题答案

1 写出下列级数的通项：

（1）111

1248-+-+L

解：111

(1)2

n n n u --=-，(1,2)n =L

（2）1234251017++++L

解：21n n

u n =+

(1,2)n =L

（3）

23

114477101013x x x ++++⋅⋅⋅⋅L 解：1

(32)(31)n n x u n n -=-+

(1,2)n =L

（4）234

22222!3!4!-+-+L

解：1

2(1)

!n

n n u n -=-

(1,2)n =L

2设级数1

n n u ∞

=∑的第n 次部分和31

n n

S n =

+，试写出此级数，并求其和。 解：13(2),(1)n n n u S S n n n -=-=≥+而1133

1112u S ===

+⋅，113(1)n n n u n n ∞∞

==∴=+∑∑ 又3lim lim 31n n n n

S n →∞→∞==+Q ，所以级数1n n u ∞=∑收敛，且13

n n u ∞

==∑

3判断下列级数的敛散性。若级数收敛，求其和。 （1

）0.001++L L

解：1

1lim lim(

)101000

n

n n n u →∞→∞==≠Q ，所以原级数发散。 （2）234123444444(1)55555n n n --+-++-+L L

解：公比4

4,

15

5q q =-=<，所以级数收敛，和为4

45419

15

a q ==-+

（3）1357

2468

++++⋅⋅⋅

解：1

135********n n n ∞

=-++++⋅⋅⋅=∑

21

lim lim

102n n n n u n →∞→∞-==≠Q ，所以原级数发散。

（4）1234

2345++++⋅⋅⋅

解：1

123423451n n

n ∞

=++++⋅⋅⋅=+∑

lim lim

101

n n n n

u n →∞

→∞==≠+Q ，所以原级数发散。

（5）⋅⋅⋅+⎪⎭

⎫

⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+2718191413121

解： 对于11()2

n n ∞

=∑，公比112q =<，所以级数收敛，和为1

211112

a

q ==--

对于11()3

n n ∞

=∑，公比113q =<，所以级数收敛，和为1

1

311213

a q ==--

所以⋅⋅⋅+⎪⎭⎫

⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+2718191413121收敛，和为13122+=

4用比较判别法判定下列级数的敛散性

（1）111

1357

++++L

解：1

21

n u n =-

1

121lim lim lim (0,)11212

n n n n u n n n n n

→∞→∞→∞-===∈+∞-

因为11n n ∞

=∑发散，由比较判别法，1

1

21n n ∞

=-∑发散。

（2）211111

2510171

n +++++++L L

解：21

1

n u n =+

22222

11lim lim lim 1(0,)11

1n n n n u n n n n n →∞→∞→∞+===∈+∞+

因为211n n ∞

=∑收敛，由比较判别法，211

1

n n ∞

=+∑收敛。

（3）2341

2222213353573579357(21)n n -++

+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-L L L 解：

1122222

()357(21)3333

n n n --≤⋅=⋅⋅⋅⋅-L L 因为112

()3

n n ∞

-=∑收敛，由比较判别法，原级数收敛。

（4）11

ln(1)

n n ∞

=+∑

解：1

ln(1)

n u n =

+

1

1ln(1)

lim lim

lim lim lim(1)111

ln(1)1

n n n n n n u n n n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞+====+=∞++ 因为11n n ∞

=∑发散，由比较判别法，1

1

ln(1)n n ∞

=+∑发散。

（5）234234222213335373++++⋅⋅⋅⋅L 解：2(21)3

n

n n

u n =-⋅