几何意义汇总

a .设Ω在xoy平 面 上 的 投 影 域 为 D,
D r , 1 2 , r1 ( ) r r2 ( )
b.过D内任一点 (r , )作穿入穿出线 (与z轴平行且同向 )得 z1 (r , ) z z 2 (r , ),即积分区域由不等式
2.极坐标系
在极坐标系下 ， 通常先求对 r积分， 后对积分
D: r1 ( ) r r2 ( )
面积元素 d rdrd
f ( x, y )d d
D

r2 ( )
r1 ( )
f(r cosθ,r cosθ)rdr
(三)二重积分的应用 1.几何应用

dx f ( x , y, z )dxdy
z1 Dz
z2
2.柱面坐标系
x r cos y r sin , zz
0 2 0 r , z
dv rdrd dz
在 柱 面 坐 标 系 下 计 算重 三积 分 一 般 采 取 的 积分次序为先积 z， 再 积r， 最 后 积 ， 确 定 积分限的方法是 :
(1)坐标面投影法 将积分区域 Ω在xoy平 面 上 作 投 影 ,设投影域
Dxy (x,y)a x b,y1(x) y y 2 (x)
在D内 任 取 一 点 ( x , y )作 与z轴 平 行 且 同 向 的 穿入穿出线 ,则 先 交 者 为 z的 积 分 下 限 ,后 交 者 为 上 限, 上 限 与 下 限 一 般 是 x , y的 函 数 ,于 是 有 z 1 ( x , y ) z z 2 ( x , y ).
(1)平面图形的面积

d rdrd
D D
(2)曲面面积
设空间有界曲面 的 方 程 为 z f(x,y), D为 曲 面 在xoy平 面 上 的 投 影 区 域 ， 函 数f(x,y)在D上 具 有连续偏导数 ， 则曲面 的 面 积 为
A

D
1 f x2 f y2 d
(一)三重积分的概念及性质
f ( , , f ( x, y, z )dv lim
0 i 1 i i n i
)v i
三重积分具有与二重积 分完全类似的性质
(二)三重积分的计算法
三重积分通过化为三积 次分来计算 ， 通常 采用的有三种坐标系 。
(3)平面薄片 D的重心坐标 ( x, y )为
1
2
r2 ( )
r1 ( )
rdr
z2 ( r , )
y2 ( x )
y1 ( x )
dy
z2 ( x , y )
f ( x, y, z )dz
(2)坐标轴投影法
a.将积分区域 向z轴投影: z1 z z 2
b.z z1 , z 2 , 过z点作平面垂直 z轴, 该平面 截的截面为 Dz (与z有关),则有
f ( x , y , z )dv
3.二重积分的几何意义
D为 底， 以 曲 面 f ( x , y )dxdy在 几 何 上 表 示 以
D
z f(x , y )为 顶 的 曲 顶 柱 体 的 体 之 积代 数 和 。
（二）二重积分的计算 法（ 累次积分法 ）
1.直角坐标系
a xb (1) D为X 型区域 ， 即D： 1(x) y 2 (x)
1 2 r1 ( ) r r2 ( ) z1 ( r , ) z z 2 ( r , )
确定， 则有
f ( x , y , z )dv rd rd z (r,) f(r cos,r sin,z)dz

z 2(r, )
1
D
d
2.物 理应 用
设平面薄片占有 xoy平面上区域 D, 在点(x,y) 处的面密度为 ρ(x,y) ,则
(1)平面薄片的质量 M为
M
ρ(x,y)dσ
D
(2)平面薄片 D对x轴，y 轴的静力矩
Mx
y ( x , y )d
D
My
x ( x , y )d
D
二.三重积分
x My M
x ( x, y )d
D
( x, y )d
D
Mx y M
y ( x, y )d
D
( x , y )d
D
(4)平面薄片的转动惯量
Ix
y
D
2
ρ(x,y)dσ
Iy
2 x ρ(x,y)dσ D
1.直角坐标系
在直角坐标系下 ,随 着 积 分 区 域 Ω的 表 示 法 不 同, 可 将 三 重 积 分 化 为 先 z 积 ,或 先 积 x, 或 先 积 y 的三次积分 . 下面仅以先积 z的情形说明怎样确定积 分限.
f ( x, y )dxdy
D
b
a
dx
2 ( x )
1 ( x )
f ( x , y )dy
c yd (2) D为Y 型区域 ， 即D： 1(x) x 2 (x)
f ( x, y )dxdy
D
d
c
dy
2 ( x)
1( x)
f ( x , y )dx
即积分区域 Ω由 不 等 式 x1 x x 2 ,y1(x) y y 2 (x), z1(x,y) z z 2 (x,y)
则有
f(x,y,z)dv
Ω

D xy
dσ
z1 ( x , y )
z 2(x,y)
z1(x,y)
f(x,y,z)dz
dx
x1
Байду номын сангаас
x2
本章小节
定 义 定 义
二 重 积 分
几何意义 几何意义
性 质 性 质
计算法
应 用
计算法
应 用
三 重 积 分
一.二重积分
(一)二重积分的概念与性质
1.二 重 积 分 的 定 义 f ( , ) f(x,y)dxdy lim
D 0 i 1 i i n i
2.二 重 积 分 的 性 质 二 重 积 分 具 有 与 定 积类 分似 的 7个 性 质