第五节隐函数的求导公式 (2)

把 y 看成x, z 的函数对z 求偏导数得y . z
解 令 u x y z, v xyz,
则 z f (u,v),
把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得
z x
f
u
(1
z x
)
fv ( yz
xy z ), x
z
整理得
fu yzfv ,
x 1 fu xyfv
把x 看成z, y 的函数对y 求偏导数得
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
并有
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
例 3 设 x2 y2 z2 4z 0，求x2z2 .
解 令 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z,
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
v v( x, y)，它们满足条件u0 u( x0 , y0 ) ,v0 v
( x0 , y0 )，并有
Fx Fv
u 1 (F ,G) Gx Gv , x J ( x,v) Fu Fv
Gu Gv
v 1 (F ,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
(3)
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
思考题
已知 x ( y)，其中 为可微函数，
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0,
dx x0
d2y dx 2
y xy y2
y
x y2
x y
1 y3
,
d2y dx2 x0 1.
例 2 已知ln x2 y2 arctan y ，求dy . x dx
解 令 F ( x, y) ln x2 y2 arctan y , x
2z x 2
(2 z) x z
x (2 z)2
(2 z) x x
2 z (2 z)2
(2
z)2 (2 z)3
x2
.
例 4 设z f ( x y z, xyz)，求z ，x ，y . x y z
思路：把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得z ， x
把x 看成z, y 的函数对y 求偏导数得x ， y
解 令 F(x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x, Fy 2 y,
F(0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x 2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1的 函数 y f ( x)．
函数的一阶和二阶导数为
隐函数存在定理 3 设F ( x, y, u,v)、G( x, y, u,v) 在
点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内有对各个变量的连续 偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 )
0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比
0
f
u
(
x y
1)
fv ( xz
yz x), y
整理得 x fu xzfv ,
y
fu yzfv
把 y 看成x, z 的函数对z 求偏导数得
1
y
fu
( z
1)
y fv ( xy xz z ),
整理得 y 1 fu xyfv . z fu xzfv
二、方程组的情形
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
式）
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
u v
在点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )不等于零，则方程组 F ( x, y,u,v) 0、 G( x, y,u,v) 0
在点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内恒能唯一确定一 组单值连续且具有连续偏导数的函数u u( x, y) ，
第五节 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
1. F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点P( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点P( x0 , y0 ) 的
则
Fx ( x, y)
x x2
y y2 ,
Fy( x, y)
y x2
x y2 ,
dy Fx x y . dx Fy y x
2. F( x, y, z) 0
隐函数存在定理 2 设函数F ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 , z0 ) 0，Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方程F ( x, y, z) 0在点P( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续
导数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并
有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x 0的值.
u x
v x
x y
xu x2
yv y2
,
v x
y x
yx
y
u
v y
yu xv x2 y2 ,
x
将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
u y
xv x2
yu y2
,
v y
xu x2
yv y2
.
三、小结
隐函数的求导法则（分以下几种情况）
(1) F ( x, y) 0
(2) F( x, y, z) 0
例5 设 xu yv 0， yu xv 1， 求 u ，u ，v 和v . x y x y
解1 直接代入公式；
解2 运用公式推导的方法，
将所给方程的两边对 x求导并移项
x y
u x u
y x
v x v
u ,
vBaidu Nhomakorabea
x x
x J
y x2 y2,
yx
在J 0的条件下，
u y
x