浙江大学《概率论与数理统计》第4章随机变量的数字特征(课堂PPT)

500 350 2, Y= 500 350 50,
500-350,
若0 X 1, 若1 X 3, 若X 3.
由于X服从指数分布，那么
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P{Y 200} P{0 X 1} 1 1 ex/3dx 1 e1/3, 03
P{Y 100} P{1 X 3} 3 1 ex/3dx e1/3 e1, 13
解：由Y的定义知其分布函数为
0,
FY
( y)
P{max(X , 0)
y}
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y
3
1, 3
1,
若y 0, 若0 y 2, 若y 2.
可见Y既不是离散型的随机变量,也不是连续型的随机变量.
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由于P(Y 0) 1，故有
E(Y)
（1
0
FY
(
y))dy
2
(1 (
P{Y 150} P{X 3} 1 ex/3dx e1.
33
13
即Y的分布律为
Y
-200
100
150
P
1 e1/3
e1/3 e1
e1
因此售出一件产品的平均净收入为
E(Y ) 200 (1 e1/3) 100 (e1/3 e1) 150 e1 200+300e1/3 50e1 33.35(元).
级数 xk pk的值为随机变量X k 1
的数学期望，记为E X ,即
E X xk pk k 1
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数学期望简称期望，又称均值。
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定义：设连续型随机变量X的概率概率为f x,
若积分
xf (x)dx
绝对收敛
则称积分
xf (x)dx
的值为随机变量X的
数学期望，记为E( X )
则 X ~ B(5, 0.2)
设Y表示一周内所获利润，则
P(Y 10) P(X 0) (1 0.2)5 0.328, 其余同理可得，于是Y的分布律为：
Y
-2 0
5 10
P 0.057 0.205 0.410 0.328
于是 E(Y ) 5.21（6 万元）
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定理：随机变量X的分布函数为F ( x),则
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例：设一台机器一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停工。若一 周5个工作日里无故障，可获利10万 元；发生一次故障获利5万元；发生2 次故障获利0元，发生3次或以上故障 亏损2万元，求一周内期望利润是多少？
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解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，
9
80 100
10
10 100
9
计算乙的平均成绩：
8 20 9 65 1015 100
8
20 100
9
65 100
10
15 100
8.95
所以甲的成绩好于乙的成绩。
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§1 数学期望
定义：
设离散型随机变量X的分布律为：
P( X xk ) pk k 1, 2,L
若级数 xk pk绝对收敛，则称 k 1
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例：一种常见的赌博游戏,其规则为:投掷一颗均 匀的骰子，赌客猜精确的骰子点数,凡猜中 者以1比5得到奖金,否则其押金归庄家所有, 问此规则对庄家还是赌客更有利?
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解：显然猜中点数的概率为1/6.不妨设一赌徒押 了10元,那么根据规则,他收回50元的可能性 为1/6, 有5/6的可能性是血本无归.因此经过 一次赌博,他能"期望"得到的金额为:
E(X )=
+
(1 F (x))dx
0
F (x)dx.
0
特别地，当X为非负随机变量（即P(X 0)=1）时，有
E( X ) （1 F (x))dx. 0 当X 为取非负整数值的随机变量时，有
E(X ) P(X k). k 1
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例： 设X服从U(1, 2),令Y max{X，0},求E(Y).
第四章 随机变量的数字特征
关键词： 数学期望 方差、变异系数 协方差、相关系数 其它数字特征
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问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量
的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征
例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度； 考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度。
f
(x)
1 3
ex
/
3
x0
0
x0
若每件产品的生产成本为350元,出售价格为
500元,并向顾客承诺,如果售出一年之内发生故
障,则免费调换一件;如果在一到三年间发生故障,
则予以免费维修,维修成本为50元.在这样的价格
体系下,请问:该厂每售出一件产品,其平均净收入
为多少?
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解：记某件产品寿命为X(年),售出一件产品的 净收入为 Y(元)，则
即 E(X )
xf (x)dx
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例： 设随机变量X的分布律为
P(X=(-1)k+1
3k k
)=
2 3k
,
证明X 不存在数学期望。
k=1,2,L .
+
证明： 由于 |
k=1
xk
|
pk
+
k=1
3k k
2 3k
+
k=1
2 k
,
即该无穷级数是发散的。 因此由定义知，X 不存在数学期望。
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例：
设 X 服从指数分布，密度函数为
ex x 0
f (x)
，
0
x0
0,求E( X )。
解:
E(X )
xf (x)dx
x exdx
0
xex
|0
exdx
0
1
ex
|0
1
.
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例：某厂生产的电子产品,其寿命(单位:年)服从
指数分布,概率密度函数为
50 1 0 5 50 8.33(元). 6 66
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例： 设 X (),求E( X )。
解：X的分布律为：P(X k) ke k 0,1,L
k! X的数学期望为：
E( X ) k ke
k 0
k!
e
k 1
k 1
(k 1)!
0
e e
即 E(X )
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例: 谁的技术比较好? 甲,乙两个射手, 他们的某次射击成绩分别为
甲射手
击中环数 8 9 10
次数
10 80 10
乙射手
击中环数 8 9 10
次数
20 65 15
试问哪个射手技术较好?
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3
解：计算甲的平均成绩：
810 980 10 10 100
8
10 100