第4章 气体内的输运过程

平均自由程
v 1 1 z 2 n 2 d 2n
•说明平均自由程与分子有效直径d的平方及单位体积内的分子数n 成反比，而与平均速率无关。
p nkT ,
v 8kT
m
λ kT kT 2σp 2πd 2 p
• 这说明，当温度恒定时，平均自由程与压强成反比。 7
[例题] 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率，取 分子的有效直径d = 3.5×10–10 m。已知空气的平均相对分子质量为 29。
• 分子在任意两次连续碰撞之间所通过的自由程有长有短。有的比 平均自由程长，有的比平均自由程短。
•在全部分子中，自由程介于任一给定长度区间 x x dx内的分子 • 有研多究少分？于按自由程的分布。
• 设想在某一时刻，考虑一组分子，共N0个。它们在以后的运动中 将与组外的其他分子相碰，每发生一次碰撞，这组的分子就减少 一个。
为什么会出现这种矛盾呢？
这是由于分子在由一处移至另一处的过程中，将不断地与其他 分子碰撞，结果只能沿着迂迥的折线前进。
分子碰撞3
一个分子在两次连续碰撞间自由运动的平均路程——平均自 由程。Байду номын сангаас
单位时间内一个分子与其他分子碰撞的平均次数——平均碰撞 频率。
平均碰撞频率和平均自由程的计算
• 初步理论，视分子为钢球，两个 分子之间最小距离的平均值视为 分子的直径，叫做分子的有效直 径。
碰撞实验
在时间 t 内，A所经过的路程
为 ut ，相应的圆柱体的体积 σut，
如果以n表示气体单位体积内的分子
数,则在此圆柱体内的总分子数，亦即
A与其他分子的碰撞次数为nσut ， 因比碰撞频率为
z nσut nσu
u
t
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平均相对速率和平均速率的关系为
u 2v
代入上式，平均碰撞频率为
证明
z 2n v 2 d 2nv
A部将施于B部一平行于y轴负方向 的力，B部施于A部一大小相同方向相 反的力。
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• 实验结果表明，如以F表示A、B两部分相互作用的黏性力的大小， 以dS所取面积，
du ( dz )z0
表示截面所在处的速度梯度，则
速度单位空间变化量
F
(
du dz
)
z0
dS
牛顿黏性定律
•式中的比例系数 叫做气体的黏度。
y
•设这 组分子通过路程x时， 还剩N个分子。在下段路程 dx上又减少了dN个。
z0 0 N0
x
x x+dx
t t+dt N N+dN
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•分子在单位长度的路程上，每个分子平均碰撞1 次； •在长度为dx的路程上，每个分子平均碰撞dx 次；
•N个分子在dx长的路径上平均应碰撞 Ndx 次；
因此，分子数的减少量为
4
• 平均自由程 如果用 v 表示分子的平均速率，则在任意一段时间 t 内，分
子所通过的路程为vt ，而分子的碰撞次数也就是整个路程被折成 的段数为 zt ，因此根据定义，平均自由程为
vt v
zt z •平均自由程和碰撞频率的大小是由气体的性质和状态决定的
•平均碰撞频率
• 对于化学纯气体，分子A与其他分子发生碰撞时,可假定其他分子
不动，而分子A以平均相对速率 u 运动。
• 假定分子的有效直径为d，当两分子的中心距离小于或等于d时将
发生碰撞。
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• 为了确定在一段时间内有多少个分子与A相碰，可设想以A的中心 运动轨迹为轴线，以分子的有效直径d为半径作一个曲折的圆柱体。 这样，凡是中心在此圆柱体内的分子都会与A相碰。
圆柱体的截面积 d 2 称为分子碰撞截面。
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已知空气的平均摩尔质量为29×10-3 kg/mol，代入 v 8RT M
可求出空气分子在标准状态下的平均速率为 v 448 m/s
空气分子的碰撞频率为
z v 448 s-1 6.5109 s-1 6.9 108
平均地讲，每个分子每秒与其他分子碰撞65亿次。
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二、分子按自由程的分布
•它与气体的性质和状态有关。 单位是N s m-2
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§4.2 输运过程的宏观规律
一、黏性现象的宏观规律
当气体各层的流速不同时，则通过任一平行于流速的截面，相 邻两部分气体将平行于截面互施作用力；力的作用使流动慢的气层 加速，使流动快的气层减速。
设气体平行于x0 y平面沿y轴正方向流动,流速u随z增大
在z z 处，垂直于z轴取截面 0
将气体分成A,B两部分。
[解] 已知T = 273 K，p = 1.0 atm 1.01×105 N/m2，d = 3.5×10–10 m，
k = 1.38×10–23 J/K，代入
即得
kT 2 d 2 p
1.381023 273 1.41 3.14 (3.51010 )2 1.01105
m 6.9108
m
在标准状态下，空气分子的平均自由程约为其有效直径d的200倍。
第四章 气体内的输运过程
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• 前两章所讨论的都是气体在平衡态下的性质，实际上许多问题都 牵涉到气体在非平衡态下的变化过程。
• 例如，当气体各处密度不均匀时发生的扩散过程，温度不均匀时 发生的热传导过程，以及各层流速不同时发生的黏性现象就是典 型的由非平衡态趋向平衡态的变化过程。
• 这三种过程统称为输运过程。
输运过程（现象）
黏性过程（现象） 热传导过程（现象） 扩散过程（现象）
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§4.1 气体分子的平均自由程
一．分子的平均自由程和碰撞频率 在室温下，气体分子平均以几百米每秒的速率运动着。
v
8RT 4.25102 m / s
M
• 实际情况并不如此，气体的混合(扩散过程)进行得相当慢，气体的 温度趋于均匀(热传导过程)也需要一定的时间。
dN 1 Ndx λ
或 dN dx Nλ
积分上式得
y
z0 0 N0
x
x x+dx
t t+dt N N+dN
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ln N x C
C 为积分常数。
x 0，N N0,代入上式得
分
N N0e x
子
按
或
自
由
程
dN
1
N0ex
dx
分 布 规
律
dN
1
e
x
dx
N
0
气体分子行进到x处未被
碰撞的分子数占总分子数 的比率——概率
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[例题] 在N0个分子中，自由程大于和小于平均自由程的分子各有 多少？
[解]
N N0e x
N表示在N0个分子中，自由程大于平均自由程的分子，
所以
N(x
)
N
e
1N
0.37N
0
e0
0
在N0个分子中，自由程小于平均自由程的分子为
N (x ) N N (1 1)N 0.63N
0
e0
0