土力学与地基基础 (第三章 土的自重应力计算)

一、竖向集中力下的地基附加应力
P
1、单个竖向集中力下的地基附加应 力
o x
r
y
q
x Rz
y
r x2 y2 R r2 z2
M
z
半空间弹性体表面受集中力作用
一、竖向集中力下的地基附加应力 1、单个竖向集中力下的地基附加应 力
用弹性力学求解空间中任意点M的应力，其中竖向正应力为σz
z
3P
2 z2
d
c
d
c
Ⅱ o
Ⅰ
ⅤⅢ o
ⅠⅡ
a
b
a
b
(1)o点在荷载面边缘
σz＝（αcⅠ＋αcⅡ）p0
(2)o点在荷载面内
σz＝(αcⅠ＋αcⅡ＋αcⅢ＋αcⅣ)p0 o点位于荷载面中心，因αcⅠ=αcⅡ=αcⅢ=αcⅣ
σz=4αp0
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
d
c
Ⅳ
Ⅲ

Ⅱ
Ⅰ
d
c
Ⅰ Ⅲ
a
b
Ⅳa
在距地表深度z处，土体的自重应力为：
竖向：sz = z 水平向：sx = sy = K0 sz 剪应力：τxy＝ τyz＝ τzx
H1
地下水位
H2
sz sx
sy
一、均质土中竖向自重应力
σ（kPa）
cz＝ z
z
地基中的初始应力，即地基中任一点的自重应力，只需用竖向应力和水
平向应力表示。天然地面下任意深度z处水平面上的竖向自重应力为
一、竖向集中力下的地基附加应力
由上面分析和图可知，集中力P在地基中引起的附加应力在地基中向深 部和四周无限传播，在传播过程中应力强度逐渐降低。为直观表示出这 种现象，绘出应力等值线，其空间形状如泡状，称为应力泡。图中离集 中力作用点越远，附加应力越小，这种现象称为应力扩散现象。
集中力作用下土中的自重应力分布图
z
1 z2
n
i1
i Fi
例2：在地基中作用有一集中力P=100kN，求:(1)在地基中z=2m的水平 面上，水平距离r=0，1，2，3，4m处各点的附加应力，并绘出分布图； (2)在地基中r=0的竖直线上距地基表面z =0，1，2，3，4m处各点的附 加应力，并绘出分布图； (3)取σ z =10，5，2，1kPa，反算在地基中z =2m的水平面上的r值和在r=0的竖直线上的z值，并绘出相应于该四个应 力值的σ z等值线图。
则地基中第n层底面处的竖向土自重应力：
n
c 1h1 2h2 ...... nhn ihi i 1
二、成层土中自重应力
c1 1h1 c2 1h1 2h2
c3
1h1
2h2
' 3
h3
c4 1h1 2h2 3' h3 4' h4 透水岩层
c4
1h1
1、单个竖向集中力下的地基附加应力
采用Boussinesq解答，竖向正应力z和竖向位移w 最为常用。如果地基 中某点与局部荷载的距离比局部荷载的荷载面尺寸大很多时，就可以用 一个集中力代替局部荷载，采用Boussinesq解答。
z
F Z2
α－集中力作用下地基的附加应力系数，查3.1表
一、竖向集中力下的地基附加应力 1、单个竖向集中力下的地基附加应力 半空间体
F G p
A
A l b
G G Ad
三、基底压力的简化计算
1、中心荷载下的基底压力
G G Ad
三、基底压力的简化计算
2、偏心荷载下的基底压力
单向偏心荷载下
pmax F G M
pmin
lb W
M (F G )e W bl 2
6
pmax F G (1 6e)
pmin
lb
l
e M F G
自重应力：地基中源于土体自身重量的应力。
基底压力：建筑物的荷载通过基础传递给地基，在基础底面与地基之间产 生的接触应力。
附加应力：建筑物的荷载在土体中产生的在原有应力基础上的应力的增量。
附加应力造成了地基土的变形（处于欠固结状态的土，自重应力也是变 形产生的因素之一） ，从而导致了地基中各点的竖向和侧向位移。
本章主要讨论地基中的应力、为下一章求解竖向位移（沉降）做准备。 土体的应力－应变关系十分复杂，常呈弹、粘、塑性，并且呈非线性、
各向异性，还受应力历史的影响。 地基土中附加应力的正确计算和地基土体性状的正确描述是提高沉降计
算精度的两个关键问题。
要保证建筑物的安全和正常使用必须控制其沉降量和不均匀沉降差 值（差异沉降量）不超过一定范围，对软粘土地基上的建筑物尤为重要。 沉降分析是土力学的基本课题之一。
3.2 土的自重应力计算
在荷载作用之前，地基中存在初始应力场。初始应力场常与土体自重、 地基土地质历史以及地下水位有关。在工程应用上，计算初始应力场时常 假设天然地基为水平、均质、各向同性的半无限空间，土层界面为水平面。 于是在任意竖直面和水平面上均无剪应力存在。 假设前提： 假设土（岩）体为均匀连续介质，并为半无限空间弹性体。 地面
（1）基底接触压力的产生 建筑物荷重 基础 地基在地基与基础的接触面(持力层顶面）上产生的压力（地
基作用于基础底面的反力）
（2）影响基底压力的因素： 1）地基与基础的相对刚度有关； 2）基础的刚度、平面形状、尺寸大小、埋置深度有关； 3）作用在基础上的荷载性质、大小和分布情况有关； 4）地基土的性质有关。
z3 z2 )3/2
p 0 [1 (
1
1
] r p0
1) 3 / 2
1
1
z3 R5
1
R (r 2 z2 )2 整理得：
z
3P
2 z2
1
1
r z
5
2 2
则：
z
P z2
z
tzy
tzx txz
tyz
y
tyx
txy
x
M点处的微单元体
令α为附加应力系数,计算时查表
3
2
1
1 r z
2
5
2
一、竖向集中力下的地基附加应力 2、多个竖向集中力下的地基附加应 力
应力泡
一、竖向集中力下的地基附加应力
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
z
F
d z
3z3
2
p(x, y)dd F (( x )2 ( y )2 z 2 )5/ 2
二、均布矩形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
p c ——均布矩形荷载角点下的竖向附加应力
四、基底附加压力 基底附加压力p0：由于建筑物荷载，在基础底面处增加的压力。
基底平均压力设计值，kPa
p0 p ch p 0h
基底土自重应力标准值，kPa，
ch 1h1 2h2 ...... nhn
基础埋深，m，
3.4 地基附加应力计算
竖向集中力下的地基附加应力 矩形和圆形荷载下的地基附加应力
第三章 土的自重应力计算
§3.1 概述 §3.2 土的自重应力计算 §3.3 基地压力的分布与计算 §3.4 地基附加应力计算
3.1 概述
一 土中应力
目的
自重应力： 附加应力
应力—应变关系假设及计算方法
目前在计算地基中的应力时，常 假设土体为连续体、线弹性及均 质各向同性体。实际上土是各向 异性的、弹塑性体。
cz＝ z
竖直面上的水平向自重应力为
cx＝K0 cz = K0 z
K0 为静止侧压力系数。
二、成层土中自重应力
土中竖向和侧向的自重应力一般均指有效自重应力，计算时，对地下
水位以下土层必须以有效重度 ' 代替天然重度。为简便起见，常把竖 向有效自重应力cz简称为自重应力，并以符号c表示。
若地基是由多层土所组成，设各层的厚度为h1、h2、…hi、…hn，
Ⅱ
b
o
(3)o点在荷载面边缘外侧 σz＝(αcⅠ－αcⅡ＋αcⅢ－αcⅣ)p0
(4)o点在荷载面角点外侧 σz＝(αcⅠ－αcⅡ－αcⅢ＋αcⅣ)p0
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
例3：均布荷载p0 =100kPa，荷载面积2m×1m，求荷载面积上角点A， 边点E，中心点O，以及荷载面积以外F，G各点下z=0m处的附加应力。
z
c0
系数，简称角点应力系数，可查表得到。
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
对于均布矩形荷载附加应力计算点不位于角点下的情况：
(a) o点在荷载面边缘 (b) o点在荷载面内 (c) o点在荷载面边缘外侧 (d) o点在荷载面角点外侧
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
均布矩形荷载 三角形分布的矩形荷载 均布圆形荷载 平面问题（线荷载和条形荷载） 非均质地基中的附加应力
1、定义 附加应力是由于外荷载作用，在地基中产生的应力增量。
2、基本假定（半空间弹性体） 地基土是各向同性的、均质的、线弹性变形体，而且在深度和水平 方向上都是无限延伸的（半空间）。
一、竖向集中力下的地基附加应力
三、基底压力的简化计算
2、偏心荷载下的基底压力
(1) e＜L/6, 应力呈梯形分布
pmax F G (1 6e)
pmin
lb
l
(2) e＝L/6, 应力呈三角形分布
pmax
2（F G） lb
pmin 0
(3) e＞L/6, 应力重新分布
pmax
2（F 3b( l
G） e)
2
pmin 0
二、基底压力分布
基础按刚度分为： （1）柔性基础（抗弯曲变形能力为0） （2）刚性基础（抗弯曲变形能力为∞） （3）有限刚性基础（弹性地基上梁板分析方法）