现代控制理论_第5章_状态反馈与状态观测器
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分两种情况讨论如下： 一、输出至状态微分的反馈 以多输入-单输出受控对象为例，结构图见图5-3。反 馈系统动态方程为：
AxБайду номын сангаасhy Bu x
y cx
(5-14) (5-15)
将式(5-15)代入式(5-14)有：
A hc x Bu x
经典控制理论中用调节开环增益或串、并联校正装 置配置极点时，其可调参数有限，而状态反馈的待选参 数多了，能使系统性能改善得更好，不过实现状态反馈 也是相当复杂的，尤其在系统阶次较高时，测量全部状 态变量是需要克服的障碍。 三、状态反馈系统的其它特性 单输入-多输出或单输出系统，引入状态反馈后， 系统闭环零点没有改变，但该性质不适用于多输入-多 输出系统。如式(5-1)所示对象经 P1 变换后传递矩阵 为：
k k k k (5-5) n1 0 1 ， xn 引出的反 ， k 分别为由状态变量 x ， 其中 k0， 1 n1 馈系数，则变换后的状态反馈系统动态方程为 ： (5-6) A bk x bv x
y Cx
(5-7)
10k0 10k1 1 30k0 40k1 10k2 4 20k0 30k1 10k2 4
1
2 3
⑵－⑶：
10k0 10k1 0
与⑴矛盾，故无解，表示不可控系统不能采用状态反馈实 现极点配置。
第二节 输出反馈与极点配置
闭环特征多项式为：
I A bk 3 10k 10k 3 2 30k 40k 10k 2
0 1 20 k 30 k 10 k 0 1 2
0
1
2
给定闭环极点的闭环特征多项式为：3 42 6 4 经比较同次项系数给出：
10
11 q1
1,n1
q,n1
1 s sn1
sn1 s 1,,n1 11 10
Axb v kx A bk xbv x
(5-3) (5-4)
y Cx
x 为 n1 维向量， b 为 n1 式中v为纯量， A 为 n n 维矩阵， y q1 维向量， C 为 qn 维 维向量， k 为1 n 维行矩阵，为 I A bk 为闭环特征多 矩阵。 A bk 为闭环状态阵， 项式。
I A bk n a
k n1 a k 2 a k 1 n1 2 1 1 n 2 1 a k 0 0 0 (5-9)
二、用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条 件是：受控对象能控 证明： 若式(5-1)所示对象可控，定可通过变换化为能 控标准形，有
0 0 A 0 a 0
1 0 0
0 0 0
a a 1 2
0 1 a n1
k 4，k 4，k 1 0 1 2
故
k 4 4 1
例5-2试研究下列受控对象
y s 10 s 1 u s s s 1 s 2
采用状态反馈使闭环极点仅次于位于 2,1 j 的可能性。
解： 传递函数存在零、极点对消，若通过选状态变量使系 统能控（但不能观测），可以配置极点，计算方法同例51（略）。若使系统不可控（但可观测），则不能采用状 态反馈配置极点，验证如下。将受控对象写成不可控但可 观测的实现。
0
0 0 b 0 1
10 20 C q0
11 21 q1
2,n1 q,n1
1,n1
若在变换后的状态空间内引1 n 维状态反馈矩阵 k ：
， k ，可使特征方程的 显见，任意选择k 阵的 n 个元素 k0， n1 个系数满足规定要求，能保证特征值（即闭环极点）任意配 置。
将逆变换 x Px 代入式(5-6)，可求出原状态空间内的状态反 馈系统状态方程：
A bkP x bv x
(5-10)
与式(5-3)相比，式(5-10)所示对象应引入状态反馈阵 k 为：
1 sn (a k )sn1 (a k )s a k n1 n1 1 1 0 0
sn1 s q,,n1 q1 q0
（5-13）
显见式（5-12）与式(5-13)的分子部分相同。要注意到， 闭环零点对系统动态性能影响很大，在规定待配置的极点 时，必须充分考虑零点的影响。 状态反馈不一定能保持受控对象原有的能观测性。不 难想象，当任意配置极点导致零、极点相消时，可将原有 的能观测性变为不能观测的；也有能能使原有的不能观测 性变为能观测的。若受控对象不含零点，状态反馈自然能 保持原有能观测性。 选择状态反馈阵元素时，要防止数值过大，以免对动 态性能产生不良影响及物理实现不易。配置极点时也并非 离虚轴愈远愈好，以免造成频带过宽使抗干扰性降低。
y 10 0 0 x
状态反馈阵
k k k k 1 2 0
状态反馈系统特征方程：
2 1 j 1 j 3 4 2 6 4 0
、x 、x 根据两特征方程同次项系数相等的条件，可求出由x1 2 3 引出的反馈系数为：
x x 0 1 0 10 1 1 0 0 －2 x 10 u x 2 2 0 1 3 0 x x 3 3
例5-1设受控对象传递函数为：
y s 10 u s s s 1 s 2
试用状态反馈使闭环极点配置在 2,1 j 。
解： 传递函数无零、极点对消，故可控。写出能控标准形实现
x x 0 1 0 1 1 0 0 0 1 x 0 u x 2 2 1 2 3 0 x x 3 3
k kP
(5-11)
需指出，当受控对象可控时，若不具有能控标准形形式，并 不必象如上证明那样去化为能控标准形，只要直接计算状态 反馈系统闭环特征多项式 I A bk ，这时，其系数为
k , , k 0 n1
的函数，与给定极点的特征多项式系数相比较，便可确定k。
能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，实 现闭环极点任意配置的状态反馈阵K为 pn 维。 若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈 配置极点使系统稳定。状态变量受控情况下，引入状态反馈 表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所包围环节的传递特 性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。不能 控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点 位置也不会产生任何影响，这是因为传递函数只与系统能控、 能观测部分有关的缘故。若不能控状态变量是稳定的状态变 量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。
G C sI A 1
1 b
10
11 q1
1,n1
1 sn a sn1 a s a n1 1 0 q0
q,n1
状态反馈系统闭环状态阵：
10 k 10 k 10 k 0 1 0 10 0 1 2 A bk 0 0 －2 10 k k k 110k 10k 2 10k 1 2 0 1 2 0 0 1 3 0 0 1 3
第五章 状态反馈与状态观测器
闭环系统性能与闭环极点位置密切相关。经典控制理论
经常利用串联、并联校正装置及调整开环增益使系统具有希 望的闭环极点位置；现代控制理论利用状态变量揭示系统内 部特性以后，建立了利用状态反馈这一新方式来配置极点， 显出更多的优越性。
为利用状态变量进行反馈必须测量状态变量，但不是所有状 态变量在物理上都能测量，于是进一步提出用状态观测器给出 状态估值的问题。因此，极点配置与状态观测器设计是设计系 统的主要内容，它们以能控性、能观测性为条件，能构应用在 许多复杂的控制系统，如导弹的大迎角控制。
(5-12)
而引入状态反馈阵 k 后的传递函数阵 G2为：
G C[sI ( A bk )1b 1 1 n n 1 s (a k )s (a k )s a k n1 n1 1 1 0 0 q0
sn1 s 1,,n1 11 10
1 s sn1
1 sn a sn1 a s a n1 1 0
sn1 s q,,n1 q1 q0
导弹大迎角控制
第一节 状态反馈与极点配置
一、状态反馈系统的动态方程 以单输入-多输出受控对象动态方程为例：
Axbu x y Cx
(5-1)
将对象状态向量通过待设计的参数矩阵即状态反馈行矩阵， 负反馈至系统的参考输入，于是存在
u vkx
状态反馈系统动态方程为：
(5-2)
0 1 0
0 1 a k n1 n1
式中：
0 0 A bk 0 a k 0 0
1 0 0
0
a k a k 1 1 2 2
该式与仍为能控标准形，故引入状态反馈后，系统能控性不 变。特征方程为：
AxБайду номын сангаасhy Bu x
y cx
(5-14) (5-15)
将式(5-15)代入式(5-14)有：
A hc x Bu x
经典控制理论中用调节开环增益或串、并联校正装 置配置极点时，其可调参数有限，而状态反馈的待选参 数多了，能使系统性能改善得更好，不过实现状态反馈 也是相当复杂的，尤其在系统阶次较高时，测量全部状 态变量是需要克服的障碍。 三、状态反馈系统的其它特性 单输入-多输出或单输出系统，引入状态反馈后， 系统闭环零点没有改变，但该性质不适用于多输入-多 输出系统。如式(5-1)所示对象经 P1 变换后传递矩阵 为：
k k k k (5-5) n1 0 1 ， xn 引出的反 ， k 分别为由状态变量 x ， 其中 k0， 1 n1 馈系数，则变换后的状态反馈系统动态方程为 ： (5-6) A bk x bv x
y Cx
(5-7)
10k0 10k1 1 30k0 40k1 10k2 4 20k0 30k1 10k2 4
1
2 3
⑵－⑶：
10k0 10k1 0
与⑴矛盾，故无解，表示不可控系统不能采用状态反馈实 现极点配置。
第二节 输出反馈与极点配置
闭环特征多项式为：
I A bk 3 10k 10k 3 2 30k 40k 10k 2
0 1 20 k 30 k 10 k 0 1 2
0
1
2
给定闭环极点的闭环特征多项式为：3 42 6 4 经比较同次项系数给出：
10
11 q1
1,n1
q,n1
1 s sn1
sn1 s 1,,n1 11 10
Axb v kx A bk xbv x
(5-3) (5-4)
y Cx
x 为 n1 维向量， b 为 n1 式中v为纯量， A 为 n n 维矩阵， y q1 维向量， C 为 qn 维 维向量， k 为1 n 维行矩阵，为 I A bk 为闭环特征多 矩阵。 A bk 为闭环状态阵， 项式。
I A bk n a
k n1 a k 2 a k 1 n1 2 1 1 n 2 1 a k 0 0 0 (5-9)
二、用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条 件是：受控对象能控 证明： 若式(5-1)所示对象可控，定可通过变换化为能 控标准形，有
0 0 A 0 a 0
1 0 0
0 0 0
a a 1 2
0 1 a n1
k 4，k 4，k 1 0 1 2
故
k 4 4 1
例5-2试研究下列受控对象
y s 10 s 1 u s s s 1 s 2
采用状态反馈使闭环极点仅次于位于 2,1 j 的可能性。
解： 传递函数存在零、极点对消，若通过选状态变量使系 统能控（但不能观测），可以配置极点，计算方法同例51（略）。若使系统不可控（但可观测），则不能采用状 态反馈配置极点，验证如下。将受控对象写成不可控但可 观测的实现。
0
0 0 b 0 1
10 20 C q0
11 21 q1
2,n1 q,n1
1,n1
若在变换后的状态空间内引1 n 维状态反馈矩阵 k ：
， k ，可使特征方程的 显见，任意选择k 阵的 n 个元素 k0， n1 个系数满足规定要求，能保证特征值（即闭环极点）任意配 置。
将逆变换 x Px 代入式(5-6)，可求出原状态空间内的状态反 馈系统状态方程：
A bkP x bv x
(5-10)
与式(5-3)相比，式(5-10)所示对象应引入状态反馈阵 k 为：
1 sn (a k )sn1 (a k )s a k n1 n1 1 1 0 0
sn1 s q,,n1 q1 q0
（5-13）
显见式（5-12）与式(5-13)的分子部分相同。要注意到， 闭环零点对系统动态性能影响很大，在规定待配置的极点 时，必须充分考虑零点的影响。 状态反馈不一定能保持受控对象原有的能观测性。不 难想象，当任意配置极点导致零、极点相消时，可将原有 的能观测性变为不能观测的；也有能能使原有的不能观测 性变为能观测的。若受控对象不含零点，状态反馈自然能 保持原有能观测性。 选择状态反馈阵元素时，要防止数值过大，以免对动 态性能产生不良影响及物理实现不易。配置极点时也并非 离虚轴愈远愈好，以免造成频带过宽使抗干扰性降低。
y 10 0 0 x
状态反馈阵
k k k k 1 2 0
状态反馈系统特征方程：
2 1 j 1 j 3 4 2 6 4 0
、x 、x 根据两特征方程同次项系数相等的条件，可求出由x1 2 3 引出的反馈系数为：
x x 0 1 0 10 1 1 0 0 －2 x 10 u x 2 2 0 1 3 0 x x 3 3
例5-1设受控对象传递函数为：
y s 10 u s s s 1 s 2
试用状态反馈使闭环极点配置在 2,1 j 。
解： 传递函数无零、极点对消，故可控。写出能控标准形实现
x x 0 1 0 1 1 0 0 0 1 x 0 u x 2 2 1 2 3 0 x x 3 3
k kP
(5-11)
需指出，当受控对象可控时，若不具有能控标准形形式，并 不必象如上证明那样去化为能控标准形，只要直接计算状态 反馈系统闭环特征多项式 I A bk ，这时，其系数为
k , , k 0 n1
的函数，与给定极点的特征多项式系数相比较，便可确定k。
能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，实 现闭环极点任意配置的状态反馈阵K为 pn 维。 若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈 配置极点使系统稳定。状态变量受控情况下，引入状态反馈 表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所包围环节的传递特 性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。不能 控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点 位置也不会产生任何影响，这是因为传递函数只与系统能控、 能观测部分有关的缘故。若不能控状态变量是稳定的状态变 量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。
G C sI A 1
1 b
10
11 q1
1,n1
1 sn a sn1 a s a n1 1 0 q0
q,n1
状态反馈系统闭环状态阵：
10 k 10 k 10 k 0 1 0 10 0 1 2 A bk 0 0 －2 10 k k k 110k 10k 2 10k 1 2 0 1 2 0 0 1 3 0 0 1 3
第五章 状态反馈与状态观测器
闭环系统性能与闭环极点位置密切相关。经典控制理论
经常利用串联、并联校正装置及调整开环增益使系统具有希 望的闭环极点位置；现代控制理论利用状态变量揭示系统内 部特性以后，建立了利用状态反馈这一新方式来配置极点， 显出更多的优越性。
为利用状态变量进行反馈必须测量状态变量，但不是所有状 态变量在物理上都能测量，于是进一步提出用状态观测器给出 状态估值的问题。因此，极点配置与状态观测器设计是设计系 统的主要内容，它们以能控性、能观测性为条件，能构应用在 许多复杂的控制系统，如导弹的大迎角控制。
(5-12)
而引入状态反馈阵 k 后的传递函数阵 G2为：
G C[sI ( A bk )1b 1 1 n n 1 s (a k )s (a k )s a k n1 n1 1 1 0 0 q0
sn1 s 1,,n1 11 10
1 s sn1
1 sn a sn1 a s a n1 1 0
sn1 s q,,n1 q1 q0
导弹大迎角控制
第一节 状态反馈与极点配置
一、状态反馈系统的动态方程 以单输入-多输出受控对象动态方程为例：
Axbu x y Cx
(5-1)
将对象状态向量通过待设计的参数矩阵即状态反馈行矩阵， 负反馈至系统的参考输入，于是存在
u vkx
状态反馈系统动态方程为：
(5-2)
0 1 0
0 1 a k n1 n1
式中：
0 0 A bk 0 a k 0 0
1 0 0
0
a k a k 1 1 2 2
该式与仍为能控标准形，故引入状态反馈后，系统能控性不 变。特征方程为：