高考数列压轴题
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（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明： +… （n∈N*）
24．已知数列{an}满足：a1= ，an+1= +an（n∈N*）．
（1）求证：an+1＞an；
（2）求证：a2017＜1；
（3）若ak＞1，求正整数k的最小值．
25．已知数列{an}满足：an2﹣an﹣an+1+1=0，a1=2
（1）求a2，a3；
（I）当0≤a1≤1时，0≤an≤1；
（II）当a1＞1时，an＞（a1﹣1）a1n﹣1；
（III）当a1= 时，n﹣ ＜Sn＜n．
7．已知数列{an}满足a1=1，Sn=2an+1，其中Sn为{an}的前n项和（n∈N*）．
（Ⅰ）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足 ，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时， ．
（Ⅲ）求证：对∀p∈N*，由（Ⅱ）中xn构成的数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜ ．
12．已知数列{an}，{bn}，a0=1， ，（n=0，1，2，…）， ，Tn为数列{bn}的前n项和．
求证：（Ⅰ）an+1＜an；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ） ．
13．已知数列{an}满足：a1= ，an=an﹣12+an﹣1（n≥2且n∈N）．
（1）证明： ；
（2）证明： ．
29．已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（Sn+n+1）（n∈N*），令bn=an+1．
（Ⅰ）求证：{bn}是等比数列；
（Ⅱ）记数列{nbn}的前n项和为Tn，求Tn；
（Ⅲ）求证： ﹣ ＜ +…+ ．
30．已知数列{an}中，a1=3，2an+1=an2﹣2an+4．
（Ⅰ）若{an}是递增数列，求a1的取值围；
（Ⅱ）若a1＞2，且对任意n∈N*，都有Sn≥na1﹣ （n﹣1），证明：Sn＜2n+1．
11．设an=xn，bn=（ ）2，Sn为数列{an•bn}的前n项和，令fn（x）=Sn﹣1，x∈R，a∈N*．
（Ⅰ）若x=2，求数列{ }的前n项和Tn；
（Ⅱ）求证：对∀n∈N*，方程fn（x）=0在xn∈[ ，1]上有且仅有一个根；
（2）证明数列为递增数列；
（3）求证： ＜1．
26．已知数列{an}满足：a1=1， （n∈N*）
（Ⅰ）求证：an≥1；
（Ⅱ）证明： ≥1+
（Ⅲ）求证： ＜an+1＜n+1．
27．在正项数列{an}中，已知a1=1，且满足an+1=2an （n∈N*）
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）证明．an≥ ．
28．设数列{an}满足 ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证： + +…+ ＜ ；
（3）记Sn= + +…+ ，证明：对于一切n≥2，都有Sn2＞2（ + +…+ ）．
22．已知数列{an}满足a1=1，an+1= ，n∈N*．
（1）求证： ≤an≤1；
（2）求证：|a2n﹣an|≤ ．
23．已知数列{an]的前n项和记为Sn，且满足Sn=2an﹣n，n∈N*
8．已知数列{an}满足a1=1， （n∈N*），
（Ⅰ） 证明： ；
（Ⅱ） 证明： ．
9．设数列{an}的前n项的和为Sn，已知a1= ，an+1= ，其中n∈N*．
（1）证明：an＜2；
（2）证明：an＜an+1；
（3）证明：2n﹣ ≤Sn≤2n﹣1+（ ）n．
10．数列{an}的各项均为正数，且an+1=an+ ﹣1（n∈N*），{an}的Biblioteka Baidun项和是Sn．
19．已知数列{an}满足an＞0，a1=2，且（n+1）an+12=nan2+an（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：an＞1；
（Ⅱ）证明： + +…+ ＜ （n≥2）．
20．已知数列{an}满足： ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
21．已知数列{an}满足a1=1，且an+12+an2=2（an+1an+an+1﹣an﹣ ）．
（Ⅰ）求a2，a3；并证明：2 ﹣ ≤an≤ •3 ；
（Ⅱ）设数列{an2}的前n项和为An，数列{ }的前n项和为Bn，证明： = an+1．
14．已知数列{an}的各项均为非负数，其前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有 ．
（1）若a1=1，a505=2017，求a6的最大值；
（2）若对任意n∈N*，都有Sn≤1，求证： ．
（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；
（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤ ；
（Ⅲ） ≤xn≤ ．
3．数列{an}中，a1= ，an+1= （n∈N*）
（Ⅰ）求证：an+1＜an；
（Ⅱ）记数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn＜1．
4．已知正项数列{an}满足an2+an=3a2n+1+2an+1，a1=1．
（1）求a2的值；
15．已知数列{an}中，a1=4，an+1= ，n∈N*，Sn为{an}的前n项和．
（Ⅰ）求证：n∈N*时，an＞an+1；
（Ⅱ）求证：n∈N*时，2≤Sn﹣2n＜ ．
16．已知数列{an}满足，a1=1，an= ﹣ ．
（1）求证：an≥ ；
（2）求证：|an+1﹣an|≤ ；
（3）求证：|a2n﹣an|≤ ．
高考数列压轴题
一．解答题（共50小题）
1．数列{an}满足a1=1，a2= + ，…，an= + +…+ （n∈N*）
（1）求a2，a3，a4，a5的值；
（2）求an与an﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2）；
（3）求证：（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜3（n∈N*）
2．已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，
17．设数列{an}满足：a1=a，an+1= （a＞0且a≠1，n∈N*）．
（1）证明：当n≥2时，an＜an+1＜1；
（2）若b∈（a2，1），求证：当整数k≥ +1时，ak+1＞b．
18．设a＞3，数列{an}中，a1=a，an+1= ，n∈N*．
（Ⅰ）求证：an＞3，且 ＜1；（Ⅱ）当a≤4时，证明：an≤3+ ．
（2）证明：对任意实数n∈N*，an≤2an+1；
（3）记数列{an}的前n项和为Sn，证明：对任意n∈N*，2﹣ ≤Sn＜3．
5．已知在数列{an}中， ．，n∈N*
（1）求证：1＜an+1＜an＜2；
（2）求证： ；
（3）求证：n＜sn＜n+2．
6．设数列{an}满足an+1=an2﹣an+1（n∈N*），Sn为{an}的前n项和．证明：对任意n∈N*，
（Ⅱ）证明： +… （n∈N*）
24．已知数列{an}满足：a1= ，an+1= +an（n∈N*）．
（1）求证：an+1＞an；
（2）求证：a2017＜1；
（3）若ak＞1，求正整数k的最小值．
25．已知数列{an}满足：an2﹣an﹣an+1+1=0，a1=2
（1）求a2，a3；
（I）当0≤a1≤1时，0≤an≤1；
（II）当a1＞1时，an＞（a1﹣1）a1n﹣1；
（III）当a1= 时，n﹣ ＜Sn＜n．
7．已知数列{an}满足a1=1，Sn=2an+1，其中Sn为{an}的前n项和（n∈N*）．
（Ⅰ）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足 ，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时， ．
（Ⅲ）求证：对∀p∈N*，由（Ⅱ）中xn构成的数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜ ．
12．已知数列{an}，{bn}，a0=1， ，（n=0，1，2，…）， ，Tn为数列{bn}的前n项和．
求证：（Ⅰ）an+1＜an；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ） ．
13．已知数列{an}满足：a1= ，an=an﹣12+an﹣1（n≥2且n∈N）．
（1）证明： ；
（2）证明： ．
29．已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（Sn+n+1）（n∈N*），令bn=an+1．
（Ⅰ）求证：{bn}是等比数列；
（Ⅱ）记数列{nbn}的前n项和为Tn，求Tn；
（Ⅲ）求证： ﹣ ＜ +…+ ．
30．已知数列{an}中，a1=3，2an+1=an2﹣2an+4．
（Ⅰ）若{an}是递增数列，求a1的取值围；
（Ⅱ）若a1＞2，且对任意n∈N*，都有Sn≥na1﹣ （n﹣1），证明：Sn＜2n+1．
11．设an=xn，bn=（ ）2，Sn为数列{an•bn}的前n项和，令fn（x）=Sn﹣1，x∈R，a∈N*．
（Ⅰ）若x=2，求数列{ }的前n项和Tn；
（Ⅱ）求证：对∀n∈N*，方程fn（x）=0在xn∈[ ，1]上有且仅有一个根；
（2）证明数列为递增数列；
（3）求证： ＜1．
26．已知数列{an}满足：a1=1， （n∈N*）
（Ⅰ）求证：an≥1；
（Ⅱ）证明： ≥1+
（Ⅲ）求证： ＜an+1＜n+1．
27．在正项数列{an}中，已知a1=1，且满足an+1=2an （n∈N*）
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）证明．an≥ ．
28．设数列{an}满足 ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证： + +…+ ＜ ；
（3）记Sn= + +…+ ，证明：对于一切n≥2，都有Sn2＞2（ + +…+ ）．
22．已知数列{an}满足a1=1，an+1= ，n∈N*．
（1）求证： ≤an≤1；
（2）求证：|a2n﹣an|≤ ．
23．已知数列{an]的前n项和记为Sn，且满足Sn=2an﹣n，n∈N*
8．已知数列{an}满足a1=1， （n∈N*），
（Ⅰ） 证明： ；
（Ⅱ） 证明： ．
9．设数列{an}的前n项的和为Sn，已知a1= ，an+1= ，其中n∈N*．
（1）证明：an＜2；
（2）证明：an＜an+1；
（3）证明：2n﹣ ≤Sn≤2n﹣1+（ ）n．
10．数列{an}的各项均为正数，且an+1=an+ ﹣1（n∈N*），{an}的Biblioteka Baidun项和是Sn．
19．已知数列{an}满足an＞0，a1=2，且（n+1）an+12=nan2+an（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：an＞1；
（Ⅱ）证明： + +…+ ＜ （n≥2）．
20．已知数列{an}满足： ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
21．已知数列{an}满足a1=1，且an+12+an2=2（an+1an+an+1﹣an﹣ ）．
（Ⅰ）求a2，a3；并证明：2 ﹣ ≤an≤ •3 ；
（Ⅱ）设数列{an2}的前n项和为An，数列{ }的前n项和为Bn，证明： = an+1．
14．已知数列{an}的各项均为非负数，其前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有 ．
（1）若a1=1，a505=2017，求a6的最大值；
（2）若对任意n∈N*，都有Sn≤1，求证： ．
（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；
（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤ ；
（Ⅲ） ≤xn≤ ．
3．数列{an}中，a1= ，an+1= （n∈N*）
（Ⅰ）求证：an+1＜an；
（Ⅱ）记数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn＜1．
4．已知正项数列{an}满足an2+an=3a2n+1+2an+1，a1=1．
（1）求a2的值；
15．已知数列{an}中，a1=4，an+1= ，n∈N*，Sn为{an}的前n项和．
（Ⅰ）求证：n∈N*时，an＞an+1；
（Ⅱ）求证：n∈N*时，2≤Sn﹣2n＜ ．
16．已知数列{an}满足，a1=1，an= ﹣ ．
（1）求证：an≥ ；
（2）求证：|an+1﹣an|≤ ；
（3）求证：|a2n﹣an|≤ ．
高考数列压轴题
一．解答题（共50小题）
1．数列{an}满足a1=1，a2= + ，…，an= + +…+ （n∈N*）
（1）求a2，a3，a4，a5的值；
（2）求an与an﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2）；
（3）求证：（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜3（n∈N*）
2．已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，
17．设数列{an}满足：a1=a，an+1= （a＞0且a≠1，n∈N*）．
（1）证明：当n≥2时，an＜an+1＜1；
（2）若b∈（a2，1），求证：当整数k≥ +1时，ak+1＞b．
18．设a＞3，数列{an}中，a1=a，an+1= ，n∈N*．
（Ⅰ）求证：an＞3，且 ＜1；（Ⅱ）当a≤4时，证明：an≤3+ ．
（2）证明：对任意实数n∈N*，an≤2an+1；
（3）记数列{an}的前n项和为Sn，证明：对任意n∈N*，2﹣ ≤Sn＜3．
5．已知在数列{an}中， ．，n∈N*
（1）求证：1＜an+1＜an＜2；
（2）求证： ；
（3）求证：n＜sn＜n+2．
6．设数列{an}满足an+1=an2﹣an+1（n∈N*），Sn为{an}的前n项和．证明：对任意n∈N*，