《因式分解(分组分解法)》课件

(4)直至完全分解
例３：把 3ax 4by 4ay 3bx 分解因式．
分析：如果把这个多项式的四项按前两 项与后两项分组，无法分解因式． 但如果把第一、三两项作为一组，第二、 四两项作为另一组，分别提出公因式 a 与 b 后，另一个因式正好都是
(3x 4 y)
例３：把 3ax 4by 4ay 3bx 分解因式．
(5)ax+2by+cx-2ay-bx-2cy 解：原式 =(2by-2ay-2cy)+(ax+cx-bx) =-2y(a-b+c)+x(a-b+c) =(a-b+c)(-2y+x) (6) x2-x2y+xy2-x+y-y2
解：原式
=(x2-y2)-(x2y-xy2)-(x-y) =(x-y)(x+y)-xy(x-y)-(x-y)
定义：这种把多项式分成几组来分解因 式的方法叫分组分解法
注意：如果把一个多项式的项分组并提出公 因式后，它们的另一个因式正好相同，那么 这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。
例１把a2-ab+ac-bc分解因式 分析：把这个多项式的四项按前两项与后 两项分成两组，分别提出公因式a与c后， 另一个因式正好都是a-b，这样就可以提 出公因式a-b 。 解法一：a2-ab+ac-bc =(a2-ab)+(ac-bc) ——分组 =a(a-b)+c(a-b) ——组内提公因式 =(a-b)(a+c) ——提公因式
要把这个多项式分解因式，不能提公 因式也不能用公式！ 在这里我们把它的前两项分成一组 并提出公因式 a ；
把它的后两项分成一组，并提出 公因式 b ．
从而得到
a ( m n ) b( m n )
这时候由于 a (m n ) 与 b(m n ) 又有公因式 (m n )
于是可以继续提出公因式 (m n )
分组分解法
分组后能直接提公因式
1.什么叫做因式分解？
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种式子变形叫做把这个多项式因式分解， 也叫做把这个多项式分解因式。 2.回想我们已经学过那些分解因式的方法？ 提公因式法，
公式法——平方差公式，完全平方公式
我们看下面这个多项式
am an bm bn
=(x-y)(x+y-xy-1) =(x-y)[(x-xy)+(y-1)] =(x-y)[x(1-y)-(1-y)]
=(x-y)(1-y)(x-1)
解２： 3ax 4by 4ay 3bx
＝ ＝ ＝
例４：把 m 5n mn 5m 分解因式．
2
解： m 5n mn 5m
2
＝
(m mn ) (5n 5m)
2
＝
＝
m(m n ) 5(m n ) (m n )(m 5)
把下列各式分解因式：
例１把a2-ab+ac-bc分解因式
解２： a ab ac bc
2
(a ac) (ab bc) a ( a c ) b ( a c) (a c)(a b)
2
例２把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四项按前两项与后 两项分成两组，并使两组的项都按x的降 幂排列，然后从两组分别提出公因式2a与 -b，这时，另一个因式正好都是x-5y，这 样全式就可以提出公因式x-5y。 解法一： 2ax-10ay+5by-bx =(2ax-10ay)+(5by-bx) =(2ax-10ay)+(-bx +5by） =2a(x-5y)-b(x- 5y) =(x-5y)(2a-b)
例２把2ax-10ay+5by-bx分解因式
解２： 3ax 4by 4ay 3bx
＝ ＝ ＝
(3ax 3bx ) (4by 4ay) 3x (a b) 4 y(a b) (a b)(3x 4 y)
分组规律： 在有公因式的前提下，按对应项 系数成比例分组，或按对应项的次数 成比例分组。 分解步骤：(1)分组； (2)在各组内提公因式； (3)在各组之间进行因式分解
解： 3ax 4by 4ay 3bx
＝ ＝
(3ax 4ay) (4by 3bx ) a (3x 4 y) b(3x 4 y) (3x 4 y)(a b) (3ax 3bx ) (4by 4ay) 3x (a b) 4 y(a b) (a b)(3x 4 y)
(1)20(x+y)+x+y 解：原式 =20(x+y)+(x+y) =21(x+y) (3)5m(a+b)-a-b =(a+b)(5m-1)
(2)p-q+k(p-q) 解：原式=(p-q)+k(p-q) =(p-q)(1+k)
(4)2m-2n-4x(m-n) =(m-n)(2-4x)
解：原式=5m(a+b)-(a+b) 解：原式=2(m-n)-4x(m-n)
从而得到： (m n )(a b)
也就有: am an bm bn = (m n )(百度文库 b)
(a+b)(m+n) =a(m+n)+b(m+n)
=am+an+bm+bn
整 am+an+bm+bn 式 乘 =a(m+n)+b(m+n) 法 =(a+b)(m+n)
因 式 分 解